通過“同類量的比”獲得概念定義

黃力 劉颯 張維國 鞏子坤

【編者按】 學好數學的法寶之一是透徹理解概念，而非機械記憶概念。理解“比”的概念，是一個難點。為了幫助學生建立比與除法、分數之間的內在聯系，實現對“比”的理解從概念定義、概念延展到概念深化的總體進階，杭州師范大學鞏子坤教授領銜的團隊設計了環環相扣的三條學習路徑，并在課堂中開展了實證研究。本期《專題研究》欄目，呈現他們的研究成果。

摘 要：通過“同類量的比”獲得概念定義，是“比的認識”的第一條學習路徑。教學時，教師要關注學情，從“差比”過渡到“倍比”，從貼合學生實際的倍比情境中引導學生進行“差關系”和“倍關系”的比較，明晰“倍比”的重要性和獨特性。同時，緊扣“關系”，引導學生有序探究、獲得比的概念。探究相同比得到形狀相同而不同比導致形狀不同的過程，有助于學生感悟“比”的本質就是描述兩個數量之間的倍數關系，從而得到比的定義。

關鍵詞：小學數學；比的認識；同類量的比；概念定義

本文系浙江省哲學社會科學規劃課題“基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（編號：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關計劃資助項目

“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（編號：2023GH005）的階段性研究成果。鞏子坤為本文通訊作者。

小學數學領域，“比”的學習能夠促進學生對除法和分數的進一步認識，溝通知識間的內在聯系，為后續比例以及其他有關內容的學習奠定基礎。什么是“比”？《辭海》中解釋道：“比”概念的本源是“比較”，比較兩個同類量的關系時，如果以b為單位來度量a，稱a比b，所得的k值稱為比值［1－2］教學中，通過“同類量的比”獲得概念定義，是“比的認識”的第一條學習路徑。

一、研究設計

選取深圳市一所普通小學開展教學實驗，由教師H授課。研究對象為六年級甲、乙兩個平行班的學生。

實驗前，對兩個班進行前測，統計分析兩個班的前測數據，使用SPSS 23.0進行獨立樣本t檢驗，得知兩個班學生在授課前對“比”概念的理解不存在顯著性差異（t=－4.230，p=0.265），知識水平相當。

本研究主要采用課堂觀察法、問卷調查法、訪談法以及行動研究法。來自教師的數據包括：教學設計、教學課件、教學研討、教學錄像。來自學生的數據包括：前測、后測、學習單。

通過課堂觀察及前測、后測數據分析，說明學習路徑是否得到了優化。

教師按照自己對教材的理解和學情的分析，設計“學習路徑A1”。先在甲班授課，課后實施后測，隨機抽取學生訪談，了解教學目標達成情況，并根據后測和訪談結果與觀課者進行研討，完善學習路徑。隨后，教師設計“學習路徑A2”，并在乙班執教。最后，通過對比兩次教學效果再次研討，完善學習路徑。

授課前，對學生進行前測，共3題（每題5分，滿分為15分）。例題如下：

包包子用的面中，面粉和水的質量比為1∶2。

這句話是什么意思？請寫下你的想法。

對學生的作答情況進行賦分。如對上述例題，能準確描述面粉和水的倍數關系，記5分；能從“份數”的角度解釋“1∶2”的意思，但沒有表述面粉和水的倍數關系，記3分；能比較面粉和水誰多誰少，記1分；不能比較面粉和水誰多誰少，記0分。

授課后，對學生進行后測，共2題（每題5分，滿分為10分）。例題如下：

寫出圖1中兩杯糖水各自糖和水的質量比，判斷哪杯水更甜一些，并說明理由。

對學生的作答情況進行賦分。如對上述例題，能正確寫出“比”，能正確判斷且能從比、百分數等角度說明原因，記5分；能正確寫出“比”，能正確判斷但不能說明原因，記3分；能正確寫出“比”但不能正確判斷，記2分；不能正確寫出“比”但能正確判斷，記1分；不能正確寫出“比”且不能正確判斷，記0分。

