基于HPM的數學探究學習建構

李明樹 王曉峰

摘? 要：在厘清數學探究學習內涵的基礎上，建構基于HPM的數學探究學習教學設計流程，并以“確定圓的條件”的教學為例進行說明，同時指出基于HPM的數學探究學習教學設計應該注重的三個方面，即設置以素養為導向的學習目標、經歷以育人為目標的探索過程、凸顯以學生為主體的教學評價.

關鍵詞：數學探究學習；HPM；教學設計流程；教學案例；實踐思考

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——初中數學應用意識與創新意識素養行為表現及其教學案例研究（22ZS101411ZB）．

作者簡介：李明樹（1977— ），男，高級教師，主要從事中學數學課堂教學研究；

王曉峰（1970— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事中學數學教學、命題和評價研究．

數學史與數學教育之間的關系（HPM）可追溯數學知識的起點、發展的過程及研究的進展. 數學探究學習是目前國內外數學教育領域的熱點問題，它的本質是一種基于素養導向的數學學習活動，旨在讓數學探究學習自然且真正地發生在學生身上.《義務教育課程方案（2022年版）》在“課程實施”中提到：“強化學科實踐. 注重‘做中學，引導學生參與學科探究活動，經歷發現問題、解決問題、建構知識、運用知識的過程，體會學科思想方法.”《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在“課程理念”中指出：“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式.”其中，“學科探究活動”和“主動的過程”都強調以學生為主體的數學學習活動，而數學知識的理解與掌握則需要在探究學習中實現. 汪曉勤和鄒佳晨在文獻［3］中指出：“數學史在形成理性思維、激發積極情感、樹立正確信念、培養優秀品質等方面都起著獨特的作用.”

通過上述分析，筆者認為基于HPM的數學探究學習建構可以讓數學學習自然且真正地發生在學生身上，可有效落實《標準》的要求. 本文試圖剖析數學探究學習的內涵，并結合“確定圓的條件”一課的課堂教學案例，探索基于HPM的數學探究學習教學設計流程，為將HPM融入數學探究學習提供一定的參考.

一、數學探究學習的內涵

1. 數學探究學習的本質

從杜威提出五步探究教學法到施瓦布首次提出探究學習理論，在之后的世界各國的課程改革中，探究學習成為教育領域不可回避的問題. 靳玉樂博士在《探究學習》一書中指出，探究學習是指學生在教師引導下，為獲得科學素養以類似或者模擬科學探究的方式所進行的學習活動. 數學探究學習需注意三個基本要素：以素養為導向、以科學探究為方式、以學生為主體.

基于此，筆者認為，數學探究學習是以素養為導向、以問題為驅動，引導學生運用類似科學探究的方式，通過觀察、提問、實驗、類比、驗證、推理、概括、表達、運用等活動，實現對數學知識發生發展的理解，以及對數學知識的運用和遷移. 探究、科學探究、探究學習和數學探究學習之間的關系如圖1所示.

2. 探究學習的模式

探究學習的模式是聯系探究學習理論與實踐的關鍵，具有自身的結構和功能. 國內外常用的探究學習模式有“5E”探究學習模式、探究訓練模式、生物科學探究模式、社會探究模式等，涵蓋了理論、目標、程序、條件等基本要素. 數學探究學習是學生學習水平層級發展的過程性模型. 學生在數學探究學習的過程中，往往會經歷問題提出、操作探究、歸納總結、應用知識、拓展遷移五個維度（如圖2）. 此教學設計流程體現了學生學習數學過程中數學水平和素養水平的進階狀態. 由于學生的數學水平存在差異性，因此師生在進行數學探究學習的過程中應遵循過程性、階段性、一致性、文化性的原則，以促進不同的學生在數學上獲得不同的發展.

二、基于HPM的數學探究學習教學實踐

1. 教學內容分析

所授內容為蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級上冊（以下統稱“教材”）“2.3 確定圓的條件”. 學生此前已經認識了直線形幾何圖形的性質. 教材中呈現了“操作與思考”和“嘗試與交流”兩個部分，引導學生通過分別過一個點、兩個點、三個點作圓的探究活動，得到“不在同一直線上的三點確定一個圓”的結論，運用尺規作圖作任意三角形的外接圓并發現三角形的外心的位置特征.

2. 學情分析

九年級學生的知識儲備和思維水平趨于完備和成熟，已經具備了豐富的研究幾何圖形的經驗，掌握了尺規作圖的基本方法和技能.

3. 教學目標

經歷對“不在同一條直線上的三點確定一個圓”這一結論的探索過程，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念；利用尺規，過不在同一直線上的三點畫出一個圓；理解類比、轉化的數學思想，發展推理能力.

4. 教學過程

環節1：問題提出（聯想、類比問題）.

