結(jié)構(gòu)化視域下的小學數(shù)學延學作業(yè)設(shè)計

錢建兵

（本文系江蘇省教育規(guī)劃“十三五”立項課題“促進理解的小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化學習的實踐研究”（編號：D/2020/02/138）研究成果。）

摘要：結(jié)合新課標教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求，作業(yè)作為課堂教學的延續(xù)，內(nèi)容上要關(guān)注數(shù)學本質(zhì)，用結(jié)構(gòu)化的思維，設(shè)計作業(yè)內(nèi)容。以學習意義定義作業(yè)，讓學生通過作業(yè)，經(jīng)歷再補充、再發(fā)現(xiàn)、再總結(jié)的過程，促進認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，培養(yǎng)學習力，彰顯學生的學習主體性。遵循主體普適性、目標一致性、功能承載性等原則，從關(guān)聯(lián)、整體、整合等策略，設(shè)計結(jié)構(gòu)化視域下的小學數(shù)學延學作業(yè)。

關(guān)鍵詞：作業(yè)設(shè)計 ?結(jié)構(gòu)化 ? 延學

美國當代著名教育心理學家布魯納在他的《教育過程》中明確提出了學科結(jié)構(gòu)論的課程論和教學論思想。他認為學習的目的在于以發(fā)現(xiàn)學習的方式，使學科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)。課程標準（2022版）指出，為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的目標，“要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。”[1]作業(yè)是體現(xiàn)學生主體性的一種發(fā)現(xiàn)學習方式，是課堂教學的延續(xù)與補充、拓展與深入。因此，在進行作業(yè)設(shè)計時，要彰顯作業(yè)的“學習意義”，從結(jié)構(gòu)化的視角延續(xù)課堂學習，讓學生在作業(yè)的過程中自主完善優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，促進學生對核心概念的深入理解，從而理解學科的基本原理。

一、結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)概念界定

在數(shù)學學習中，學生的認知結(jié)構(gòu)主要是在學習活動中形成的，包括課堂教學與課外學習，亦包含教師引導與自主建構(gòu)。是學生以積極主動的心理取向，將教材知識體系（具有邏輯結(jié)構(gòu)的學科知識），轉(zhuǎn)化為個體知識結(jié)構(gòu)的過程。但僅僅依靠課堂教學與教材，構(gòu)建起的認知結(jié)構(gòu)是不完整的。這主要緣于學習的復雜性。班級授課制在效率最大化的同時，必定無法兼顧個體在學習風格、知識基礎(chǔ)、思維特點等方面的差異，很難做到對知識的深度理解與知識體系的完全建構(gòu)。再次是教材在組織時，作為實施學習的基本單位，課時教學必將在一定程度上肢解知識的整體性。教材也并不是完全按知識的邏輯體系構(gòu)建的，經(jīng)過教學法的改造，并不能兼顧不同層次學習能力、不同經(jīng)驗、知識背景的學生構(gòu)建知識體系時，存在的不同差異與困難。

作業(yè)是認知結(jié)構(gòu)自主建構(gòu)與反思的重要手段。結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)，從知識之間的聯(lián)系（整體）出發(fā)設(shè)計習題，以更高的視角引導學生反思當下的學習內(nèi)容，將作業(yè)作為課堂學習的進一步延伸，充分發(fā)揮學生在作業(yè)過程的自主建構(gòu)作用，讓學生在作業(yè)中促進認知結(jié)構(gòu)二次構(gòu)建，在作業(yè)中尋找并理解知識之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的思想方法和內(nèi)隱邏輯，實現(xiàn)對概念、技能、思想方法的深刻理解。作業(yè)不是課堂教學建構(gòu)起來的知識體系的再重復，而是一個新的再建構(gòu)，是概念之間的打通，方法的升華，思想的提煉，是知識的體系化與優(yōu)化，形成對核心概念的再升華，從而達到深度理解。在二次建構(gòu)并完善其認知結(jié)構(gòu)學習過程中形成數(shù)學核心素養(yǎng)，也就是說在將數(shù)學學科知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生認知結(jié)構(gòu)的過程中，形成學生的核心素養(yǎng)。

結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)并不是虛化基礎(chǔ)概念、基本技能等的而突出整體，而是在結(jié)構(gòu)中去把握各知識點，從而使作業(yè)可以更加有彈性地處理、分配處于不同地位知識點的教學用力，突出核心知識、核心概念、基本思想、基本模型的重要地位。