二、研究過程與分析

（一）學習路徑A1

1.任務介紹

學習路徑A1由“小輝參加學校田徑運動會，需要制作運動員證”的情境引入，使用照片長、寬比值不同而引起人像變形的例子（如下頁圖2所示），幫助學生有序探究同類量之間的比，得到比的合理定義。

設計了4項任務：

任務1的目標：感悟圖片的長和寬之間隱含的關系。子任務1，引導學生對圖片作出像或不像的判斷，從而引發學生思考；子任務2，讓學生猜測像不像可能與圖片的什么有關。

任務2的目標：發現像的一類圖片，長是寬的1.5倍。子任務1，先出示像的一類圖片，讓學生嘗試尋找它們之間的關系：長除以寬（或者寬除以長）所得的商相同。子任務2，結合圖片A的長寬比，帶領學生認識比的定義（兩個量之間的倍數關系，表示為a∶b，也可以表示為a÷b、a/b）、讀寫方法、各部分的名稱以及求比值。

任務3的目標：

寫出圖片C和圖片E的長寬比，嘗試從“比”的角度說明其與圖片A不像的原因。

任務4的目標：了解比的度量價值，了解比在現實中的應用，凸顯學習比的必要性。生活中有許多事物的屬性，如形狀、油漆的顏色以及衣服的質地，是不可度量的，但它們可以通過比較兩個可以度量的對等的量之間的關系進行比較，如通過滌綸和棉的質量比來判斷哪件衣服更柔軟。

課堂的最后，教師結合板書帶領學生回顧探究比的概念的過程，聯系生活實例進一步理解比的概念。

2.問題分析

（1）沒有借助生成資源，從“差比”走向“倍比”

如前測第3題：“包包子用的面中，面粉和水的質量比為1∶2。

這句話是什么意思？請寫下你的想法。”對學生的回答進行統計分析后發現，學生對“比”的認識集中于“比較關系”。大部分學生利用“比”來表述“誰多誰少”，只有少部分學生能明晰這種“比”是一種“倍數關系”。因為給出兩個量，讓學生比較大小

或多少，學生一般會先用減法比較差距（差比），而本節課要學的“比”是用除法所得的倍數來比較大小或多少（倍比）。當學生聚焦在圖片自身長與寬之間的關系時，無非有兩種解決問題的思路：一是差的關系，即長與寬之間是否存在相同“差”的關系；二是倍的關系，即長與寬之間是否存在相同“倍”的關系。當探究長與寬之間的倍數關系時，學生自然而然會想到除法。但教師沒有抓住學生“差比”這一生成資源，幫助學生從原有認知中的“差比”走向“倍比”。

（2）比與除法的關系不明確，引入比的概念突兀開展任務2時，學生通過觀察、計算，主要從以下兩個角度進行判斷：

其一，各圖片之間長的關系和寬的關系；其二，各圖片長與寬的比及其之間的關系。

一位學生的學習單上出現了“比”，教師便順勢引入“比”：“可以像這位同學這樣，用‘比來表示長與寬之間的倍數關系。”但巡堂觀察發現，只有極少數學生想到用“比”來表示圖片自身長與寬之間的關系。教師急于引入，從而導致很多學生不理解為什么可以這樣。

以下是課堂片段：

師 6∶4，它指的是什么？

生 6÷4。

師 6指的是圖片A的什么？4指的是圖片A的什么？

生 分別是圖片A長方形的長和寬。

師 我們可以像這位同學那樣，把圖片A的長與寬之間的倍數關系表示為6∶4。長∶寬＝6∶4，長和寬之間到底存在怎樣的關系？

生 它們都是2的倍數。

生 都可以約分，能被2整除。

教師意識到學生不會從“6是4的幾倍”的角度思考后，便引導學生把6∶4轉化為6÷4，算出1.5。

教師多次牽引，學生才逐漸理解“6∶4表示6是4的1.5倍”。隨后，讓學生用同樣的方式探究圖片B和圖片D。學生發現它們的長也是寬的1.5倍，這時才從“圖片自身長與寬的比與其他圖片的關系”的角度明晰這三個圖片為什么像。

