基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂教學(xué)

［摘? 要］ 課程發(fā)展理論認(rèn)為，教育是改變?nèi)祟愋袨榈闹匾侄? 如何發(fā)揮教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在力量，將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)根植于課堂教學(xué)的方方面面？文章提出以下幾點(diǎn)措施：追根溯源，培養(yǎng)抽象能力；突出主題，啟發(fā)直觀想象；揭露關(guān)聯(lián)，提高數(shù)據(jù)分析能力；深化整理，獲得建模能力.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；課堂教學(xué)；抽象能力

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心內(nèi)容，主要包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析六要素. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程發(fā)展的方向，又是個(gè)體發(fā)展的培養(yǎng)目標(biāo)［1］. 自2014年教育部頒布《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》后，2017年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式將核心素養(yǎng)與立德樹(shù)人列為教育的核心目標(biāo).

因此，筆者在近些年的教學(xué)中，將目光鎖定在如何注重教學(xué)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上. 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期嘗試與完善，獲得了不錯(cuò)的效果. 本文以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)為例，從課堂立意、教學(xué)策略、資源開(kāi)發(fā)、價(jià)值取向等角度出發(fā)，具體談一談如何發(fā)揮教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在力量，將立德樹(shù)人根本任務(wù)落實(shí)在課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)，從根本上提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

追根溯源，培養(yǎng)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是舍掉數(shù)學(xué)事物的所有物理屬性，對(duì)其進(jìn)行研究的思維過(guò)程. 誘導(dǎo)公式研究的對(duì)象是誰(shuí)？抽象的結(jié)論是什么？顧名思義，誘導(dǎo)公式為研究的結(jié)論，而研究的對(duì)象則為三角函數(shù). 究竟該如何關(guān)注過(guò)程，對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行分析與研究呢？教材利用單位圓定義了三角函數(shù)，圓又具有典型的對(duì)稱性，若利用圓的對(duì)稱性對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行研究具有可行性.

問(wèn)題：是否可以單位圓關(guān)于x軸、y軸、直線y=x對(duì)稱（軸對(duì)稱），關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱（中心對(duì)稱）等特征為出發(fā)點(diǎn)，獲取與三角函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的內(nèi)容呢？

追根溯源，發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題涵蓋著以下四層含義：①單位圓為此問(wèn)的起點(diǎn)；②圓的對(duì)稱性是思考問(wèn)題的主要方法；③此問(wèn)的研究對(duì)象為三角函數(shù)；④獲得相關(guān)性質(zhì)為研究目標(biāo).

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，一些有用的數(shù)據(jù)信息常隱匿在學(xué)生的思考中，但又不容易被察覺(jué)與提取，對(duì)于此問(wèn)的研究目的，學(xué)生不會(huì)主動(dòng)去思考. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂預(yù)設(shè)時(shí)，應(yīng)敏銳地觀察到制約學(xué)生“思考”的因素，換位到學(xué)生的角度進(jìn)行教學(xué)立意與情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生回歸到教材，激活思維，研究有用的數(shù)據(jù)信息.

學(xué)案作為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主要方案，教師編寫(xiě)時(shí)應(yīng)考慮到學(xué)生的實(shí)際情況與知識(shí)特點(diǎn)，使用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題進(jìn)行導(dǎo)讀、導(dǎo)思，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)接導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)問(wèn)與自主學(xué)習(xí).

情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，教師可從以下兩個(gè)問(wèn)題著手：①有了0～2π的角后，再引入任意角的目的是什么？②掌握了銳角的三角函數(shù)后，為什么還要探討任意角的三角函數(shù)呢？以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生探討、思考，讓學(xué)生從根本上認(rèn)識(shí)到探索任意角、銳角以及0～2π角的三角函數(shù)關(guān)系的真正意義與價(jià)值，有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)興趣.

