數學化：促進學生的數學建模

［摘? 要］ 數學建模是培養學生數學素養的有效路徑。“生活原型”是數學建模的邏輯起點，“數學化”是數學建模的有效路徑。在數學建模教學中，教師要引導學生經歷數學知識的再創造，助推學生建構數學模型，同時要引導學生為數學模型賦予意義，讓學生變式遷移、應用數學模型。在數學建模的過程中，教師要相機滲透數學思想、方法。數學建模能有效提升學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養。

［關鍵詞］ 小學數學；數學建模；數學化

學生數學學習的過程就是數學建模的過程。所謂“數學建模”，是指“用數學的眼光觀察問題，用數學的思想、方法解決問題，用數學的語言描述問題的一種學習方式”。引導學生數學建模，關鍵是將現實問題“數學化”。數學化，按照荷蘭著名數學家弗賴登塔爾的觀點，包括“橫向數學化和縱向數學化”。所謂“橫向數學化”，是“將生活化問題提煉、抽象成數學問題”，是“引導學生從生活世界走向符號世界的過程”。所謂“縱向數學化”，是指“對數學知識的型塑，也就是對數學知識的歸納、抽象、概括、推理、推廣等”［１］。數學化，有助于促進學生數學建模。

一、生活原型：數學建模的邏輯起點

從某種意義上來說，數學模型都是具有現實生活原型的，都是對生活原型的抽象、提煉和概括。因此，“生活世界”中的豐富的“生活原型”是數學建模的根基，是數學建模的邏輯起點。在學生數學建模的過程中，教師要讓學生對數學模型的實際原型有充分的了解，明確數學模型的原型特征。為此，教師要為學生提供貼近生活的學習背景，引導學生從生活世界中主動提煉相關的數學信息，并運用已有知識和經驗，對提煉出的數學信息進行深度加工。這樣的一個過程，其實就是對生活問題、生活現象等不斷簡化、邏輯化、抽象化、概括化、形式化的過程。

數學模型是對客觀世界的一種數學化確證與表征，是對生活現象的一種邏輯化、概括化、符號化的提煉、抽象和概括。在數學教學中，教師要充分應用相關的生活世界中的素材、資源等，尤其要應用生活世界中與數學知識相關的典型素材、資源等。比如教學“正反比例的量”時，教師必須為學生提供生活世界中相關的課程資源、素材等，或者讓學生自主收集生活世界中常見的量、量的關系等相關的現實背景下的課程資源、素材等。在此基礎上，教師可以引導學生自主分析分類相關的課程資源、素材等，比如哪些量有關聯，哪些量沒有關聯？在有關聯的量中，這些量之間有著怎樣的關系？哪些量是一種擴大另一種也隨著擴大？在一種量擴大另一種量也隨著擴大的兩種量中，哪些量相對應的兩個數的比值也就是商保持一定？等等。借助生活化、典型化的課程資源、素材，學生可以展開深度思考、探索。如此，學生就能逐步抽象、概括出“成正比例的量的特征”，逐步建構出“成正比例的量”的數學模型。教師要通過引導學生充分經歷“橫向數學化”和“縱向數學化”，讓學生逐步深入數學知識的本質腹地。在數學教學中，教師用數學建模的眼光觀察學生數學學習，就是要充分發掘課程資源、素材中的建模因子，充分精選、優化、打磨、完善數學知識的生活原型。有時候，為了教學需要，教師可以深度加工相關原型。

從學生的生活世界中精選、優化數學知識的原型，能有效激發學生的數學建模興趣，調動學生數學建模的積極性，發掘學生數學建模的創造性，進而讓學生積極投入數學建模過程。挑選、精選、優化數學原型素材，看似無足輕重，實則獨具匠心，不僅體現教師的教學設計、研發思想，更體現教師的數學化眼光、數學建模思想和觀念等。