學生難以理解的原因在于6與4不存在整倍數的關系，需要通過除法運算才能明晰“6是4的1.5倍”。當學生還不清楚圖片相像是因為各圖片的長寬存在相同的倍數關系時，就匆匆引入比，學生會不明所以。一會兒是從“6∶4”思考長與寬之間存在怎樣的關系，一會兒又回到“6÷4”求倍數上，學生根本不懂比的意義，也理不清比與除法之間的關系。

（3）沒有凸顯關系以及關系的探究過程

作業單中有這樣一道題：“像”的這三張圖片的長與寬有什么關系？

這樣的任務設計與設問，影響了學生對“比”概念的認識。大部分學生受此題設問的影響，并沒有聚焦圖片自身長與寬之間關系的探究，而是從三張圖片長與長之間、寬與寬之間的關系入手，如：圖片B的長×2＝圖片A的長，圖片B的寬×2＝圖片A的寬，所以圖片B與圖片A像。

原因有二：一是教師將“像”的一類和“不像”的一類分開探索。分開探索就缺少比較，缺少比較也就不利于學生感悟“比”的度量價值，即：長與寬的比能表示長與寬之間的倍數關系，通過長寬比是否一樣來判斷形狀是否一樣。

圖片A、圖片B和圖片D，自身的長都是寬的1.5倍，長與寬之間的倍數關系相同，所以像；而圖片E，自身的長是寬的6倍，與前三個圖片長與寬的倍數關系不同，所以不像。二是問題本身容易引導學生從“各圖片之間長的關系、寬的關系”這一角度進行探索，而本節課的重點應該是聚焦圖片本身長與寬之間的倍數關系。

3.改進建議

（1）基于學生的認知起點，有序由“差比”引入“倍比”

前測的結果表明，學生對“比”的認識包括“差比”和“倍比”。而教師在實施學習路徑A1時，順著一位學生的分享，直接引出“比”（6∶4），忽視了還有學生是從“差比”的角度進行探究的，這與學生整體的認知起點相違背。有一部分學生會用加減法探索圖片像與不像，如算周長、算長與寬的差距等，這是很好的比較素材，能讓學生明晰：可以從“差”的角度和“倍”的角度探索圖片自身長與寬的關系，而本節課聚焦的是“倍”的關系。因此，要順著學生的思維，從“差比”和“倍比”的對比入手，探究圖片像與不像的原因，再通過“表達長與寬之間的倍數關系”這一任務引入“比”。

（2）引導學生探索圖片自身長與寬的關系，厘清除法與比的關系

首先，修改學習單中的問題引導語，引導學生關注圖片自身長與寬之間的關系。然后，把主情境的5張圖片放在一張方格紙上，讓學生觀察，引導學生發現：相像的圖片，它們的長除以寬（或者寬除以長）所得的商相同；不像的圖片，它們的長除以寬（或者寬除以長）所得的商不同。因此，學生可以進一步發現長方形的形狀可以用它特征量之間的關系來表示，即長與寬的比（或者寬與長的比），表示長與寬之間的倍數關系。這是比的現實來源，也是學習比的必要性。

（3）以“關系”優化整個學習路徑

將任務1和任務2分別設為“感悟關系”和“探究關系”。將任務3修改為“表示關系”，通過“表示關系”引入比，即圖片A的長是6、寬是4，長與寬之間的倍數關系從分數的角度可表示為“長=寬×64”；從除法的角度可表示為“長÷寬＝1.5”；此時再引入“比”，比表示兩個數量之間的倍數關系，因此可以表示為“長∶寬＝6/4”。將任務4修改為“夯實關系”，結合實例理解比的本質。通過設計這樣的任務序列，從除法、分數與比的關系引導學生理解比的本質。兩個數的比也可以寫成兩個數相除的形式，兩個數相除的形式也可以寫成兩個數的比；比也可以用分數的形式表示，分數也可以用比的形式表示。

