點子圖讓“理”更透徹

楊凌會

【摘 要】點子圖在乘法學習中發揮著重要的作用，它通過數形結合，深刻揭示了乘法的意義和算理。這種對深度理解的追求，使得它成為教學中的難點。從乘法的直觀模型，到乘法口訣的關系、多位數乘法的算理、乘法分配律以及倍數與因數，點子圖的應用加深了這些知識間的聯系，凸顯了大概念在數學學習中的統領作用，有利于幫助學生透過現象看本質，發展學生的可遷移的能力，其意義和價值是不容忽視的。

【關鍵詞】點子圖 直觀模型 幾何直觀

北師大版數學教材會使用點子圖幫助學生理解算理。但很多一線教師反映，不用點子圖，僅用橫式展示計算過程，大部分學生能夠掌握計算方法并正確計算，用了點子圖后有的學生反而會覺得更難，尤其是讓學生獨立在點子圖上圈一圈，再寫出相應的計算過程時，經常會出現“牛頭不對馬嘴”的現象。教材中為什么要加入點子圖？在點子圖上花時間值得嗎？本文將從結構化的角度，梳理北師大版數學教材中運用的點子圖的類型，分析點子圖在整數乘法教學中的意義與價值。

一、整數乘法教學運用點子圖的類型

（一）乘法意義的直觀表達

在二年級上冊“分一分與除法”這個單元里，學生初步認識乘法后，教材專門安排了“有多少點子”一課，建立乘法的直觀模型，幫助學生進一步鞏固對乘法意義的理解。從生活中的實物到點子圖，雖然都是直觀的表達方式，但點子圖是對具體事物的抽象表達，一個實物用一個點子表示，一個點子可以代表各類事物。點子圖的表達更具一般性，是具體事物抽象到數學符號的過渡，也是對數學模型的直觀表達。乘法是求幾個相同加數連加和的簡便運算，點子按照每行、每列數量相同的方式排列，是幾個相同加數連加的直觀表達。如7行4列，既可以表示7個4相加，也可以表示4個7相加，它們的得數相同。這不僅可以幫助學生直觀感知“交換兩個乘數的位置，積不變”，也可以讓學生直觀感知“積”的實際大小。此外，點子圖還可以把生活中的乘法問題抽象化，幫助學生建立乘法模型，如“1支鉛筆2元錢，5支鉛筆多少錢”，學生可以將2元錢用2個點子表示，5支鉛筆多少錢就可以用5行2列的點子表示。學生可以將其畫出來，也可以在腦中想象，從而發現這是一個可以用乘法解決的問題。

（二）乘法口訣關系的直觀表達

在學習6的乘法口訣時，教材中運用點子圖來推算“6×7”的結果，也就是用“五六三十”和“二六十二”兩句乘法口訣推算出“六七四十二”，實質上也就是建立“6×5”和“6×2”這兩個乘法算式與“6×7”之間的關系。從表面上看，這是為了尋找記憶“六七四十二”這句口訣的方法，實質上，一方面這是對乘法意義的鞏固理解；另一方面也是對乘法分配律的滲透。通過把一句乘法口訣拆分成兩句口訣，讓學生感知乘法可以將一個乘數拆分成兩個（或多個）部分，然后分別用乘法算出每個部分的結果，最后再把每個部分的積加起來。學習這樣拆分的方法，如果沒有點子圖的幫助，大部分學生只能機械地掌握拆分再算的過程，而對其意義缺乏真正的理解。這種“囫圇吞棗”的學習所造成的影響，在后面乘法分配律的理解和應用中顯露無遺。在這個例子中，將“6×7”拆分為“6×5”和“6×2”，是在建立式與式之間的關系，用一個式子與另一個式子相加，得到一個新的式子，與原來只是針對數進行計算相比，對二年級學生來說，是認識上的飛躍，有一定的難度。但正是點子圖的直觀呈現，讓學生在動態演示的過程中，看到了分的過程和分的結果，建立了式子與點子圖之間的聯系，使學生對拆分過程有了更加深刻的理解。同時，學生在這個過程中所積累的經驗為后續多位數乘法和運算律的學習奠定了堅實的基礎。

（三）多位數乘法算理的直觀表達

在兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數的內容中，教材都使用了點子圖，用直觀的方式表達多位數乘法的算理，即可以把一個整體拆分成若干個部分，分別算出每個部分的數量，然后再把每個部分加起來。用點子圖展示算理，一方面能幫助學生發現不同的算法，使其能結合直觀圖解釋算法的合理性；另一方面，能讓學生從多種方法的“異中求同”中感悟運算中的“通理通性”，突出多位數乘法算理的本質，即“先分后乘再合”。這個過程也充分體現了運算律在多位數乘法計算中的重要作用。例如，“14×12=14×6×2”運用了乘法結合律，而“14×12=14×10+14×2”則運用了乘法分配律。在多位數乘法豎式的教學中，將點子圖與豎式的每一步一一對應，會使學生對豎式的算理理解更加深刻，從而能將兩位數乘一位數的計算方法拓展到兩位數乘兩位數、多位數乘兩位數，直至學生領悟多位數乘多位數的通法，實現學習的融會貫通。