二、經歷創造：數學建模的教學演繹

按照荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的觀點，學生數學建模的過程，就是學生數學“再創造”的過程。對數學知識的“再創造”，要求教師用建模的數學思想和觀念來指導自我的教學，這就是數學建模的教學演繹［２］。為此，教師要讓自己的數學教學切入學生數學建模的最近發展區，讓學生從自我的數學現實水平出發，經由“再創造”，實現對相關知識的模型建構，從而抵達學生的“可能發展水平”。“再創造”是數學建模的主要方式，不僅體現教師的教學智慧，更體現學生的學習機智。

在引導學生進行數學“再創造”的過程中，教師要適度、適時地指導，調控活動進程，讓學生經歷從“生活原型”到“數學模型”的抽象、提煉、概括。比如教學“認識乘法”時，教師要引導學生充分經歷“算法建構”的過程。因為“乘法模型”具有普適性的意義，在數學學科中有著廣泛的應用，比如“單價乘數量等于總價”“工效乘工時等于工總”“速度乘時間等于路程”，比如“長方形的面積公式”“平行四邊形的面積公式”，等等。“乘法模型”體現的數學意義有二：一是幾個相同加數的和的簡便運算，二是一個數的幾倍或幾分之幾。其中，相同數的連續相加是乘法模型的建構基礎。因此，教學中教師要重點突出相同加數，并在相同加數連續擴張的過程中，催生學生“再創造”，如“5+5+5”“5+5+5+…+5（10個）”。通過這樣的富有強烈刺激的“相同加數”以及“相同加數的個數”，讓學生深刻感悟到“乘法是表示相同加數的和的簡便運算”，從而幫助學生建構乘法模型——“a×b”。

建構模型時，在引導學生對數學知識“再創造”的過程中，教師要淡化符號表達，彰顯意義表達，例如有學生將“a×b”表征為“a△b”“a※b”“ab”“a［ｂ個相加］”等。不同模型符號的“再創造”彰顯著學生的獨特性理解，體現著學生的個性化思維、個性化認知。在數學建模的過程中，教師要引導學生深度思考、探究。從某種意義上來說，數學建模的過程，是對具有相同屬性的一類運算抽象、概括的過程。建構數學模型，能有效鞏固學生所學的數學知識，培養學生的數學思維能力、數學實踐能力。

三、賦予意義：數學建模的遷移應用

教師引導學生建構數學模型，還要注重賦予模型意義，注重模型的具體化應用。只有這樣，學生才能感受、體驗到數學模型的意義和價值所在。數學建模，是學生數學思想方法“從外走內”的一種內設性橋梁。賦予數學模型意義，能促進學生理解數學模型，提升學生應用數學模型解決問題的能力；賦予數學模型意義，能增強學生應用數學模型解決問題的信心。

例如教學“梯形的面積”時，引導學生建構梯形面積模型后，教師呈現諸多應用梯形面積模型可以解決的實際問題，能豐富梯形面積模型的意義，深化學生應用梯形面積模型及變式。比如“一堆鋼管，最上面的一層可作為梯形的上底，最下面的一層可作為梯形的下底，層數可作為梯形的高，所以鋼管總根數可以看成梯形的面積”；比如“時鐘在六點敲六次可以看成梯形的上底，在十二點敲十二次可以看成梯形的下底，從六點到十二點時鐘一共敲擊了七次可以看成梯形的高，總敲擊次數就相當于梯形的面積”，這是學生特有的具有創造性的聯想。不僅如此，在遷移、應用梯形面積模型的過程中，有的學生結合已有知識和經驗，將“三角形看成特殊的梯形”，即“三角形是上底為零的特殊梯形”；將“平行四邊形看成特殊的梯形”，即“平行四邊形是上底和下底相等的特殊梯形”；將“正方形看成特殊的梯形”，即“正方形是上底、下底和高都相等的特殊梯形”，等等。這樣的一種對梯形面積模型的變式遷移、創造應用，能讓學生超越傳統的將梯形面積模型局限于圖形與幾何的領域，延伸拓展到“數與代數”等相關領域。賦予這樣一種意義，能深化學生對梯形面積模型的認知，拓展學生對模型的意義的理解。

