初中數(shù)學二次函數(shù)應用題解題教學研究

蘇春榮

【摘要】解題教學是數(shù)學教學的重要構成，數(shù)學教師需要關注解題教學的合理開展，并聯(lián)系實際教學情況來構建解題教學策略，生成高效的教學環(huán)節(jié).二次函數(shù)應用題是中考命題的要點，這一類題目具有較高的難度和綜合性，對學生的信息獲取能力和函數(shù)解題能力均有較高的考查要求.為了幫助學生突破二次函數(shù)應用題的解法學習，教師便可以從應用題的基本構成出發(fā)來設計教學.本文對初中數(shù)學二次函數(shù)應用題解題教學的開展作出研究.

【關鍵詞】初中數(shù)學；二次函數(shù)；解題

解題教學是數(shù)學教師需要關注的內(nèi)容，教師需要借助解題教學的開展幫助學生學習數(shù)學解題的方法，提升其解決數(shù)學問題的能力.應用題是數(shù)學題目中難度較高的一類題目，這一類題目的題干往往會提供一個現(xiàn)實的場景，學生不僅需要掌握相應的解題方法，還需要具有解析應用題、將應用題轉(zhuǎn)化為數(shù)學計算題的能力.二次函數(shù)應用題是以二次函數(shù)知識考查為核心的應用題，這一類應用題是中考數(shù)學的考查重點，為了幫助學生突破二次函數(shù)應用題的解法學習，教師需要從實際解題規(guī)律出發(fā)做出設計.

1重視概念教學，打好解題基礎

概念教學是應用題教學的基礎.通過研究可以發(fā)現(xiàn)，應用題雖然與一般的題目存在解題方法上的差異，但應用題解題的本質(zhì)也是概念知識的解題運用，二次函數(shù)的頂點式和零點計算是二次函數(shù)應用題的常用公式.若學生不能有效地掌握二次函數(shù)的概念知識，其在應用題解答中就難以合理地解析并設列算式.在當前，為了推動學生的二次函數(shù)應用題解法掌握，教師需要關注概念教學的開展，并在解題教學前利用基礎習題的展示幫助學生回顧基礎概念，為其打好解題基礎.

例如在實際中，教師可以給學生展示如下習題，帶領學生回顧二次函數(shù)的基礎內(nèi)容.

例1一個小球由靜止開始從一個斜坡上向下滾動，通過儀器觀察得到小球滾動的距離s（米）與時間t（秒）的數(shù)據(jù)如下表（s與t的關系可以視為符合二次函數(shù)關系）：

例2拋物線y=-1/2x²的對稱軸是_______，頂點坐標是_______，開口方向_______.當x_______時，y隨x的增大而增大，當x_______時，y隨x的增大而減小，當x=_______時，該函數(shù)有最_______值是_______；

在展示出兩道例題后，教師便可以聯(lián)系實際引領學生回顧，讓學生思考已經(jīng)學過的二次函數(shù)的相關概念內(nèi)容，讓其明確判定二次函數(shù)對稱軸、頂點坐標、開口方向、零點坐標、函數(shù)上坐標的變化規(guī)律的具體途徑.在完成這一基礎習題的解析分析后，學生就可以對二次函數(shù)的基礎知識生成較為深層次的認知，教師也可以趁勢開展函數(shù)應用題的解析教學.

2關注讀圖審題，教授析題方法

應用題相較于一般的數(shù)學題目，其題干的構成較為復雜，學生需要通過閱讀題干的方式來獲取關鍵的解題信息，并剔除一些無關的干擾項目.為了幫助學生掌握二次函數(shù)應用題的解題方法，教師需要以審題讀題為核心作出設計，選擇典型的習題，教授學生有效審題的方法.如，在實際中，教師可以展示如下應用題作出詮釋，讓學生思考有效審題的方法.

