注重課堂筆記，促進素養生成

劉晨霞

摘? 要：數學作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求. 如何讓學生更加透徹地理解數學、理解數學思想，逐漸形成獨立地發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，是我們一直在探索的話題. 通過一段時間的研究，發現在有限的時間內高效地記數學筆記，能讓學生很好地感悟數學的本質，為高階思維的訓練打好堅實的基礎，并能利用所學的數學知識和數學思想解決實際問題.

關鍵詞：數學思想；抽象能力；推理能力；模型觀念

數學是一門抽象的學科，在錯綜復雜的知識背后滲透的是數學思想；數學是一門有規律的學科，在萬變的題中可尋出相同的思維；數學是一門結構嚴謹的學科，在對知識的探究過程中要有充分的推理論證；數學亦是一門應用廣泛的學科，既可以應用于生活，又可應用于更高深理論的研究或是跨學科的研究. 由于數學具有抽象性，導致學生對數學望而生畏. 那么，教師要思考如何讓學生喜歡數學并不斷去探究數學的奧秘.

作為數學教師，應該充分理解數學、理解學生、理解教學. 在教育的道路上，要不斷地探索. 通過實踐，筆者發現高效地記課堂筆記是關鍵. 在“雙減”背景下，要減負不減質. 因此，記筆記要做到恰到好處，既不占用學生過多的時間，又能把核心內容記下來，善于記數學筆記往往能達到事半功倍的效果. 下面筆者結合自己的教學實踐經驗，對記課堂筆記的有效性進行具體分析.

一、提高學生對數學基礎知識的理解

初中階段的數學知識既是對小學階段數學基本概念的升華和擴充，也為高中階段的數學學習奠定基礎，起到了承上啟下的作用.

學生若在課堂上的學習流于表面，則難以真正理解課堂教學中的數學定義、定理、思想、方法等，教師需要在講解典型例題或習題時引領學生記好數學筆記.

案例1：平方根與算術平方根.

在一次關于平方根與算術平方根的習題教學中，有這樣一道題目：[36]的平方根是多少？大部分學生給出的答案都是6. 很明顯，學生對平方根這一知識點是有一定了解的，但是當遇到平方根和算術平方根兩個知識點疊加在一起，且一個知識點用符號語言表示而另一個知識點用文字語言表示時，學生的思維產生了混亂. 當筆者很詳細地講解了算術平方根及平方根的實際意義、文字語言和符號語言的轉化之后，再次展示同類型的題目：[9]的算術平方根是多少？多數學生依然回答是3. 可以看出，學生對概念的理解依然不夠透徹. 于是筆者繼續改變教學方法，引導學生以記筆記的形式學習，即讓學生在試卷原題的旁邊直接標注（如圖1），這樣既省去了抄題的時間，又能讓學生很快建立知識點之間的聯系. 當學生理解了文字語言和符號語言的關系后，在之后聽講的過程中就可以進行靈活的思維轉化了.

善于記課堂筆記，對于知識點掌握不牢固的學生來說，可以將理解模糊的知識點變得清晰，即便第二天忘記了知識點，翻開筆記，依然可以清晰地回憶起來. 久而久之，學生就能找回學習的自信. 對于基礎知識掌握得比較好的學生，通過記筆記，可以讓他們對知識點有一個再認知的過程，為后續高階思維的訓練打下堅實的基礎.

為了讓學生能高效地記筆記，教師設計的題目既要基礎、典型，又要少而精. 教師在講解題目的過程中，要深入了解學生的真實思維活動，通過一系列的數學活動引導學生感悟知識點與例題的聯系，體會題目中的條件、結論之間的聯系，并引導學生在解決問題的過程中記好筆記. 好的筆記可以幫助學生更快地掌握知識，察覺自己的不足，更高效地學習，從而保障課堂學習效果.

二、提高學生的抽象思維、推理能力和模型觀念

1. 提高學生的抽象思維能力

抽象思維反映了數學的本質特征，這種思維是在學生利用數學知識、數學思想和基本技能進行推理的過程中逐漸培養、構建起來的能力.

在培養學生抽象思維的過程中，教師可以通過構建抽象思維的模型來引領學生逐漸形成抽象思維，使學生學會用抽象的眼光解決問題.

案例2：代數式.

冀教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）七年級上冊“3.2 代數式”的“一起探究”中有如下探究內容：圖2是由點組成的n行n列的方陣，圖3是由每條邊上n個點圍成的空心方陣.

教材中，在讓學生探究空心方陣的點數和時，直接給出如圖2所示的n行n列的實心點陣圖的總點數為[n2]，如圖3所示的空心點陣圖的總點數為[n2-n-22]，對此一部分學生難以理解. 筆者采用由具體向抽象過渡的思維設計關于此題的探究，先讓學生探究2行2列、3行3列、4行4列的實心點陣圖中總點數的求法，然后上升到探究n行n列的實心點陣圖的總點數，讓學生感知什么是具體、什么是抽象，然后繼續探究n行n列的空心點陣圖的總點數，整個探究過程由學生獨立完成. 教師要引導學生學會從不同角度利用抽象思維解決問題. 通過教師的引導，學生獨立思考后給出了如下的方法：利用n行n列的實心點陣圖減去[n-2]行[n-2]列實心點陣圖的總點數，得到如圖3所示的空心點陣圖的總點數.

