在問題解決中發展模型意識

臧楠楠

摘 要：《常見的數量關系》一課，是小學階段數量關系教學的“種子課”——是在學生理解了乘法意義和加法模型，積累了大量相關的感性認識和生活經驗的基礎上教學的，要為后續學習復雜的行程問題和數量關系以及正、反比例的數學表達打下堅實的基礎。因此，本節課教學，厘清數量關系是基礎，回歸問題解決是手段，發展模型意識是核心。

關鍵詞：小學教學；數量關系；模型意識；問題解決

一、教學背景

蘇教版小學數學四年級下冊《三位數乘兩位數》單元《常見的數量關系》一課，是小學階段數量關系教學的“種子課”——是在學生理解了乘法意義和加法模型，積累了大量相關的感性認識和生活經驗的基礎上教學的，要為后續學習復雜的行程問題和數量關系以及正、反比例的數學表達打下堅實的基礎。

本節課的教學內容是在具體情境中認識“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”這兩個常見的數量關系，并能運用這兩個數量關系解決簡單的實際問題。本節課教學，看似簡單，實則不易。其一，一些教師讓學生過多、過碎地去記憶數量關系，沒有厘清數量關系之間的“關系”，更沒有滲透模型意識。其二，教學的數量關系與解決實際問題嚴重脫節，一度出現學生會說、會填卻不會用的場景，忽視了學生應用意識和解決問題能力的培養；最后，教學中“重知識，輕方法”的現象尤為突出，不利于學生掌握數量關系的一般研究方法。筆者以為，本節課教學，厘清數量關系是基礎，回歸問題解決是手段，發展模型意識是核心。

二、教學過程

（一）在對比中厘清數量關系

師 （出示蘇炳添奧運會百米跑成績9秒83的海報圖片）同學們，認識他嗎？圖中隱藏著什么信息？

生 蘇炳添跑100米用了9秒83。

生 蘇炳添跑100米的路程用了9秒83的時間，速度很快！

師 對這位同學提到的路程、時間、速度這三個詞，你們有什么想問的嗎？

生 什么是速度？

生 我會比快慢，為什么還要學速度？

生 三者是什么關系？

生 速度怎么寫？

師 就讓我們帶著這些有價值的問題開始今天這節課吧。你們會比快慢嗎？（出示圖1）猴子和松鼠誰快？為什么？松鼠和小兔誰快？

生 松鼠比猴子快。因為它們走的時間一樣，松鼠走得更遠，所以松鼠快。

生 松鼠也比小兔快。因為它們走的路程一樣，松鼠用的時間更少，所以松鼠快。

師 （出示圖2）時間相同比路程，路程相同比時間，這確實是常用的比快慢的方法。但這兩種比快慢的方法，都是在特殊情況下使用的，一般情況是路程不同，時間也不同，（出示表1）松鼠和小貓誰快呢？