二、結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)價值內(nèi)涵

結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)強調(diào)課堂教學的“自延”，是再學習、再補充；讓學生經(jīng)歷“自研”的過程——體現(xiàn)學生的主體建構(gòu)，是再發(fā)現(xiàn)；讓學生在“自言”的過程中自省悟透，通過自省，反思等內(nèi)部言語的活動過程，進行再總結(jié)。從而使課堂教學建構(gòu)的知識更加系統(tǒng)化，形成縱橫交錯的體系，知識的存儲更有條理與富有邏輯。結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)價值具有如下價值。

1.提升學習力

學習力是衡量學生學會學習的重要指標，瞿靜指出：“學習力是在有目的的學習過程中，以聽、說、讀、寫、交流等渠道獲得知識技能的學習為基礎(chǔ)，通過實踐、體驗、反思、環(huán)境影響等途徑進行的學習力提升，達到產(chǎn)生新思維、新行為的學習效果為目的的動態(tài)能力系統(tǒng)。”[2]作業(yè)結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)，通過教師精心設(shè)計的習題，與課堂教學相輔相成，新舊知識之間形成的一種張力，為學生提供了比課堂教學更獨立自主的探究、實踐、體驗、反思的空間。不管是進行知識之間的縱、橫梳理，還是自我反思總結(jié)形成核心知識、方法、思想，或是獨立完成“做數(shù)學”，都將是對學生學習能力的一次次歷練。同時，與一般的作業(yè)不同，結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)閱讀量也比較大，綜合性較強，方法要自主歸納，提煉，視野更寬，這些都利于學生進一步理解數(shù)學的表達形式，增加對數(shù)學的理解，從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

案例1：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)中的奧秘

作業(yè)：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積

兩人玩一個游戲：兩人各說出一個數(shù)寫在紙上，對方算出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，自己算出這兩個數(shù)的乘積，再比比兩個積的大小。

再玩幾次，可以交換角色。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計意圖】延續(xù)了課堂教學，不僅僅是發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、表達規(guī)律的能力，更在于將最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的相關(guān)知識與兩個數(shù)的乘積進行關(guān)聯(lián)，體會知識之間的聯(lián)系。為什么會有這樣的聯(lián)系，也在學生心中埋下了進一步探究的種子，打開了進一步探究的空間，學習由自主到自發(fā)成為可能。

2.促進認知結(jié)構(gòu)的再建構(gòu)

課堂教學受時間的限制，課時安排的教學內(nèi)容比較緊湊，規(guī)定時間內(nèi)要理解概念，還要形成一定的技能。“部分——部分——整體”的編寫和教學模式人為地將知識分解成若干個小的部分，割裂了知識之間的聯(lián)系，大量的重復練習更加劇了知識之間的相互封閉，學生獲得的知識大部都是一些“散裝”的內(nèi)容，沒有形成具有普遍聯(lián)系和廣泛遷移力的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。因此，知識之間形成網(wǎng)絡(luò)，不同領(lǐng)域進行學科融合，特別是將課堂所學放在更高的視角去理解，必定需要通過作業(yè)將課堂延伸至課外。結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)以核心知識組織、串聯(lián)，將各部分之間構(gòu)成有機整體，小的結(jié)構(gòu)不斷納入更大的結(jié)構(gòu)中，形成深刻理解。以整體與關(guān)聯(lián)為總指導，聚焦核心知識在構(gòu)建起認知結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵作用，以基本原理、基本關(guān)系、基本方法，架構(gòu)知識體系的“承重墻”。

案例2：分數(shù)加減與小數(shù)加減的算理一致性

作業(yè)：分數(shù)加、減法與小數(shù)加、減法比較

＋ =（ ? ?）個 ＋（ ? ?）個 =（ ? ?）個 ；

－ =（ ? ?）個 －（ ? ?）個 =（ ? ?）個

異分母分數(shù)加、減法，要通分成同分母相加、減，是因為（ ? ? ? ）。

計算小數(shù)6.42＋1.5時，可以這樣思考：6.4＋1.5=（ ? ）個一＋（ ? ?）個一＋（ ? ）個0.1＋（ ? ）個0.1＋（ ? ）個0.01