此時學生的抽象思維剛剛建立，教師需要引領學生記好相應的筆記. 因為在記筆記的同時，學生會逐步理解上述方法，同時又會產生其他的思維過程，使思路得到拓展. 此時，筆者讓學生進行小組交流討論，相互學習更多的解決問題的方法，并逐一講解. 學生展現了如圖4 ～ 6所示的求空心點陣圖的總點數的方法. 然后筆者讓學生把每一種探究方法都做好標注，寫好推理過程. 最終，使抽象的思維逐漸內化成學生的能力，讓學生在以后學習的過程中能應用這一能力解決問題.

在課堂上或是作業設計上，教師可以選取抽象思維能力比較明顯的題目引領學生記筆記. 在推導一個公式或是一個結論時，教師可以引導學生記下推導的過程，讓學生經歷由具體到抽象再到具體的完整的數學抽象過程，熟悉數學抽象的基本套路，感知抽象的必要性. 學生在記筆記的同時也是對知識的再認識過程，有利于學生更好地理解數學的抽象思維與概念、命題之間的聯系和區別. 這樣就可以使學生在學習的過程中體會數學的抽象性，學習數學抽象的本質. 因此，教師在課堂教學中要培養學生有效地記筆記，發展學生的數學抽象思維，幫助學生建立良好的思維習慣.

2. 提高學生的推理能力

推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力. 推理能力主要是運用合情推理去獲得理解數學定義、基本事實、定理等知識或探究解決問題的方法，獲得發現、得出猜想或結論，并用推理對所得出的猜想加以檢驗、證明. 這種能力的培養是一個漫長的過程. 教師要引導學生在經歷觀察、實驗、猜想、證明的真實數學問題探索中培養學生的推理能力. 在能力培養的初期，教師可以引領學生在關鍵步驟做好標注，把推理的思維過程展示出來，逐漸讓學生感悟并提升推理能力.

案例3：“平行線的性質和判定的應用”作業設計.

在學習教材七年級下冊“7.4 平行線的判定”和“7.5 平行線的性質”兩節課后，筆者布置了以下作業.

如圖7，直線EF分別與直線AB，CD交于點E，F. EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN. 試說明：AB∥CD.

這道題目很基礎，但是對于初步接觸演繹推理的學生來說具有一定的難度. 學生推理能力的培養和訓練，需要在學生具備一定的基礎知識的前提下逐漸建構. 所以，筆者先引導學生將此題中涉及的知識點進行整理（如圖8）. 這道題主要涉及以下三個知識點：兩直線平行，內錯角相等；內錯角相等，兩直線平行；角平分線的定義. 對于平行線的性質和判定的學習，以及如何正確地將文字語言轉化成推理過程都是學生學習的難點. 那么一個好的筆記可能會讓學生茅塞頓開，從而真正理解數學知識. 接下來，筆者引導學生利用等量代換、知識點的傳遞性等進行知識的鏈接、轉化，促使學生逐漸形成推理能力，從而提升演繹推理能力.

通過記課堂筆記，學生可以借助文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化構建成熟的推理思維. 例如，案例3中，學生之后可以通過回顧課堂筆記理解此題的解題過程. 推理能力是構建在以知識為載體的基礎上的，通過將知識點環環相扣，使學生形成演繹推理能力. 學生將綜合運用這些能力去解決高階思維的題目，甚至應用于生活中或跨學科領域，從而受益終身.

3. 提高學生的模型觀念

模型觀念的培養有助于學生對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識. 從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義. 在教學活動中，教師應加強模型觀念的滲透，培養學生分析和解決實際問題的能力.

案例4：一元一次方程的應用.

教材七年級上冊“5.4 一元一次方程的應用”第1課時有如下一道思考題：某學校七年級同學參加一次公益活動，其中15%的同學去做保護環境的宣傳，剩下的170名同學去植樹、種草. 七年級共有多少名同學參加這次公益活動？

這節課是方程應用的開篇課程，既是學生經歷用算術思想解決實際問題過渡到用方程思想解決實際問題的橋梁，又是后續學習分式方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式及函數等知識的基礎. 本節課內容的學習有助于訓練和提升學生的符號意識、方程思想、模型觀念和應用意識. 教師要全方位、多角度地實施教學，使學生在學習的過程中總結通性通法，達到舉一反三的目的，逐漸形成模型觀念. 因此，筆者對這節課教學方向的把握就是引導學生抓住關鍵詞語，提煉題干中的關鍵數據，確定等量關系. 為了達到這一目標，引導學生做如圖9所示的筆記，發散學生的思維.

通過以上等量關系，引導學生產生了如下幾種不同的解題方法.

方法1：設總人數為x人，則保護環境宣傳人數為15%x人.

列方程得15%x + 170 = x.

解得x = 200.

所以七年級共有200名同學參加這次公益活動.