例3某服裝店購進一批服裝，其中一種服裝的進價為每件100元，售價為130元，每星期可以賣出80件，為了提高銷量，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果顯示，該種服裝每降價5元，每星期可以多賣出20件.求服裝店原利潤.在調(diào)價后，若想使收益最大化，該如何定價，此時最大利潤又是多少？

在展示了該題目后，教師可以引領學生分析該題目的題干，讓學生找出其中包含了題目有效信息的項目.學生通過研究易發(fā)現(xiàn)，題干中包含的有效信息為“服裝的進價”“服裝的售價”“當前每星期的服裝銷量”“服裝每降價5元，每星期可以多賣出20件.”在學生完成這一審題后，教師便可以引領學生思考，通過這些信息你們可以了解到什么，這些信息又和習題的兩個問題有何聯(lián)系呢？學生在思考后可以得出“服裝在降價后，銷量會提升，相應的總利潤也會提升，但單件服裝的利潤會降低，隨著服裝價格的降低，會出現(xiàn)一個價格，在這一價格服裝的總利潤最高”.在學生明確了這一內(nèi)容后，教師就可以引導學生從兩個題目入手做出條件的應用設計，讓學生設列算式.通過這一過程，教師就可以帶領學生經(jīng)歷應用題審題的有效過程，這對學生審題能力的發(fā)展是有利的.

3選擇代表習題，解析題目要點

為了幫助學生系統(tǒng)地掌握二次函數(shù)應用題的特點與命題要點，教師在實際中需要選擇具有代表性的二次函數(shù)應用題作出展示.在習題展示中，教師要結(jié)合應用題的題干和問題作出詮釋，為學生解釋不同的應用題提問方式所對應的考查內(nèi)容，讓學生可以通過題目的觀察來明確題目的所求內(nèi)容，進而設列二次函數(shù)式子.

例如在實際中，教師就可以聯(lián)系具體的習題作出詮釋，讓學生認識常見的二次函數(shù)方程應用題類型，并讓其認識習題的解題要點.在展示中，教師可以運用下述方式作出展示.

3.1利用待定系數(shù)法解答

例4工廠車間生產(chǎn)的A型零件，其成本為2元，售價為3元，年銷售量為100萬件，為了提升工廠效益，工廠決定拿出部分資金定制廣告.根據(jù)調(diào)研現(xiàn)實，每年投入廣告費為x（10萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，其符合如下關系：

（1）求y與x的函數(shù)關系式.

（2）如果投入的年廣告費為10萬～30萬元，請求出工廠年利潤隨廣告費增大而提升的范圍.

解析該類型題目考察點為待定系數(shù)法，題目中直接給出了y與x的二次函數(shù)關系，所以使用待定系數(shù)法可以直接求出y與x的函數(shù)關系，然后再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來求出（2）的所問內(nèi)容.

3.2利潤最大（小）值

例5某商場計劃開展降價促銷活動，其中參與打折的一款產(chǎn)品原售價為60元，每天可賣出50件.根據(jù)調(diào)查結(jié)果顯示，在商品降價后，其銷量會提升，符合如下規(guī)律：每降價1元每星期可以多賣20件，若商品的成本價格為40元，請問降價多少元可以獲得最大利潤.

解析該題目所考查的內(nèi)容為利潤最大值的求取，這一類題目的所求內(nèi)容為二次函數(shù)的頂點，學生需要設列函數(shù)關系式，找出求取頂點的方法.

在實際中，學生需要了解幾個概念，其分別為“單價”“商品利潤”“價格變動量”“銷售量變化”“商品總銷售量”“總利潤”“凈利潤”，針對這些概念，教師要作出實際解析，讓學生了解其具體的內(nèi)涵.

3.3二次函數(shù)構造

例6如圖1，有一塊拱形鐵皮，其邊緣呈現(xiàn)拋物線狀，MN=4cm，拋物線頂點處到邊MN的距離為4cm，若在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形的頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，請問這樣截得的矩形的周長能否等于8cm？

解析在這一題目中需要從拋物線來聯(lián)系二次函數(shù)，然后根據(jù)題目所給條件來設列二次函數(shù)式.綜合來看，這一類題目的考查要點是利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決實際問題，具有較高的建模要求，學生需要結(jié)合實際的信息來構建二次函數(shù)模型，并創(chuàng)建直角坐標系，然后從二次函數(shù)與長方形的融合入手做出架構.

4構建變式練習，推動學生掌握

變式練習是一種具有較強針對性的練習設置，在變式練習中，教師可以通過一道典型應用題和其變式題來做出展示，讓學生圍繞習題的考查點變化來分別思考，進而幫助學生認識一類問題的有效解答策略.為了構建有效性較強的變式練習環(huán)節(jié)，教師需要做好課下資源的開發(fā)，通過教學檢索與整合的方式選擇代表性較強的習題作為變式練習的原式，然后再考慮題目的變形調(diào)整來生成一系列變式習題.