小數(shù)加法要把小數(shù)點對齊，是因為（ ? ? ）。

比較小數(shù)加減法與分數(shù)加減法，我發(fā)現(xiàn)了：

【設(shè)計意圖】這如何讓學生體會分數(shù)加減法與小數(shù)加減法計算算理的一致性？計算小數(shù)加減法把小數(shù)點對齊，異分母分數(shù)加減先通分，這些是算法，其背后的道理是相同計數(shù)單位相加減。通過用橫式表達的算理，學生比較容易看出算理的一致。

3. 凸顯學生的學習主體地位

認知結(jié)構(gòu)的二次建構(gòu)是以思維能力的培養(yǎng)去帶動整體構(gòu)建，學生思維能力更多的是體現(xiàn)在尋找聯(lián)系、構(gòu)建整體及類比遷移的過程中，這個過程的主體應(yīng)該是學生，是學生的自主建構(gòu)，是不斷促進學生主體性提升的。二次建構(gòu)過程中的沒有課堂建構(gòu)中的“替代現(xiàn)象”，是富有個性的學生個體的探索領(lǐng)悟的行動。

案例3：用整數(shù)、分數(shù)表示關(guān)系

作業(yè)：分數(shù)的意義

小明拿來藍、紅、黃三種顏色的彩帶，對應(yīng)著寫數(shù)：1、3、 。你知道這三個數(shù)表示的意思嗎？

問題1：任選一根彩帶的長度記作1，其它兩種顏色的彩帶的長度可以怎么表示？

問題2：如果三根彩帶的長度分別乘以2，你所選彩帶長度還可以記作1嗎？如果記作1，其它兩種顏色的彩帶可以記作多少？

【設(shè)計意圖】這此題主要是讓學生進一步理解分數(shù)作為“兩個量之間關(guān)系”意義的理解，進而溝通整數(shù)可用“幾倍”表示關(guān)系之間的聯(lián)系，體會分數(shù)與整數(shù)之間的一致性。問題2給學生自主選擇的權(quán)利，有利于學生學會用數(shù)表達關(guān)系，也是一種抽象能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)感、符號意識等數(shù)學素養(yǎng)。

案例4：自主編寫延學作業(yè)

作業(yè)：分數(shù)實際問題復習

在下面的括號里填上一個數(shù)量，然后根據(jù)線段圖（圖2），編題。你能編幾題？

題1：

題2：

題3：

……

【設(shè)計意圖】根據(jù)線段圖表示的關(guān)系，可以選擇用分數(shù)、百分數(shù)、比等形式表達，溝通了分數(shù)、比、除法之間的聯(lián)系。題中另一個條件的確定，題材的選擇，則給學生更大的自主選擇權(quán)，有利于發(fā)揮學生作業(yè)的主體性，開放的題目有利于學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維分析實際問題。

作業(yè)不僅是復習與回顧，更是一種高效的深度學習。因此，結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)，擯棄低效重復記憶為主的作業(yè)，將相關(guān)內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，在反思中促進學生對知識的整體理解，全面改變對數(shù)學的認知，讓“雙減”得以落地。

三、結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)原則與策略

探究拓展性作業(yè)設(shè)計要盡可能貼近學生的現(xiàn)實，以利于學生從情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程，發(fā)展抽象、推理等能力。結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)的設(shè)計，還應(yīng)遵循以下原則。

（一）原則

1.數(shù)學作業(yè)設(shè)計的主體普適性原則

所謂主體普適性原則，就是延學作業(yè)設(shè)計要與課堂教學相輔相成。從難易程度上講，應(yīng)該是面向全體學生的，應(yīng)遵循課程標準中各學段教學要求，可以設(shè)置過渡性問題，讓不同層次的學生都能有所收獲。雖然說“如果給學生提供適當?shù)膶W習經(jīng)驗和對知識結(jié)構(gòu)的合適陳述，即便是年幼兒童也能學習高級的知識，從而縮小初級知識和高級知識之間的差距”，但不能任意拔高超前，以加深理解、完善認知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)思維、生成素養(yǎng)為目的。在作業(yè)量上，應(yīng)遵循“五項管理”的相關(guān)要求，延學作業(yè)自主研究的花的時間比較多，并且不同水平的學生所用的時間也相差會較大。另外，作業(yè)設(shè)計要盡可能激發(fā)學生延學的興趣，要避免學生產(chǎn)生消極抵觸的情緒。