（學生匯報交流，教師總結，得到圖3。）

師 一下子想出了這么多方法，同學們真厲害！對比一下這些方法，它們有什么聯系呢？

生 ①、②兩種方法都是把時間轉化成1分鐘，一個是列式，一個是畫圖，本質是一樣的；③、④兩種方法分別把時間轉化成3分鐘和6分鐘。幾種方法都是轉化成相同時間比路程。

師 為什么不選擇相同路程比時間呢？

生 麻煩。

生 相同路程比時間，時間越長，速度越慢，得“反”過來思考。

師 轉化成相同時間比路程，你更喜歡轉化成幾分鐘？

生 1分鐘，這樣更簡單。

師 同學們，（出示圖4）又來了兩位動物比快慢。

（學生小聲嘀咕，覺得教師寫錯了。）

師 （課件補上時間）現在補上時間呢？你有什么想說的？

生 比快慢，與路程和時間兩個量都有關，缺一不可。

師 剛剛我們都是結合路程和時間兩個量來比快慢，它們有什么相同點？

生 都是轉換成相同時間比路程，最好是1分鐘。

師 單位時間（1分鐘、1小時、1秒）里所走的路程叫作速度，也就是：路程÷時間=速度。根據這個數量關系式，還可以推出其他的數量關系式嗎？

生 速度×時間=路程。

生 路程÷速度=時間。

師 學會了速度的數量關系式，小青卻發現了一個神奇的現象，（出示圖5）小青的速度和飛船的速度都是8千米，你同意嗎？你有什么好辦法？

（1）“神舟七號”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，它每秒飛了約（? ）。

40÷5=8（千米）

（2）小青騎自行車，2小時騎了16千米，他每小時騎了（? ）。

16÷2=8（千米）

生 不同意。它們雖然都是8千米，但時間不一樣，一個是1秒，一個是1小時。要把它們轉換成相同的時間。

師 （板書：千米/秒，千米/小時）數學上，我們把這樣的單位叫作復名數單位，斜杠表示“每”和“1”的意思，讀作千米每秒、千米每小時。那你覺得速度的單位好在哪里？

生 速度的單位可以體現速度與路程、時間兩個量都有關系。

生 速度的單位能看出速度的求法是路程÷時間。

生 “千米/秒”這樣的單位讀起來能讓人感受到快慢：嘀嗒1秒，飛船就飛出去8千米，實在是太快了！

（二）在解決問題中遷移應用

1.解決生活中的路程問題

師 同學們，（出示表2）這是南京到青島不同年份的列車速度表，這里的空你會填嗎？根據什么數量關系？

（指名學生口述填空。）

師 南京到北京大約1000千米，按照300千米/小時的速度，乘坐高鐵3.5小時一定能到達北京嗎？

生 能。

生 不一定能。因為300千米/小時是高鐵運行的平均速度，還要考慮?？空镜臅r間，要聯系實際想問題。

師 觀察表格，你有什么發現？

生 路程相同，速度越快，時間越短；速度越慢，時間越長。

師 感受了現代技術的提升，我們再來感受一下古詩詞文化吧。（出示古詩《早發白帝城》）這首詩中提到的“千里江陵一日還”是真的嗎？李白是否采用了夸張的手法？提示：古時候的1千里=500千米。

生 1千里=500千米，一日=24小時，船的速度=500÷24

≈21（千米/小時），這在當時是可以實現的，并不夸張，所以是真的。

師 那如果李白生活在現代，改乘飛機，飛機的速度是800千米/小時，你覺得這首詩可以怎么改？

生 千里江陵一時還。

（學生哈哈大笑。）

2.自主學習價格的數量關系

師 生活中還有一組常見的量：單價、數量、總價。它們的數量關系，老師想留給你們自己研究，請四人一組商討一下研究提綱。

（學生自主確立研究提綱，研究數量關系，證明數量關系，自主推導其他數量關系。）

師 我們一起來回顧一下兩個數量關系的研究歷程。（出示圖6）我們都是先列表發現數量關系，然后數形結合體會數量關系，最后應用數量關系解決問題。

（三）在梳理中建立數學模型

師 （出示圖7）請同學們利用這個線段圖，結合一天的學校生活創編情境。

（教師匯總學生回答。）

師 如果用一道數量關系式概括所有，你會嗎？

（學生討論，總結得出“總數=每份數×份數”。）

師 總數=每份數×份數，其實就是二年級學的幾個幾相加。那么，今天推導出來的其他數量關系式又有什么關聯呢？你能用學過的知識概括嗎？

（學生交流，教師總結，出示圖8。）

師 是的呀，每份數=總數÷份數，份數=總數÷每份數，其實就是兩種平均分。希望同學們以后也能像今天這樣用聯系的眼光看問題。

三、教學反思

（一）厘清數量關系是基礎

《常見的數量關系》一課，教學重點是對“關系”的理解和把握。我們既要厘清數量關系內部各個量之間的關系，也要厘清多個數量關系之間的關系，同時要厘清數量關系與乘法意義的關系，甚至還要厘清“衍生”的數量關系與除法平均分的關系。