結(jié)合教材內(nèi)容，對(duì)接學(xué)生的自主探究，能讓學(xué)生對(duì)研究對(duì)象、目標(biāo)、方法、依據(jù)產(chǎn)生明確認(rèn)識(shí). 學(xué)生在研究活動(dòng)過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，獲得深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，形成個(gè)體獨(dú)有的思維方式. 從圓周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)特征出發(fā)，解讀誘導(dǎo)公式一，再與之前學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容銜接，為“誘導(dǎo)”立意，導(dǎo)向、導(dǎo)學(xué)，不僅能讓學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的形式產(chǎn)生明確認(rèn)識(shí)，還能讓學(xué)生從本源上理解單位圓具有怎樣的意蘊(yùn)，知道數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)與內(nèi)涵，對(duì)誘導(dǎo)公式的來(lái)龍去脈形成深刻認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)進(jìn)一步探索夯實(shí)基礎(chǔ)，建立信心.

追根溯源，追的是知識(shí)的起源與根源. 單位圓、三角函數(shù)的定義等是誘導(dǎo)公式的起源，而化歸則是誘導(dǎo)公式的思想根源，意圖將任意角的三角函數(shù)問(wèn)題化歸成銳角的三角函數(shù)問(wèn)題去分析.

想讓學(xué)生從根本上掌握誘導(dǎo)公式，從學(xué)案導(dǎo)讀到課堂教學(xué)過(guò)程，都要從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，切忌流于形式走過(guò)場(chǎng)，要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)實(shí)在在地參與知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，積極主動(dòng)地進(jìn)行探索與分析，掌握知識(shí)的內(nèi)涵.

必要時(shí)，還可以借助現(xiàn)代化的教學(xué)手段，如多媒體的應(yīng)用等，在充分保證學(xué)生智力活動(dòng)的同時(shí)，豐富先行組織者，鼓勵(lì)學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示中，回歸到知識(shí)的本源中去，自主發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象，在研究過(guò)程中抽象出相應(yīng)的知識(shí)與技能，真正意義上做到“知其然且知其所以然”. 學(xué)生在此過(guò)程中，可獲得良好的思考習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

突出主題，啟發(fā)直觀想象

所謂的直觀想象是從空間想象的角度來(lái)感知事物的形態(tài)與變化特征，數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的是用幾何圖形來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 直觀想象能力決定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，它對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)形成具有直接影響［2］.

教材上有這樣一個(gè)探究課例：若α為給定的角.

問(wèn)題1：角π+α，π-α的終邊和角α的終邊具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

問(wèn)題2：角α的終邊與角-α的終邊之間具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

問(wèn)題3：角α的終邊與角（π／２）-α的終邊之間具有怎樣的聯(lián)系？它們的三角函數(shù)間又存在怎樣的聯(lián)系？

這三個(gè)問(wèn)題明確了探究方向，為學(xué)生指明了思維視角. 隨著問(wèn)題的指引與探索，學(xué)生從“數(shù)”出發(fā)，通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的考查，探索單位圓的對(duì)稱關(guān)系. 結(jié)合以上學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的思考與此處的探究活動(dòng)來(lái)看，“思考”是從圓對(duì)稱性的角度來(lái)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)，而“探究”是從“數(shù)”與弧度表示角的層面出發(fā)，探索單位圓的對(duì)稱關(guān)系.

將“思考”與“探究”結(jié)合在一起分析，想要培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與歸納猜想等核心素養(yǎng)，可在歸納演繹階段續(xù)接以上教學(xué)：①在給定角α的基礎(chǔ)上，設(shè)定它的終邊和單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定義自主寫(xiě)出三角函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式；②從單位圓關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱出發(fā)進(jìn)行猜想驗(yàn)證，學(xué)生獲得對(duì)稱點(diǎn)P（-x，-y）與終邊OP的對(duì)應(yīng)角π+α及誘導(dǎo)公式二；③仿照以上環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)單位圓關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的結(jié)論，獲得誘導(dǎo)公式三和誘導(dǎo)公式四；④應(yīng)用變式引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位圓關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，獲得誘導(dǎo)公式五；⑤應(yīng)用角變換，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式六.