問題1：已知平面內一點A，你能聯想到的與之有關的幾何圖形有哪些？

問題2：平面內，經過點A可以畫幾條直線？幾個點可以確定一條直線？

問題3：平面內，經過幾個點可以確定一個圓呢？你知道圓的定義嗎？

【設計意圖】問題1旨在讓學生回顧幾何圖形的研究是沿著“點—線—面—體”的思路進行的，形成圖形結構. 問題2可以幫助學生回顧已學的“兩點確定一條直線”的基本事實，加深學生對“確定”的理解，激發學生的學習興趣. 對于問題3，學生已經熟知圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，引導學生通過聯想，類比直線形幾何圖形研究的方法和路徑嘗試研究曲線形幾何圖形.

師生活動：教師利用PPT播放相關圖片（略），配合文字講解為學生介紹如下數學史料. ① 舊石器時代山頂洞人制作的項鏈和骨針；② 圓，一中同長也；③ 環矩以為圓；④ 中國近代著名數學家李儼和梁宗臣認為，直角三角形固定弦，其直角頂點的軌跡便是圓.

【設計意圖】通過介紹與圓相關的數學史料，幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，激發學生的探究欲望，同時增強學生的文化自信和民族自豪感.

環節2：操作探究（分析、解決問題）.

（1）動手操作.

操作1：經過平面內一點A可以作多少個圓？

操作2：同時經過平面內兩點A，B可以作多少個圓？

思考：為什么經過平面內一點和同時經過平面內兩點都可以作無數個圓？圓心有什么特征？

師生活動：學生利用尺規作圖并說理后，教師利用幾何畫板軟件依次呈現圖3和圖4，引導學生思辨因圓心和半徑均不確定，導致圓的不確定.

操作3：經過平面內A，B，C三點可以作多少個圓？

思考：在圖5和圖6中，l1，l2分別為線段AC，AB的垂直平分線. 圖5中的A，B，C三點有什么特征？點O具有怎樣的特性？圖6中的方法為什么無法確定一個圓？

師生活動：學生利用交集法說明圖5中圓的存在性和唯一性，利用反證法說明用圖6中的方法無法確定圓. 教師利用幾何畫板軟件拖動點C，實現圖5和圖6的動態轉換，進一步引導學生理解確定圓的條件.

【設計意圖】引導學生經歷觀察、操作、探索、猜想、推理的認知過程，幫助學生從存在性和唯一性兩個方面理解“確定”一詞的含義，促進學生形成科學、能動地認識世界的良好品質，同時強化了合情推理和演繹推理的融合，以及信息技術與數學教學的深度融合.

（2）介紹數學史料.

師生活動：教師利用PPT播放相關圖片（略），配合文字講解為學生介紹如下數學史料. ① 圓者中規，方者中矩；② 規用來畫圓，矩用來畫方；③ 輪匠執其規矩，以度天下之方圓；④ 離婁之明，公輸子之巧，不以規矩，不能成方圓.

【設計意圖】旨在讓學生理解數學中知識的發生發展是按照某種規則進行的，在讓學生感嘆古人智慧的同時，進行德育滲透.

（3）例題教學.

例1? 已知，點A（2，1），B（-1，-2）.

① 若點C（5，4），試判斷A，B，C三點是否可以確定一個圓，并說明理由.

② 若點C（m，n），且A，B，C三點可以確定一個圓，試探究m，n的數量關系.

【設計意圖】引導學生運用一次函數或三角形三邊關系來解決問題，加深學生對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解.

環節3：歸納總結（提煉、升華模型）.

（1）概念提煉.

既然可以將“不共線的三點”視作“三角形的三個頂點”，那么也可以將“三角形的三個頂點”視作“不共線的三點”，即連接圖5中的線段BC可以發現：① ⊙O位于△ABC的外部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱⊙O是△ABC的外接圓；② △ABC位于⊙O的內部，同時三個頂點A，B，C均在圓上，故稱△ABC是⊙O的內接三角形；③ 點O是△ABC的外心.

歸納概念后，教師運用幾何畫板軟件的動畫功能使A，B，C三點在圓上運動，師生進一步得出結論：不在同一直線上的三點確定一個圓；圓的內接三角形有無數個.

（2）模型升華.

例2? 利用尺規作圖分別作銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓.

師生活動：在學生完成作圖后，教師利用幾何畫板軟件的自動吸附網格功能拖動圖5中的點C，改變△ABC的形狀，學生發現直角三角形外心為斜邊的中點、銳角三角形的外心在三角形內部、鈍角三角形的外心在三角形的外部.

【設計意圖】幫助學生鞏固三角形外心的作法，進一步發展學生的幾何直觀和演繹推理能力.

環節4：應用知識（應用、內化原理）.

（1）試確定圓形紙片的圓心，說說你的想法.