方法2：設保護環境宣傳人數為x人，則總人數為（x + 170）人.

列方程得15%（x + 170） = x.

解得x = 30. 則x + 170 = 30 + 170 = 200（人）.

所以七年級共有200名同學參加這次公益活動.

方法3：設總人數為x人，則保護環境宣傳人數為（x - 170）人.

列方程得15%x = x - 170.

解得x = 200.

所以七年級共有200名同學參加這次公益活動.

學生模型觀念的建立是一個循序漸進的過程，教師在教學中要引導學生的思維經歷從相對具體到相對抽象的過程，逐步積累經驗，體會模型觀念的重要性，提高學生學習的興趣. 在案例4的教學中，筆者引導學生從具體的問題情境中抽象出等量關系，從而引導學生采用多種方式解決問題. 在這個過程中引導學生利用筆記整理關鍵環節，如記下方法1 ～ 3，讓學生通過筆記感知以模型為核心的思維上的靈活多變，學會利用模型觀念解決同類問題. 因此，筆記要記核心的部分才能畫龍點睛，觸動學生的思維，點燃學生的求知欲望.

三、提高學生的“四基”“四能”

“四基”“四能”是發展學生核心素養的有效載體. 核心素養對“四基”“四能”教學目標提出了更高要求. 例如，要引導學生在發現問題、提出問題的同時，會用數學的眼光觀察現實世界；在分析問題的同時，會用數學的思維思考現實世界；在用數學方法解決問題的過程中，會用數學的語言表達現實世界. 因此，教師可以引導學生從不同的角度去分析問題，逐步提升學生的“四基”，發展“四能”.

案例5：鏈接中考.

在中考一輪復習時有如下一道題目吸引了筆者的注意.

題目? 如圖10，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且BD = [1/2]CD，若△ABD的中線BF = 2，則AC的長為（? ? ）.

此題可以關聯的知識點主要有中位線的性質定理、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、垂直平分線的性質定理、相似三角形的判定等. 學生通過獨立思考，給出了以下幾種不同的解題思路.

方法1：如圖11，取AC的中點E，連接DE，EF，構建中位線性質定理的基本圖形，得出EF∥[CD]，且EF =[1/2CD]，構建平行四邊形，最后利用“直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半”解決問題.

方法2：如圖12，依然是利用中位線性質定理創設基本圖形，但是選取邊DC的中點E，連接EF，得[EF∥AC]，且[EF=1/2AC]，再證明BF = EF，從而得出最終結論.

方法3：根據已知條件，可以得到Rt△BDF ∽ Rt△CDA，從而利用線段間的比例關系求得結論.

筆者發現學生的思維起點各異、方法各異. 此題非常適合引導學生記筆記，以此體會知識點之間的聯系，培養學生的推理能力. 于是筆者引領學生將三種思路以思維導圖的形式整理出來. 在整理的過程中，學生頭腦中會進行一次更加透徹的認知. 經常探討一道題的多種解法，既能將所學知識融會貫通，又能促進學生對基礎知識、基本技能的牢固掌握，還能積累解題經驗，提高分析問題和解決問題的能力.

四、多種形式的筆記有利于學生形成良好的數學素養

當學生具備了一定的記筆記的能力之后，在處理綜合試卷的過程中，就可以靈活地記筆記，表達自己的思想，長期堅持，可以提高學生的綜合素養. 筆者觀察學生在日常試卷處理過程中所記的筆記，發現有對知識點的標記，有文字語言與圖形語言、符號語言的轉化，有數形結合思想的體現，有模型的整理，有具體思維到抽象思維的提升. 為了不浪費學生的時間和精力，教師可以鼓勵學生在教材上、試卷上、作業紙上記筆記. 通過筆記，可以看出學生對數學知識的理解和認知程度. 記數學筆記時，能充分調動學生形成整體的知識結構和連貫的知識體系，為靈活應用知識打下堅實的基礎. 教師也可以在作業設計時選擇典型的題目，既能體現分層，又能適合學生記筆記，從而實現減負不減質的效果.

因此，要想讓學生對數學知識有更加透徹的理解，教師要帶領學生從基礎年級堅持記好數學筆記，通過日積月累地記，數學素養才能逐漸內化，才能有機滲透于數學學習過程之中，才能使學生真正對數學感興趣，從而激發學生的主觀能動性，大膽發表自己的見解和意見，進行更加深入的研究.

實踐證明，好的筆記具有以下作用. 一方面，可以幫助學生察覺自己的不足，更好地掌握基礎知識、感悟基本思想、熟練基本技能，最終將數學知識、數學技能、數學素養融合為一體，從而提高學習數學的興趣，發展數學核心素養；另一方面，學生能在解決實際問題時，不斷發現問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而完成由知識型向能力型的轉化、由封閉型向開放型的轉化、由經驗型向科研型的轉化. 因此，教師要引導學生遵循獲取知識和養成能力素養的基本規律，筑牢根本，守正而后創新.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中. 談數學基本思想和數學核心素養［J］.數學通報，2017，56（5）：1-5.