完成以上環(huán)節(jié)后，與學(xué)生一起回顧誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)與推理的過(guò)程，此時(shí)再帶領(lǐng)學(xué)生回到教材上的“探究”活動(dòng)中來(lái)，凸顯“對(duì)稱與坐標(biāo)關(guān)系、兩角與誘導(dǎo)公式”的歸納猜想過(guò)程，有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

歸納與演繹是數(shù)學(xué)思維的兩個(gè)重要方面. 以上課例凸顯出“歸納—演繹”的過(guò)程，先從圓的對(duì)稱性出發(fā)進(jìn)行猜想驗(yàn)證，充分發(fā)揮了直觀想象的重要性，獲得了兩角關(guān)系與坐標(biāo)關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)坐標(biāo)的幾何意義有了充分認(rèn)識(shí)；再?gòu)闹苯亲鴺?biāo)系中對(duì)角、角的始邊以及x軸非負(fù)半軸重合等方面進(jìn)行分析，通過(guò)簡(jiǎn)單推理角、坐標(biāo)的關(guān)系后得出誘導(dǎo)公式. 學(xué)生在此過(guò)程中，抓住推理的要點(diǎn)，在猜想證明中自然而然地獲得問(wèn)題的結(jié)論.

圓的對(duì)稱性除了與原點(diǎn)、軸對(duì)稱有關(guān)，還與角平分線有關(guān). 從求簡(jiǎn)角度來(lái)看，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)單位圓關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的誘導(dǎo)公式進(jìn)行探討. 雖然探討過(guò)程頗有難度，但從教材所呈現(xiàn)的“探究”問(wèn)題出發(fā)，可有效地開(kāi)啟學(xué)生的智慧，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力具有促進(jìn)作用.

在必要時(shí)，教師可借助信息技術(shù)的演示功能，凸顯知識(shí)的動(dòng)態(tài)特征，讓學(xué)生在直觀的視覺(jué)感受中激發(fā)想象、獲得猜想、建構(gòu)新知，從根本上掌握誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，并獲得良好的數(shù)形結(jié)合思想，提高直觀想象的素養(yǎng).

揭露關(guān)聯(lián)，提高數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析是指從一系列數(shù)據(jù)中，提取有用信息的過(guò)程. 誘導(dǎo)公式中存在哪些有用信息，可以將這些信息整合成什么知識(shí)呢？當(dāng)學(xué)生獲得誘導(dǎo)公式二、三、四后，教材提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言對(duì)誘導(dǎo)公式一到四進(jìn)行概括，并說(shuō)說(shuō)它們各自具備怎樣的作用？”此問(wèn)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，并為公式的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

從宏觀角度來(lái)看，我們可將六組誘導(dǎo)公式視為一個(gè)整體，應(yīng)用揭示關(guān)聯(lián)的策略，挖掘公式的價(jià)值資源，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 理解公式時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面著手：①?gòu)慕铅恋娜我庑灾郑匦禄貧w到單位圓的對(duì)稱性與周期性進(jìn)行分析；②通過(guò)符號(hào)理解將α視為銳角的原因，充分認(rèn)識(shí)前四個(gè)誘導(dǎo)公式的功能（任意角—0～2π的角—銳角）以及誘導(dǎo)公式五、六的功能與規(guī)律（正弦和余弦函數(shù)互相轉(zhuǎn)化，奇變偶不變，符號(hào)看象限），為后期靈活應(yīng)用公式奠定基礎(chǔ).

數(shù)據(jù)具有表達(dá)信息的功能，而信息又是數(shù)據(jù)的內(nèi)涵，語(yǔ)言為表達(dá)信息的關(guān)鍵. 語(yǔ)言作為用來(lái)思維與交流的基本工具，在教學(xué)中應(yīng)用十分廣泛. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言與自然語(yǔ)言有著顯著區(qū)別，一般以文字、符號(hào)與圖形三種形式呈現(xiàn).