（2）草原上有不在同一直線上的三個牧羊點，要建一個牧民居住所，使居住所到三個牧羊點的距離相等，你打算將牧民居住所建在何處？

（3）教師展示一根有13個結的繩子，每兩個相鄰的結之間的距離相等，第1名學生將第1個和第13個結固定在一起，第2名學生捏住第4個結，第3名學生捏住第9個結，拉緊繩子，試求出繩子所圍成的三角形的外接圓的半徑. 若第3名學生捏住第8個結并拉緊繩子，其余兩名學生的位置不變，你還會求嗎？

【設計意圖】學生解決第（1）題的方法大致為：折紙；在圓上任取三點，利用尺規作圖作兩條弦的垂直平分線；等等. 第（2）題則是將生活問題數學化. 第 （3）題的“勾股繩”是古埃及人用來研究直角三角形的工具，此問題的設計具有開放性，讓學生經歷動手實驗、抽象建模、邏輯推理的學習過程，感受人類在科學探究的道路上取得的光輝成績. 亦可讓學生隨意拉緊繩子，改變三角形的形狀，加深對本節課所學知識的深度理解與應用.

環節5：拓展遷移（延學、建構關聯）.

（1）課堂小結.

① 本節課你學習了哪些知識？

② 獲得了哪些方法？

③ 感悟了哪些數學思想？

④ 你還有什么疑惑？

（2）延學遷移.

① 自主探究平面內任意四點是否可以確定一個圓？如果可以，由這四點確定的四邊形應該滿足怎樣的條件？

② 已知，在△ABC中，點A（2，1），B（-1，-2），C（m，n）. 若△ABC的外心在△ABC的某條邊上，試探究m，n應滿足的數量關系. 若外心在△ABC的內（外）部呢？

③ 課后查閱資料，搜集、整理有關圓的數學史料，以“我心中的圓”為題撰寫數學論文，展開一次穿越千年的數學文化旅程.

【設計意圖】培養學生形成對數學知識整體性、系統性、結構性的認識與理解，鼓勵學生運用類似的方法和思路開展生長式的自主探究活動，從而發展學生的代數推理和幾何直觀. 穿越千年的數學文化巡禮可以從更高層次提升學生數學探究學習的深度和廣度，實現運用HPM育人的目的.

三、基于HPM數學探究學習教學設計的思考

常態化的課堂教學過程中，師生大多直面單一的知識和枯燥的習題，往往缺乏對知識的溯源，缺少對知識的發生發展過程的探究和解讀. 鑒于此，筆者結合具體的學習內容，認為基于HPM的數學探究學習教學設計應該注重以下三個方面.

1. 以素養為導向

數學探究學習和HPM均指向學生內需的學習目標，每一個特定的學習內容都具有培養相關數學核心素養的作用. 教師要處理好數學核心素養與“四基”“四能”的關系，加強學習目標對學習過程的指導，使學生在實現知識進階的同時，完成核心素養的進階. 數學史料在教學過程中的全程滲透可以幫助學生追溯知識的起點、發展的過程和研究的現狀等. 例如，“確定圓的條件”一課的教學實踐是以素養導向的學習目標為統領、數學探究學習為手段、HPM為支架的學習過程，很好地促進了學生推理能力的提升.

2. 以育人為目標

第一，教師可以引導學生用數學家的方式從數學的外部或內部發現、提出課堂中需要探究的問題，明確學習目標，激活并調用舊知關聯新知，從而初步形成探究問題的思路. 第二，教師在教學設計時要注重情境的多樣化，讓學生感受數學在現實世界的廣泛應用，體會數學的價值. 第三，通過聯想、類比可以激發學生思考，通過體驗操作、觀察、猜想、驗證等數學活動，可以促進學生對數學知識的理解和掌握. 第四，在數學思想方法的指引下，總結、提煉數學模型，并對數學模型的本質、結構、特點進行剖析，進而達成讓學生理解數學知識的本質和原理的目標. “確定圓的條件”一課的教學在注重讓學生經歷主動探究的過程的同時，實現了落實“四基”、發展“四能”的數學學科育人的目標.

3. 以學生為主體

數學教育承載著立德樹人的根本任務. 在數學教學中，HPM的運用能夠幫助學生在了解數學家貢獻的同時深切感受到人類在科學探究過程中的光輝時刻. 學生以主體身份進行數學探究學習時，教師要注意評價方式的多樣性，改變評價的維度，綜合運用評價主體，以定性和定量相結合的方式呈現并運用評價的結果. 教師的教學實踐過程應凸顯學生獨立思考、合作交流、文化習得的探究學習過程，以實現“教—學—評”的一致性.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］汪曉勤，鄒佳晨. 基于數學史的數學學科德育內涵課例分析［J］. 數學通報，2020，59（3）：7-12，19.

［4］靳玉樂. 探究學習［M］. 成都：四川教育出版社，2005.