本節課，教師巧妙地利用烏龜和獵豹比快慢，讓學生在質疑的過程中強烈地感受到速度與路程和時間兩個量都有關系。教師還利用小青和飛船比速度的活動，讓學生自然產生使用一個新（統一）單位的強烈需求。這樣一個表示速度的復合單位，不是以告知的方式強迫學生接受，而是在交流中順勢生成的，并且讓學生充分體會到它的作用。如此，學生深化了對速度概念內涵的理解，厘清了數量關系內部各個量之間的關系。教師又聯系生活實際，以青島與南京之間的列車速度為素材創設問題情境，幫助學生靈活運用不同的數量關系解決實際問題，厘清多個數量關系之間的關系。最后，讓學生結合一天的學習生活創編情境，厘清多個數量關系與乘法和除法的關系。這樣的教學，引導學生內化并徹底厘清了所學的數量關系。

（二）回歸問題解決是手段

數學知識從問題解決中來，還應該回歸到問題解決中去。只有在解決實際問題中才能彰顯數學知識的生命力，這就好比在游泳中學游泳。

本節課，在學生掌握了“路程÷時間=速度”以及衍生出的兩個數量關系式“速度×時間=路程”“路程÷速度=時間”后，教師選用了兩組具有現實意義的素材。以青島與南京之間的列車速度為素材創設問題情境，讓學生反復運用不同的數量關系來解答，不斷加深對三個數量內部之間關系的理解，初步感受從變化的角度去分析數量關系，體會到數量之間總是相互依存、相互影響的，其中存在一個變量，就會導致另外一個量同時發生變化。這樣的教學設計，體現了數學知識發生發展的內在邏輯，使學生體會到了用數量關系解決實際問題的便捷性。又引用李白的詩《早發白帝城》并提出質疑，讓學生自主選擇合適的數量關系式來判斷，于發展推理意識的同時鍛煉了估算能力。這樣學科融合的題型一下子就抓住了學生的眼球，讓數量關系在應用中自然嫻熟。當追問如果李白生活在現代改乘飛機，古詩該如何改編時，學生的情感體驗達到了峰值。原來，應用數量關系還能夠創編古詩，這不正是在用數學語言表達現實世界嗎？

（三）發展模型意識是核心

模型意識分為建模和用模兩方面。數學建模是數學學習的一種方式，更是一種過程。它需要經歷對原始問題分析、假設、抽象的數學加工過程，同時要經歷選擇數學工具、方法和模型的過程，最后還要經歷模型求解、模型驗證和模型再分析、再求解的迭代過程。

本節課正是讓學生完整經歷了這樣一個數學建模的過程。首先，從原始問題“比快慢”入手，回顧“相同時間比路程和相同路程比時間”兩種方法，進而產生一般情況下如何比快慢的疑惑，學生通過列表、畫圖等策略總結出數量關系。接著，基于線段圖，結合一天的學習生活創編情境，學生直觀地感受到除了“速度×時間=路程”“單價×數量=總價”兩組數量關系，還有多種多樣的數量關系。學生不難發現常見的數量關系之間有著一定的內在聯系。然后，進一步抽象，將“衍生”的數量關系和兩種平均分緊密勾連。這樣的學習歷程，讓學生不僅得到了知識層面的提升，還獲得了方法層面的進步，使其以后在自主研究問題時，能夠復刻出這樣的“微科研”過程。從原始問題出發，采取已有的解決問題的策略對問題進行加工，用聯系的眼光去看問題，尋求合適的模型，并對所要建構的模型進行驗證分析，甚至是解構和重構，這能讓學生在培養抽象概括能力的同時，塑造理性精神，發展模型意識。