在本節(jié)課中，從挖掘數(shù)據(jù)信息價(jià)值的角度來(lái)激活數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)、轉(zhuǎn)化與交流，主要體現(xiàn)在：①通過(guò)對(duì)角α任意性的探索，使得學(xué)生切身體會(huì)數(shù)據(jù)信息的價(jià)值，獲得“單位圓的對(duì)稱性（形）—誘導(dǎo)公式（數(shù)）—單位圓（形）”的認(rèn)識(shí)，為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ)；②角變換方法的應(yīng)用，使得學(xué)生從一個(gè)新的領(lǐng)域再次領(lǐng)悟數(shù)據(jù)信息的價(jià)值，從“角、名、符號(hào)”三方面厘清各個(gè)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)引語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的視角；③對(duì)符號(hào)進(jìn)行分析，學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)據(jù)信息的價(jià)值，經(jīng)歷“圖形語(yǔ)言—符號(hào)語(yǔ)言—文字語(yǔ)言”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，有效激活數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換機(jī)制.

語(yǔ)言轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)思維的核心，教師將不便思考的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為通俗的語(yǔ)言情境，可有效促進(jìn)學(xué)生的理解與思維的發(fā)展. 思維能力決定了學(xué)生的整體素養(yǎng)，是實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的根本. 必要時(shí)，教師可借助多媒體的切換功能，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更豐富的語(yǔ)言情境，活躍學(xué)生的思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，建構(gòu)良好的數(shù)據(jù)分析能力，形成結(jié)合數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣.

深化整理，獲得建模能力

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象，并用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與解決問(wèn)題的過(guò)程. 學(xué)習(xí)知識(shí)是為了更好地解決實(shí)際問(wèn)題. 誘導(dǎo)公式可以解決哪些實(shí)際問(wèn)題呢？基于這個(gè)思考，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從公式的應(yīng)用價(jià)值著手，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 尤其在課堂尾聲，通過(guò)小結(jié)的方式為學(xué)生的課后探究留下懸念，也可以留下變式練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，抽象出求任意角的三角函數(shù)值的步驟與方法.

一個(gè)成功的課堂小結(jié)能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生更加深刻的思考與探究. 在本節(jié)課中，小結(jié)環(huán)節(jié)可以從以下幾點(diǎn)做起：①通過(guò)對(duì)引例的解答，達(dá)到前后呼應(yīng)、梳理、深化的目的，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出求任意角的三角函數(shù)值的方法，升華學(xué)生的情感；②回顧探究歷程，厘清知識(shí)要點(diǎn)，凝練誘導(dǎo)公式的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化與思維模型；③布置研究性任務(wù)，為學(xué)生提供個(gè)性化的選項(xiàng)，鼓勵(lì)學(xué)生自主獲得數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)模型包括思想模型、應(yīng)用模型與思維模型. 其中思想模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用核心，在必要時(shí)，教師可以借助多媒體等手段，改造學(xué)生的思維模型，促進(jìn)學(xué)生反思，讓學(xué)生不斷完善自身的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)與建模能力的發(fā)展.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素既具有一定的獨(dú)立性，又具有交互性，正是這些特性將它們膠著在一起，形成有機(jī)的整體［3］. 從本節(jié)課的教學(xué)策劃、組織、實(shí)施與小結(jié)來(lái)分析，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況，有著密不可分的聯(lián)系. 在實(shí)施過(guò)程中，教師應(yīng)從局部出發(fā)，逐一突破知識(shí)難點(diǎn)，與學(xué)生一起挖掘知識(shí)的內(nèi)涵與價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的潛能.

聯(lián)合國(guó)教科文明確指出：“教育是全人類共同核心利益.”由此可見(jiàn)，教育的核心任務(wù)是人文主義精神的教育，是全面可持續(xù)發(fā)展的育人行為. 一線數(shù)學(xué)教師站在教育改革的浪尖上，應(yīng)立足課堂教學(xué)過(guò)程，從學(xué)生終身發(fā)展的角度出發(fā)，潛心研究教學(xué)，健全學(xué)生人格，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正意義上實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人使命.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 羅增儒.從數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（19）：2-7.

［2］ 喻平. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（06）：1-6.

［3］ 常毓喜. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的2018年高考數(shù)學(xué)試題分析［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（03）：53-58.

作者簡(jiǎn)介：李偉偉（1988—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲聊城市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng).