“線段圖”的運用策略探究

張勇

【摘 要】“畫圖策略”是解決問題時常用的一種數(shù)學(xué)方法，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。在教學(xué)中，教師經(jīng)常會運用畫圖策略來幫助學(xué)生理解題意，但很少有學(xué)生會主動應(yīng)用畫圖策略來幫助自己解決難題。也正是因為學(xué)生對畫圖策略缺少一定的意識，或感覺存在一定的困難，這才需要教師在平時的教學(xué)中有意識地引導(dǎo)和培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)策略 線段圖 數(shù)形結(jié)合 數(shù)量關(guān)系

筆者在一次教研活動中同時學(xué)習(xí)了三位青年教師執(zhí)教的蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“解決問題的策略”一課，對“線段圖”這一策略的教學(xué)頗有感觸。

一、課中實踐

片段一：畫線段圖

張老師在簡單介紹集郵這一高雅藝術(shù)之后直接呈現(xiàn)例題，詢問學(xué)生想到用什么方法，學(xué)生異口同聲：畫線段圖。教師引導(dǎo)學(xué)生獨立嘗試畫線段圖之后精心挑選了兩幅作品進行展示，讓學(xué)生尋找相同點和不同點。在此過程中，教師相機將課前已經(jīng)制作好的線段圖進行板貼。

唐老師在學(xué)生集體讀題之后，讓學(xué)生集體口述線段圖的畫圖步驟，教師相機出示課件，以此教學(xué)生畫線段圖。

馬老師在讀完例題后，簡單提示學(xué)生自己獨立畫圖，然后出示三份學(xué)生的作品，讓其他學(xué)生分別找找三幅作品的亮點和不足，接下來則帶領(lǐng)學(xué)生集體作圖并修正自己的作品。

片段二：“讀”線段圖

對于“讀”懂線段圖這一環(huán)節(jié)，三位教師不謀而合地采取了同一教學(xué)策略：先在課件中隱去蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊P48例題1中的所有文字信息，只給學(xué)生觀察所畫出的線段圖，讓學(xué)生嘗試復(fù)述例題中的條件和問題。從三節(jié)課中學(xué)生的反應(yīng)可以看出，學(xué)生對于“讀”線段圖基本不存在困難。

片段三：用線段圖

“讀”完線段圖后，三位教師采取的教學(xué)方法都是先引導(dǎo)學(xué)生嘗試獨立思考自己解決例題中的問題，隨后進行充分的交流互動。

張老師的課堂上有學(xué)生匯報：

72÷2=36（枚）

小春：36+12=48（枚）

小寧：36-12=24（枚）

筆者觀察到張老師在聽完學(xué)生提出這一方法后臉上滿是詫異和不解，課堂也陷入了短暫的停滯，張老師思考后說：“這種方法對嗎？”

一個學(xué)生舉手答道：不對，我們可以這樣想，假設(shè)小春有48枚郵票，小寧有24枚，那么小春就比小寧少24枚郵票，可是題中告訴的是小春比小寧少12枚。

此環(huán)節(jié)到這里就結(jié)束了。

唐老師在學(xué)生出現(xiàn)同樣方法之后處理如下。

師：同學(xué)們，我們先不著急評判這個同學(xué)的方法，老師這里有另外一個問題想問大家：“如果唐老師有8個蘋果，這個女生有4個蘋果，怎樣讓我們的蘋果數(shù)量一樣多呢？”

大部分學(xué)生能夠很快答出老師應(yīng)該分給女生2個蘋果。

師：這個答案是怎么得來的呢？

從學(xué)生的自由回答中可以知道，學(xué)生是明白老師只需要把自己多出的4個的一半的數(shù)量分給女生，兩人就能變得同樣多了。

緊接著，唐老師再讓全班學(xué)生進行思考、分析上面學(xué)生提出的先“÷2”的那個方法是否正確，從課堂效果可看出，部分學(xué)生能夠?qū)倓偨處熈信e的蘋果例子獲得的經(jīng)驗遷移到這道題目上，得出：小春只需要把自己比小寧多出的12枚郵票拿出一半，即6枚分給小寧就可以了。學(xué)生得出此結(jié)論后，唐老師利用課件將這種方法的詳細解答過程進行了展示及再次講解。（見圖1）

馬老師的處理方法如下。

師：你們認為這種方法對嗎？為什么呢？

生1：我認為不對，把48和24兩個答案代入題中進行檢驗得到小春比小寧多24枚郵票，并非題目中所給的12枚。

師：那你覺得應(yīng)該怎么做呢？

生1：我是這樣想的，先用72÷2=36（枚），如果兩人郵票同樣多，小寧和小春每個人都應(yīng)有36枚郵票。題目中提到小春比小寧多12枚，那么我們就可以用36+6=42（枚），這是小春的郵票枚數(shù)，然后再用36-6=30（枚）求出小寧的郵票枚數(shù)。

師：你的6怎么來的呢？

生1：12÷2=6（枚），小春比小寧多12枚，那么小春只需要把自己比小寧多出的12枚中的一半，即6枚給小寧就可以讓兩個人變得同樣多。

接著，馬老師將生1的方法板書到了黑板。

二、課后反思

（一）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“地位”

縱觀蘇教版12冊小學(xué)數(shù)學(xué)教材編者設(shè)計的“線段圖”的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，仔細分析可看到，教材是先用色塊“遮蓋”具體的數(shù)量，再用色塊來統(tǒng)括大數(shù)據(jù)的數(shù)量，最后教材才編排了用線段來表示數(shù)量的多少及數(shù)量之間的關(guān)系，這一設(shè)計充分體現(xiàn)了蘇教版數(shù)學(xué)教材在進行“線段圖”這一內(nèi)容編排時考慮到了由易到難、由具體到抽象。

（1）用色塊“遮蓋”數(shù)量及關(guān)系：二年級上冊“表內(nèi)乘除法的練習(xí)”（見圖2）一課是蘇教版數(shù)學(xué)教材第一次涉及借助色塊表示數(shù)量及關(guān)系。

此題意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)：“求 8 個 3 相加的和是多少？”這道題里的色塊“遮蓋”了具體的數(shù)量，學(xué)生在自己計算后可以通過數(shù)數(shù)的方法驗證自己求出的色塊遮蓋住的五角星個數(shù)是否正確。

（2）用色塊概括數(shù)量及關(guān)系：蘇教版數(shù)學(xué)教材里第二次出現(xiàn)色塊圖是在二年級下冊的“兩、三位數(shù)的加法和減法”（見圖3）一課。

這里用藍色色塊表示鴨蛋的數(shù)量，用黃色表示雞蛋的數(shù)量，而且這兩種顏色色塊所表示的具體數(shù)量都比較多，無法運用數(shù)數(shù)的方法，因此這里的色塊更具有概括數(shù)量多少的作用。學(xué)生在解題的過程中需要借助側(cè)旁的文字描述與兩種不同顏色色塊的長短來分析、理解鴨蛋和雞蛋兩種數(shù)量間的關(guān)系。

（3）用線段圖表示數(shù)量多少及數(shù)量關(guān)系：蘇教版數(shù)學(xué)教材里第一次呈現(xiàn)出具體的線段圖模型是在三年級上學(xué)期的“從條件想起”第一課時（圖略）。

這是教材第一次使用比較簡單、易懂的線段圖來表示題中的條件及問題，讓學(xué)生根據(jù)題中所給的條件完成線段圖并借助線段圖去理解、掌握、體會從條件出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系進而尋找相應(yīng)的解題方法的數(shù)學(xué)策略。

（4）蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“解決問題的策略”一課（圖略）則是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)具體情境中的相關(guān)信息補全線段圖，然后借助所補畫出的線段圖體會從問題出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系的解題策略。

（5）蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“解決問題的策略”（見圖4），則是讓學(xué)生根據(jù)實際的具體問題補全題中線段圖所缺的信息，然后再根據(jù)補全的線段圖尋找到題中的數(shù)量關(guān)系進而找到解題的突破口，梳理出解決實際問題的思路。