案例5：三棱柱的體積

作業(yè)：長方體、正方體與三棱柱的體積

圖3、圖4都是我們已學過的立體圖形，圖5是一個底面為直角三角形、側(cè)面由三個長方形圍成的立體圖形，我們稱它為三棱柱。

（1）回顧已有知識：S長方體底面=（ ? ? ?），V長方體=（ ? ? ?）；S正方體=（ ? ?）

（2）發(fā)現(xiàn)共同規(guī)律：V=（ ? ? ）

（3）推測新的發(fā)現(xiàn)：兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個（ ? ?），想一想兩個完成一樣的三棱柱可以拼成一個（ ? ? ?），由此推測V三棱柱=（ ? ?）。

（4）嘗試解決問題：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，求得三棱柱（圖5）的體積是（ ? ?）立方厘米。

【設(shè)計意圖】這是在長方形、正方體體積教學計算之后，利用平面圖形面積計算中轉(zhuǎn)化的方法，將三棱柱轉(zhuǎn)化為長方體，從而推導出三棱柱的體積，體會體積公式之間的統(tǒng)一。這4個層次的問題，逐步幫助學生歸納、推導，從而得出三種立體圖形的統(tǒng)一計算公式。又將平面圖形中的轉(zhuǎn)化方法遷移運用到立體圖形之中。

2.數(shù)學作業(yè)設(shè)計的目標一致性原則

教學目標是教學的靈魂。延學作業(yè)是課堂教學之后的學習過程，與課堂教學共同達成教學目標。因此，延學作業(yè)與課堂教學之間的教學目標具有統(tǒng)一一致性，更要體現(xiàn)對堂教學目標互補作用上。課程標準2022版指出，要重視單元整體教學設(shè)計，“改變過于注重課時為單位的教學設(shè)計，推進單元整體教學設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。”[3]因為延學作業(yè)，可以跳出了課堂教學，可以基于課標，瞻前顧后，把握知識的前后關(guān)聯(lián)，兼顧單元目標、課時目標一致。

案例6：分數(shù)的意義之“量”“率”比較

作業(yè)：分數(shù)的大小比較

①兩根一樣長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

②兩根一樣長的繩子，第一根用去 米，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

③兩根繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

④兩根一樣長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長一些？

⑤兩根一米長的繩子，第一根用去 ，第二根用去 米，誰剩下的長一些？

【設(shè)計意圖】分數(shù)的意義教學之后，單位“1”的理解是關(guān)鍵。此作業(yè)以對比的形式，讓學生進一步在具體情境中，強調(diào)單位“1”對分數(shù)意義的重要性，增強對單位“1”的理解，解決了學生在課堂教學中“分率”與“具體量”不能區(qū)分的疑惑，從而加深對分數(shù)意義的理解。

3.數(shù)學作業(yè)設(shè)計的功能承載性原則

課堂教學承載著育人的功能，延學作業(yè)不僅是在知識層面上延續(xù)課堂教學，也延續(xù)課堂教學的育人功能。作業(yè)題材的選擇，到作業(yè)情境的設(shè)置，可為學生提供廣泛的教育資源與空間。作業(yè)作為育人的重要載體，在價值觀上延續(xù)課堂教學，把社會主義先進文化、革命文化、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、數(shù)學文化、數(shù)學發(fā)展前沿等融入其中。應(yīng)該說，功能承載性比教材更有作為，更為靈活，作業(yè)形式上多種多樣，學科融合，要體現(xiàn)“五育并舉”的育人要求，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極情感、態(tài)度。

案例7：傳統(tǒng)數(shù)學文化進作業(yè)——出入相補原理

作業(yè)：三角形、梯形面積的推導

出入相補原理是我國古代數(shù)學的代表性成就。利用此原理，可以推導出所有直邊圖形的面積計算公式。

①我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載了三角形面積的計算方法，著名數(shù)學家劉徽在注文中用“以盈補虛”的方法（如圖6）加以說明。從圖中可以看出：

三角形是如何轉(zhuǎn)化為長方形的？試著剪一剪，拼一拼。

三角形轉(zhuǎn)化成長方形后，長方形的長=（ ? ? ），長方形的寬=（ ? ? ?）。

長方形的面積=長×寬，三角形的面積=（ ? ? ?）

②試著用這個原理將梯形轉(zhuǎn)化為長方形，并推導出面積計算公式。

【設(shè)計意圖】以傳統(tǒng)數(shù)學文化為題材，并利用此原理深入思維層面，進一步延續(xù)了課堂教學中的轉(zhuǎn)化的思想方法，同時又體驗到我國古代人民在數(shù)學上取得的成就，拓寬了視野，增強了民族自豪感。