用數學建模思想來指引學生數學學習，能讓學生統整相關數學知識的意義。建構數學模型不僅僅是為了獲得一個數學結論，更重要的是幫助學生從系統化、形式化、符號化的視角去把握現實世界，讓學生用數學思想方法去刻畫、描述現實問題。當學生經歷數學模型再創造、變式應用等過程后，學生就能初步形成一種“模型化”處理相關問題的能力、素養，就能感受、體驗到數學模型建構的意義。

四、感悟思想：數學建模的經驗累積

對數學思想方法的感悟，是數學模型建構的重要旨歸。數學建模，不能就問題建模而建模，應當引導學生建模后，對建模過程進行反思。要通過建模反思，幫助學生累積相關的數學建模經驗。數學模型蘊含著一定的數學思想方法，數學建模過程同樣也滲透著一定的數學思想方法。教師引導學生感悟建模思想，能幫助學生積累、提煉、生成數學建模的活動經驗。

例如教學“圓的面積”時，教師可以放手讓學生建構數學模型，如“圓通過剪拼轉化成長方形”“圓通過剪拼轉化成三角形”“圓通過剪拼轉化成梯形”等。在剪拼的過程中，教師可以引導學生比較不同的轉化方法，重點突出“轉化思想方法”在圓面積的推導過程中的作用。這里，不僅僅是將未知轉化為已知，更重要的是凸顯將彎曲轉化為筆直（化曲為直）的思想方法。不僅如此，在引導學生建構模型的過程中，還要突出“極限思想方法”的滲透、融入、應用。“把……等分成……，等分的份數越多，……越接近……”這樣的一種表述，不僅僅是一種概念化表述，更是極限思想方法的語言載體。“語言是存在的家園”（海德格爾語），在數學模型的建構過程中，教師要引導學生用抽象化、符號化、形式化的語言來描述模型的建構過程，來刻畫模型的建構結果。如此，學生就能感受、體驗到數學思想方法的神奇力量，就能感受、體驗到數學思想方法的一種熏染、啟迪。例如有學生建構“圓的面積模型”時發出這樣的由衷感嘆：“隨著平均分的份數越來越多，圓就越來越接近長方形了；當圓被平均分成無數等份時，圓就是長方形了……”這樣的感嘆，說明學生已經深刻觸摸到了“極限思想”“極限方法”。在數學模型的建構過程中，教師要相機滲透、融入相關的數學思想方法，諸如對應思想方法、轉化思想方法、數形結合思想方法、函數思想方法等。對數學思想方法的重視，一定能讓學生將數學建模上升到理性高度，充滿著一種理性味道。

數學建模是提升學生數學學習能力、發展學生數學核心素養的重要路徑。從某種意義上來說，任何一個數學知識點都是一個微型的數學模型。同樣，任何一個數學知識點的教學，都是一種建模教學。在數學建模的過程中，教師不僅要引導學生進行數學化的再創造活動，還要注重賦予生活化的意義，注重數學模型的生活實踐應用。只有從“數學化”“生活化”雙重視角開展數學建模教學，才能有效豐富學生的數學建模經驗。

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說：“與其說是學習數學，毋寧說是學習數學化；與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化；與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化。”基于數學化的數學建模，能有效激發學生的數學思考，引導學生的數學探究。數學建模，應當充分體現數學化的過程，培育學生數學化的眼光、數學化的大腦，這是數學建模教學的應然狀態和至高境界。

參考文獻：

［１］ 吳煒芬. 數學建模與小學數學相結合的教學探究［Ｊ］. 基礎教育研究，２０２１（１０）：７７－７８.

［２］ 蔡文平. 小學數學建模教學的意義和策略［Ｊ］. 教育研究與評論（小學教育教學），２０１６（１２）：６６－６８.

基金項目：江蘇省中小學教學研究2019年度第十三期立項課題“基于小學生數學關鍵能力發展的教學實踐研究”（2019JK13-L200）；江蘇省教育科學規劃2020年度重點自籌課題“基于小學生數學關鍵能力發展的教學轉型研究”（B-b/2020/02/39）。

作者簡介：劉國文（1977—），本科學歷，中小學高級教師，從事小學數學教學工作。