在后續(xù)的蘇教版數(shù)學(xué)五、六年級的教學(xué)中，也設(shè)計了很多借助線段圖來分析題意、解決問題的實際問題。

縱觀整個蘇教版數(shù)學(xué)教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，“線段圖”這一教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位。

（二）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“優(yōu)勢”

線段圖是一種解決數(shù)學(xué)問題較為常用的解題策略，它能幫助學(xué)生從形象思維較為順利地過渡到抽象思維。線段圖的最大優(yōu)勢在于化抽象為具體，通過線段圖把題目中蘊含的較為抽象的數(shù)量關(guān)系用形象、直觀的方式表達出來，從而引導(dǎo)學(xué)生將自己對概念的相關(guān)認識重新進行認知、內(nèi)化，啟發(fā)他們從完整的、形象的線段圖中尋找到題目中所蘊含的數(shù)量關(guān)系，從而更高效地解決問題。另外，借助線段圖，能讓學(xué)生體會到以數(shù)化形、以形換數(shù)的思想，進而發(fā)展其思維品質(zhì)。

那么，在實際的一線數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師又該如何發(fā)揮線段圖自帶的這些優(yōu)勢呢？教師應(yīng)先耐心引導(dǎo)學(xué)生將題目中的文字及其他信息用線段圖進行具體呈現(xiàn)，接著引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖仔細分析每一部分所代表的意義和蘊含的數(shù)量之間的關(guān)系，尋找題目中所有信息所蘊含的相互聯(lián)系，并以此建構(gòu)起數(shù)學(xué)條件與問題之間所具備的數(shù)量關(guān)系模型，借此探索出較為適切的解決問題的思路。

如本課例題中的信息較為抽象，學(xué)生一時無法清楚地厘清題目中小寧和小春郵票枚數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，這時教師就可以相機引導(dǎo)學(xué)生利用畫線段圖的方法來表示題中的相關(guān)條件和問題，加深對題目的理解，然后仔細分析所畫的線段圖，就可發(fā)現(xiàn)小春、小寧郵票枚數(shù)之間存在的較為清晰的數(shù)量關(guān)系了。（見圖5）

（三）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“實力”

從三節(jié)課的課堂反饋中可以看到，絕大部分學(xué)生都能借助分析線段圖快速地尋找到解決問題的突破口。

有的學(xué)生想到，先將小春比小寧多出的12枚郵票去掉，用72-12=60（枚）即得到原來小寧郵票枚數(shù)的兩倍，然后再分別計算出小寧和小春各自的郵票數(shù)。

有的學(xué)生想到，先將小寧的線段圖補畫一段小春比小寧多的12枚，用72+12=84（枚）得到原來小春郵票枚數(shù)的兩倍，再依次算出小春、小寧的郵票數(shù)。

由此可見，線段圖的“實力”確實非凡。

如果授課教師能夠在有學(xué)生出現(xiàn)“72÷2=36（枚） 小春：36+12=48（枚） 小寧：36-12=24（枚） ”這一錯誤方法后，像唐老師教學(xué)時一樣先舉出一個貼近學(xué)生生活實際的例子，讓學(xué)生理解要使得兩人同樣多只需要把多出來的一半分給另外一個人，以此喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗，然后再借助本節(jié)課學(xué)生需要學(xué)習(xí)和掌握的策略畫線段圖進行動畫演示（見圖6、7、8），讓學(xué)生能夠直觀地感受到取其中的一半才能夠進行均分，那么學(xué)習(xí)效果就會更好。

線段圖是一種比較直觀的解決問題的策略，它也是學(xué)生從具體、形象的思維過渡到抽象的邏輯思維的載體。在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)先準確地把握學(xué)生的學(xué)情，然后根據(jù)具體的數(shù)學(xué)問題的特征，引導(dǎo)學(xué)生依次通過畫圖、分析來解決問題，同時引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形、文與圖之間相互轉(zhuǎn)化。唯有此，學(xué)生在解決實際問題時方能得心應(yīng)手，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也才能興致更濃、信心更足。