（四）乘法運算律的直觀表達

在學生學習乘法分配律時，教材再次用畫點子圖的方式說明乘法分配律是成立的。在之前乘法口訣以及多位數乘法的學習中，教材已經多次滲透乘法分配律，學生對這個規律已經建立了豐富的活動經驗。因此，用點子圖解釋乘法分配律，是調動學生的已有經驗，讓學生從意義上理解乘法分配律，突破學習的難點。乘法分配律是乘法運算中蘊含的規律，它的學習建立在學生對乘法意義的理解，以及對“拆分后先乘再加”這一方法的感悟上，如果在前面的學習中學生已經積累了相關經驗，那么其學習乘法分配律就沒有那么困難了。在這個過程中，點子圖功不可沒。從作為乘法的直觀模型入手，點子圖始終在幫助學生從乘法的意義的角度，理解運算的算理，探索運算的方法，直到學生可以用點子圖反過來解釋發現的規律。可以說，點子圖是學生深度理解的推手。

（五）倍數與因數關系的直觀表達

在倍數與因數的學習中，點子圖溝通了倍數與因數和乘法之間的關系。教材從一個在二年級就已經學過的乘法問題引入，點子圖所代表的乘法模型對學生來說已經很熟悉了，而這一次關注的不僅是乘法的意義，還包括兩個乘數與積之間的關系。乘法算式用等號連接算式和積，表示兩者相等的關系，點子圖則直觀地展示了兩個乘數與積相互依存的關系，而這也正好是倍數與因數的本質特征。點子圖既是乘法的直觀模型，也是倍數與因數的直觀模型，凡是具有倍數和因數關系的數都能用點子圖的模型表示。用點子圖表示倍數與因數的關系，有利于讓學生發現生活中與倍數、因數有關的問題。

以上案例列舉了點子圖在小學乘法學習中的應用，這些內容相互關聯，螺旋上升，體現了乘法作為數學大概念在與之相關內容學習中的統領作用，表現出知識學習的一致性，從結構化的角度展示了點子圖在乘法學習中的作用。

二、整數乘法教學中運用點子圖的意義

新課程標準倡導學科實踐，利用點子圖等直觀方式探索數學問題，就是一種典型的數學實踐方式。它在數學學習中，尤其是在小學階段，有著舉足輕重的作用。

（一）透過現象看本質

乘法是“數的認識和數的運算”主題的核心概念，對乘法意義的理解是小學階段數學學習的基礎，很多知識的學習都與乘法意義有緊密的聯系，很多問題的解決需要運用乘法的意義尋找解決的方法。將點子圖作為乘法的直觀模型，為以乘法為基礎的學習提供了實踐的支架，教師和學生可以借助點子圖，探索知識形成的過程，發掘知識的本質。以兩位數乘兩位數的計算方法為例，它的思路可以用“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”表示。這種方法如果只是用算式表示，學生可以學會拆分和計算的過程，但對于其中的道理卻很難理解。有了點子圖（如圖1）的幫助，則使圖形和計算過程一一對應。學生可以清晰地看到：當兩個乘數分別被拆分成兩個數后，整體被分成了四個部分，其中每個部分正好是拆分后的數兩兩相乘的結果。這時學生就真正明白了這種方法背后蘊藏的道理，對多位數乘法拆分后先乘后加的“通性通理”有了更加深入的理解。

對這種方法的理解，也影響到學生后續小數乘法的學習。下面是小數乘法中的一個問題，圖2中所展示的學生的方法，看似很有道理，但其實是錯的。如何說明它是錯誤的？錯在哪里呢？將上面點子圖所呈現的方法遷移到這里，用面積模型來解釋，能夠讓學生清晰地看到，這樣計算的過程缺失了兩個部分沒有算，所以導致計算結果錯誤。在小學階段，考慮到學生以形象思維為主的特點，沒有揭示形如“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”的公式，但在實際的計算中，會遇到與它相關的問題。利用直觀的點子圖和面積模型不僅可以解釋學生的疑惑，幫助學生從本質上理解算理，而且為其第三學段抽象出公式積累豐富的經驗。

（二）發展可遷移的能力

新課標倡導素養導向的課堂，將發展學生的核心素養作為課堂教學的主要目標。核心素養是可遷移的能力，這種能力可被用于學習新知識和解決新問題，而且不會被遺忘。將點子圖引入“數與代數”領域的學習，建構數與形的聯系，一方面能幫助學生理解、解釋與數相關的概念、數的運算律和法則，幫助學生感悟其本質；另一方面也能幫助學生掌握利用圖形去探究、描述、分析和解決問題的方法，發展學生的幾何直觀能力。在小學階段，除了點子圖以外，還有諸如數線、面積模型等多種直觀模型。這些直觀的方式為學生提供了學習的腳手架，可以幫助學生理解數學學習中的重點和難點，也為學生分析和解決問題提供了方法與策略。例如，教學用乘法口訣求商時，由于學生已經有用點子圖計算乘法、用數線計算減法的經驗，在提出“‘20÷4怎樣計算”這個問題之后，學生會想到用點子圖圈一圈的方法解決問題，也可以想到用數線減一減的方法解決問題。在運用了這些直觀的解決問題的方法的基礎上，學生發現計算“20÷4”等于多少，就是求20里面有幾個4，也就是4×（ ）=20，從而發現乘法與除法之間的聯系，找到用乘法口訣求商的方法。

點子圖溝通了數與形的聯系，引導教師和學生追求理解本質的深度學習，對促進學生掌握學科的基本概念、基本思想和基本方法發揮了重要的作用，這種幾何直觀能力對學生的終身學習都將產生深刻的影響。點子圖引入到小學數學教學中，可以使學習變得更加深入。