（二）策略

結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)是課堂教學的延續(xù)，因此，在進行設(shè)計時要緊緊圍繞課堂教學的內(nèi)容，通過作業(yè)，使課堂教學走向深入，更有寬度，更具有融合性。可以從如下幾個方面設(shè)計延學習題。

1.關(guān)聯(lián)策略

學習結(jié)構(gòu)就是學習事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。數(shù)學概念具有很強的可遷移性，這種可遷移性是緣于數(shù)學概念、體系在發(fā)展過程中，始終以相同的方法、原理、關(guān)系、問題，貫穿前后，從而實現(xiàn)相關(guān)數(shù)學概念之間本質(zhì)的一致性。這些方法、原理、關(guān)系、問題，是數(shù)學知識如何關(guān)聯(lián)成為整體的核心。如“計數(shù)單位”的概念不僅是數(shù)認識過程中的核心概念，同時也是計算算理理解的核心，“計數(shù)單位”將數(shù)的認識與運算成為一個整體。在數(shù)的認識與運算中，圍繞“計數(shù)單位”設(shè)計作業(yè)，延展課堂，促進學生對所學知識的深度理解。

案例8：探究余數(shù)的秘密。

作業(yè)：2、5的倍數(shù)特征為什么只看個位

15÷2=（10+5）÷2=10÷2+5÷2，

317÷2=（300+10+7）÷2=300÷2+10÷2+7÷2，

1316÷2=（1000+300+10+6）÷2=1000÷2+300÷2+10÷2+6÷2，

我發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)除以2的余數(shù)，與這個（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。我們知道，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。你知道是為什么嗎？

15÷5=（10+5）÷5=10÷5+5÷5，

317÷5=（300+10+7）÷5=300÷5+10÷5+7÷5

我發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)除以5的余數(shù)，與這個（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。我們知道，個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。你知道是為什么嗎？

216÷4=（200+16）÷4=200÷4+16÷4，

1317÷4=（1000+300+17）÷4=1000÷4+300÷4+17÷4

我發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)除以4的余數(shù)，與這個（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。4的倍數(shù)有什么特征？

【設(shè)計意圖】2、5的倍數(shù)特征與個位數(shù)有關(guān)，這是算法。其算理是整十、整百、整千……除以2、5都沒有余數(shù)，因此只要看個位上的數(shù)。此作業(yè)，不僅是讓學生明白其中的算理，更是為后繼研究3的倍數(shù)的特征打下基礎(chǔ)。

案例9：算算計數(shù)單位的個數(shù)

作業(yè)：閱讀材料，再用材料中方法舉例。

小明：今天學習了分數(shù)乘整數(shù)，我覺得分數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法相似，它們都是計數(shù)單位的個數(shù)相乘。計算20×3，20的計數(shù)單位是十，2個十乘3，就是6個十，所以20×3=60。

小華：小數(shù)乘整數(shù)也是小數(shù)的計數(shù)單位的個數(shù)相乘。計算0.2×3，0.2的計數(shù)單位是0.1，0.2×3就是2個0.1乘3，也就是6個0.1，所以0.2×3=0.6。

分數(shù)乘整數(shù)也是計數(shù)單位的個數(shù)相乘嗎？請你舉例說明。

【設(shè)計意圖】數(shù)學課程標準（2022版）指出，數(shù)與運算的教學要感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力與推理意識。[4]此項作業(yè)，通過實例，引導學生從計數(shù)單位累加的角度去思考整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法的算理，溝通了聯(lián)系。

兩個案例均圍繞“計數(shù)單位”這一核心概念進行關(guān)聯(lián)。案例8中，延學作業(yè)是對課堂教學進行了補充，2、5的倍數(shù)與3的倍數(shù)特征判斷方法不一致，通過對算理的分析，透過表面上的不一致，形成了具有結(jié)構(gòu)性的方法，并與除法運算的算理進行了關(guān)聯(lián)。案例9中，是對課堂教學進行了適當?shù)奶釤挘屡f知進行了統(tǒng)一，形成了結(jié)構(gòu)性的方法。