經過對任務序列的優化，從而把整個學習路徑的重點落在“關系”二字上，即：感悟關系—探究關系—表示關系—夯實關系。

（二）學習路徑A2

1.任務介紹

任務1的目標：感悟關系，即感悟圖片的長和寬之間隱含的關系。子任務1：判斷哪些圖片與圖片A比較像？子任務2：猜測像與不像可能與圖片的什么有關？

任務2的目標：探究關系，即發現像的一類圖片，長是寬的1.5倍。子任務1：上面這些圖片的長和寬有什么關系？子任務2：圖片相像的奧秘是什么？

任務3的目標：表示關系，即了解表示兩個量之間倍數關系的形式。子任務1：如何表示圖片A長和寬之間的倍數關系？子任務2：認識比的定義、讀寫方法、各部分的名稱以及求比值。

任務4的目標：夯實關系，即結合實例，理解比的本質內涵。子任務1：聯系實際說說生活中有哪些比。子任務2：長方形的長寬比與長方形的形狀有什么關系？

相對于學習路徑A1，學習路徑A2有以下變化：

其一，調整任務2中子任務1的設問，引導學生聚焦圖片自身長與寬之間的關系，在“差關系”和“倍關系”的比較中，發現從“差關系”的角度發現不了

圖片像與不像的奧秘，了解從“倍關系”的角度比較兩個數量之間的關系；將任務2的子任務2修改為“如何表示圖片A長和寬之間的倍數關系”，引導學生理解表示兩個量之間的倍數關系，除了可以用分數、除法的形式，還可以用比，初步感悟除法、分數和比的聯系。

其二，增加任務3的子任務2，啟發學生初步思考比和分數、除法有什么關系，旨在厘清除法與比的關系，凸顯比的本質，即：比表示兩個量之間的倍數關系。有的“比”表示的倍數關系能一眼看出，如“2∶1”；有的“比”則看不出，如“12∶8”，這時就需要用除法求出比值。因此，“比”是一種數量關系，不是除法運算，只是在求比值時才用除法。

其三，通過“像”與“不像”的對比，突出“倍數關系”。在學習路徑A1中，教師先引導學生探究“像”的圖片，認識比的定義后再回過頭來探究“不像”的圖片，會誤導學生認為“不像”的一類圖片長與寬之間不存在比、不存在倍數關系。這樣的任務序列不利于學生理解比的概念內涵與本質。因此，在學習路徑A2任務2的子任務1中，將兩類圖片放在一起探索、一起討論；然后，增設任務4的子任務2，引導學生將長方形的長寬比與其形狀建立聯系，明晰現實中事物的屬性如果像形狀那樣不可以度量，則可以通過可度量的特征量（長、寬）之間的關系進行比較，從而深入理解比的概念內涵。

2.教學效果

在研究中進行前測和后測，能更好地掌握學生的學習基礎，量化評價教學效果。在本次研究中，兩次前測和后測內容基本一致（即理解“比”的概念內涵和本質）。從前測來看，甲、乙兩班學生的基礎相當，沒有顯著差異。在甲班實施學習路徑A1、乙班實施學習路徑A2后，后測數據顯示，乙班學生對“比”的概念內涵和本質的理解更好一些，說明學習路徑A2能有效促進學生對“比”的概念本質的理解。具體分析如下：

（1）前測情況

前測包括3道題，分別為：（1）說一說分數與除法的關系；（2）通過糖和水的質量比，判斷哪杯水更甜并說明理由；（3）寫出題目中“比”所表達的意思（即上述“包包子”問題）。對甲、乙班的前測結果進行統計，得到每題的班級平均得分率（見表1）。

由統計結果可知，甲、乙兩班學生第1題的得分率較高，第3題的得分率較低，說明在授課前，大多數學生已經掌握了除法與分數之間的關系，超過一半的學生能通過糖和水的質量比判斷出哪杯水更甜。然而，在具體的例子中，能用自己的語言清晰地表述“面粉和水的質量比是1∶2”這句話含義的學生較少。其中，也有少部分學生能理解比表示兩個數量之間的倍數關系，并進行生動的表述。比如，設面粉是100克，為“1”；那么水就應該是它的2倍，即200克，為“2”，然后把它們混合在一起，就成了包包子用的面。又如，面粉為“1”，水為“2”，面粉比水少“1”，水則是面粉的兩倍，可以想象成：一團面由“1”份面粉和“2”份水混合而成。