例如在實際中，教師可以使用如下的變式題構建變式練習.

原式某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查顯示：每漲價1元，每星期少賣10件；每降價1元，每星期可多賣20件，已知商品的進價為40元每件，如何調(diào)價才能獲得最大利潤？

變式1在原式的基礎上，若商品原材料價格上漲，導致進價變?yōu)?0元每件，此時如何調(diào)價才能獲得最大利潤？

變式2某商品進價為40元每件，現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查顯示：每漲價1元，每星期少賣10件；每降價1元，每星期可多賣20件，若商場想要每星期獲利6000元，且能符合降價促銷的要求，應如何調(diào)價？

在展示了上述的原式和變式題后，教師便可以引領學生對三道習題做出分析，思考三道習題的區(qū)別，然后在完成三道習題的解答后，教師再引導學生分析利潤求取這一類二次函數(shù)應用題的有效解答方法，促進學生完全掌握.

5立足“建模能力”，做出習題分析

“建模”是數(shù)學核心素養(yǎng)的構成部分，這一素養(yǎng)的培養(yǎng)對學生習題認知和解題能力的發(fā)展有著重要的意義.為了發(fā)展學生的“建模能力”，教師需要選擇合適的習題作為對象進行研究，讓學生在習題分析的過程中實現(xiàn)解題思路的具象化展現(xiàn)，進而形成解決一類題目的通用解題方法.在實際中，教師要為學生做出解題模型建立的方式展現(xiàn)，幫助學生加以認知和思考.

例如在實際中，教師便可以綜合實際的二次函數(shù)習題做出“建模”的展示，讓學生從解題模型的認知出發(fā)來獲得“建模能力”的提升培養(yǎng).其中，教師可以綜合二次函數(shù)常見的利潤最大（小）值求取問題做出展示.

這一類習題的解題過程可以做出以下模型規(guī)劃：

（1）讀題審題，獲取關鍵信息；

（2）基于實際問題，整合題目條件；

（3）尋找函數(shù)關系，設列函數(shù)關系式；

（4）建立坐標系，分析函數(shù)頂點；

（5）聯(lián)系題目要求，做出數(shù)據(jù)處理.

在用文字來闡述了這一類二次函數(shù)應用題解法后，教師便可以讓學生結(jié)合具體的題目解題過程做出分析，將其中的共有內(nèi)容剝離出來，總結(jié)這一類題目的通用解題思路，即通性通法.

6關注學生發(fā)展，優(yōu)設解題評價

評價是教學的重要構成部分，有效評價設計可以點明學生存在的問題，進而推動其提升與發(fā)展.在二次函數(shù)應用題解題教學中，教師同樣可以借助評價的進行分析學生的解題能力發(fā)展情況，再針對性地給出調(diào)整建議，以此推動學生的發(fā)展.

例如在二次函數(shù)應用題的基本教學告一段落后，教師可以開展專項測試，在其中為學生展現(xiàn)二次函數(shù)應用題.在學生完成應用題解答后，教師便可以聯(lián)系學生的實際解題情況作出分析，找出學生易錯題和出錯原因.在此基礎上，教師便可以展開解題評價，點明學生現(xiàn)階段存在的主要問題，并給出調(diào)整的建議.其中，針對學生二次函數(shù)遞增遞減區(qū)間無法理清的問題，教師便可以給出評價“部分同學對二次函數(shù)的概念知識理解還是存在欠缺，二次函數(shù)的遞增遞減區(qū)間與其頂點有著密切的聯(lián)系，請同學們再次回顧二次函數(shù)的基本內(nèi)容來做出復習”.

7結(jié)語

總而言之，二次函數(shù)應用題解題教學的構建是教師需要關注的內(nèi)容，教師要結(jié)合應用題的題目結(jié)構，從二次函數(shù)應用題的特征出發(fā)做出研究，讓學生學習解答二次函數(shù)應用題的有效方法.在實際中，教師可以圍繞概念教學開展、讀圖審題進行、題目要點解析、變式訓練構建、習題建模開展、解題評價構建六方面來作出調(diào)整.

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