2.整體策略

戴維斯（R.Davis）在《數(shù)學學習：數(shù)學教育的認知科學研究》一書中對“圖式”的基本性質(zhì)作了總結(jié)：第一，圖式源于成功的經(jīng)驗；第二，圖式可以憑借某些十分簡單的、特殊的“提示”得以實現(xiàn)；第三，圖式為新的認識活動提供了必要的理論框架。[5]數(shù)學知識的特點之一是相互之間有著廣泛的聯(lián)系，這些聯(lián)系是形成“圖式”的基礎(chǔ)。在作業(yè)設(shè)計時，可以利用課堂教學形成的“圖式”，并延續(xù)課堂教學的經(jīng)驗，促進知識的整體遷移。如在“圖形的認識與測量”的學習中，從一維長度、再到二維平面、三維空間，不管是在圖形的認識上，還是在測量的方法的形成過程中，其都會經(jīng)歷相同的過程；數(shù)的認識過程中形成的關(guān)于數(shù)的組成的方法，數(shù)的運算學習過程中關(guān)于算理的整體認知等。

案例10：英制單位之間的換算關(guān)系

作業(yè)：體積單位的換算

有些國家采用“英制單位”，碼、英尺、英寸，它們的換算關(guān)系：1碼=3英尺，1英尺=12英寸。運用已學知識，你能推算出平方碼、平方英尺、平方英寸這些面積單位之間的換算關(guān)系嗎？立方碼、立方英尺、立方英寸這些體積單位之間的換算關(guān)系呢？

【設(shè)計意圖】根據(jù)長度單位之間的換算關(guān)系，推算出面積、體積單位之間的換算關(guān)系，其本質(zhì)是對面積、體積意義的理解。以課堂教學中國際單位制中習得的圖式，去遷移至英制單位，實現(xiàn)了知識的整體遷移，從而形成了知識的結(jié)構(gòu)化。

3.整合策略

整合是指認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)數(shù)學概念的相互聯(lián)結(jié)，有機結(jié)合，相互滲透，整合可以促進認知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化與優(yōu)化。整合還可以重組學生的生活與學習資源，打通數(shù)學與兒童生活與其它學科的聯(lián)系。

案例11：特殊與一般的關(guān)系

作業(yè)：方程與等式的關(guān)系。

方程、等式之間是怎樣的關(guān)系？請在下圖（圖7）中表示出來？這樣的圖還可以表示哪些概念之間的關(guān)系？

【設(shè)計意圖】本題以方程與等式之間關(guān)系的直觀表達，引導學生展開聯(lián)想，由此將小學所學具有這種關(guān)系的兩個概念串聯(lián)起來。這些概念雖然是不同的領(lǐng)域，但以同樣的結(jié)構(gòu)整合存儲，形成結(jié)構(gòu)化的知識，理解深刻利于提取。

案例12：青蛙爸爸跳多遠

作業(yè)：乘法口決的練習

如圖（圖8），青蛙媽媽每次跳3格，小青蛙每次跳2格，它們都從0開始起連續(xù)地跳。青蛙爸爸每次跳的是在青蛙媽媽和小青蛙同時跳到的地方。

先用▲圈出媽媽跳的地方；再用O圈出小青蛙跳的地方。你知道青蛙爸爸每次跳幾格嗎？用到了幾的口決？

【設(shè)計意圖】以富有兒童情趣的形式練習了乘法口決，體現(xiàn)了乘法口決的價值，又將2、3的倍數(shù)及2和3的公倍數(shù)與6的倍數(shù)之間的關(guān)系融合在乘法口決之中，不同層次的知識進行了整合，有利于知識結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學生的思維。

基于結(jié)構(gòu)化視域下的延學作業(yè)，其反映的是學生認知結(jié)構(gòu)動態(tài)形成過程，因此，對作業(yè)的評價，應(yīng)更關(guān)注作業(yè)過程中學生的思考與數(shù)學學習的態(tài)度，對評價結(jié)果的運用應(yīng)由甄別判斷轉(zhuǎn)向“為學習的評價”。在實踐過程中，適合采取一種支持學習的態(tài)度，堅持多元評價，獨立思考與同伴學習相結(jié)合，以學生的發(fā)展為目標，與課堂教學形成合力，共同促進素養(yǎng)的形成。

參考文獻：

[1][3][4]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[Z].北京：北京師范大學出版社，2022：85，86，18.

[2]瞿靜．論學習力理念從管理學向教育學領(lǐng)域的遷移［J］．教育與職業(yè)，2008（3）：64－65．

[5]鮑建生，周超著．數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程［M］．上海：上海教育出版社，2009：189．

責任編輯：陳國慶