（2）后測情況

后測包括2道題：（1）通過糖和水的質量比，判斷哪杯水更甜；（2）你認為，比是什么？可以舉例說明。選取后測第1題對甲、乙班后測結果進行統計，得到該題兩班的平均得分率分別為甲班75.5%、乙班83.0%。

從統計結果來看，在乙班實施了學習路徑A2后，該題的平均得分率明顯優于甲班。學生對于“比”的概念內涵的理解較好地遷移到了具體的例子中，并能夠通過算一算、寫一寫等方式進行表述。

此外，對甲、乙兩班的后測總分數據使用SPSS 23.0進行獨立樣本t檢驗，結果顯示，兩班的后測總分存在顯著性差異（t=－2.315，p<0.05），也驗證了本研究改進的學習路徑的確更利于學生理解“比”的概念。

3.完善建議

基于最后一次研討，提出學習路徑A2的完善建議：

（1）精選素材，突出“倍比”的本意

對學生而言，聚焦圖片本身長與寬之間的關系，不容易感悟“相差關系”和“倍數關系”的聯系與區別。因此，可以選擇籃球賽比分來引出“差比”；選擇不同顏色的積木數量來引出“倍比”，凸顯“比”是表示兩個量之間的倍數關系。

（2）增設練習環節，豐富學生對比的本質的理解

“同類量的比”的概念有其發展過程。先是同類量的簡單倍數比，如甘蔗飲料的配比1∶5；然后是同類量的復雜比，如樹高與其影長之比，具有函數對應的背景。而本節課所呈現的例子太少，沒有涵蓋以上兩個方面，導致學生對比的概念內涵理解不夠豐富、深入。因此，可布置課后作業，讓學生搜集生活中的比，對具體情境中的比進行解讀、分類，豐富對“同類量的比”的認識。

三、研究結論與建議

（一）結論

概言之，優化的學習路徑如下：（1）感悟關系，通過觀察、討論，學生在“圖片像不像”的活動中感悟相像與不像圖片（長方形）的長和寬之間隱含的關系；（2）探究關系，學生通過自主探究得出相像的一類圖片的長都是寬的1.5倍，存在著相同的倍數關系；（3）表示關系，在溝通交流中，學生明晰除了除法和分數，還可以用比表示兩個數量之間的倍數關系，同時學習比的定義以及表示形式；（4）夯實關系，聯系生活，在具體的例子中，學生感悟比的本質——比表示兩個量之間的倍數關系。

由后測分析結果可知，本研究設計的學習路徑A2，能更好地幫助學生理解比的概念。

（二）建議

1.抓住學生知識生長點，從“差比”過渡到“倍比”

“比”這一概念的本源是“比較”。六年級學生對如何比較兩個量的大小，已經學過兩種方法。第一種是比較兩數的“差關系”，第二種是比較兩數的“倍關系”。在教學中，可以利用學生的認知起點“差比”，借助錯例讓學生產生認知矛盾，在“差關系”和“倍關系”的比較中，明晰本單元的“比”和此前習以為常的“比”的內涵不一樣，本單元學的“比”是比較兩個量之間的倍數關系。

2.緊扣“關系”，引導學生有序探究、獲得比的概念

在教學中，先以“同類量”引入，這是學習

“比”的本，突出“比較”的本意，陳述一種狀態，但最后歸結為除法。因此，在設計這節課的過程中，可以始終圍繞“關系”，以期讓學生明晰“比”的本質就是描述兩個數量之間的關系（倍數關系），通過感悟關系、探究關系、表示關系、夯實關系四個環節，達成教學目標。當學生認識“比”后，要重視舉例、表達，讓學生思考具體例子中的“比”的含義，進行討論、交流，從而實現“比”的“概念定義”到“概念深化”。

參考文獻：

［1］ 劉琳娜.對小學數學概念教學的思考——以“比的意義”為例［J］.課程·教材·教法，2012（6）：75－79.

［2］ 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現［M］.上海：上海教育出版社，2018：172.