化歸思想在高中數學解題中的應用研究

摘 要：化歸思想是一種常用的數學學習思想，借助該思想，學生能夠快速找到題目的本質，借助有效解題方式，提高數學學習效率.高中數學解題中滲透化歸思想，可以讓數學問題之間產生相互轉化的效果，從而降低問題的求解難度，這對于學生解題能力的提升有著非常重要的作用.基于此，本文就從不同角度詳細闡述了化歸思想在高中數學解題中的具體應用措施，希望能夠為相關教師帶來幫助.

關鍵詞：化歸思想；高中數學；解題教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）24-0008-03

收稿日期：2023-05-25

作者簡介：郭瓊梅（1978.6-），女，福建省泉州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

高中教師應當根據每個學生的不同情況，為學生詳細講解各種數學思想，培養學生舉一反三、觸類旁通、融會貫通的能力，借助化歸思想，學生會養成不斷反思、善于總結的學習習慣，且教師也會在該思想的引導下持續關注學生的學習過程，有助于調整教學模式.

1 化歸思想的原則

1.1 熟悉化原則

在實際的解題中，運用化歸思想，應該是根據以往解題經驗為基礎，與同種類型的數學題相結合，將其轉化成已知量，找到問題的解答思路，教師都應當引導學生通過總結和反思找到應用的優勢，并讓學生將這些優勢內化于心，外化于行.

1.2 簡單化原則

在高中數學解題過程中，應用化歸思想，其目的是簡化數學題目，將數學題目相關的信息進行提煉，實現數學題目的簡化，將無價值或者干擾信息剔除，避免解題環節出現錯誤.

1.3 逆反性原則

化歸思想的應用不僅可以單獨進行，也可以與其他方法融合使用，如逆向思維，教師讓學生根據問題向前推導，總結已知信息之間的關系，也可以達到快速解答問題的目的.

2 化歸思想在高中數學解題中的應用措施

2.1 實現動和靜之間的轉化

化歸思想的主要內容就是動和靜之間的關系，通常在函數解題中就要借助化歸思想，找到各種變量之間的關系，并構建正確的數學模型.在該數學模型中，學生也會對某一數值的運動以及變化規律進行深度探究，再借助相關的函數知識，提煉出各種變量之間的關系，最終把各種靜態問題直接轉化成動態關系，站在不同的角度，找到函數問題的解答方法^［1］.

例如，在以下例題中，試著比較log₃1/2和log₃5的大小，教師就可以引導學生使用化歸思想.首先，把靜態的知識轉化成動態的函數，讓學生了解兩個數學式的靜止狀態，然后通過使用化歸思想，轉化成對數函數f（x）=log₃x，這樣，學生將兩個數學式視為函數自變量對應的函數值，完成數值之間的轉換，學生再根據對數函數f（x）=log₃x在定義域（0，+∞）上單調遞增的特點，就可以對兩個數值做出正確的判斷.

2.2 實現數與形之間的轉化

數學知識的學習通常會涉及到數字和圖形之間的轉化，化歸思想中的特別形式也是指代數和圖形之間的巧妙轉化和結合，這樣能夠讓學生把各種抽象的問題轉化為直觀形象的問題，便于學生的理解和掌握^［2］.

例如，在學習函數y=3sinx和函數y=12-x中，當x的取值范圍在［-1，5］，那么兩個函數圖像交點的橫坐標和是.

分析該題可發現，該題需要求出兩個函數在特定區間的交點.教師也會發現，如果只采用傳統的教學方式，如利用兩個函數相等構建相應的方程、分式和三角函數形式，會加大學生的運算量，甚至還會讓部分學生出現難以正確解答的問題.此時，教師可以發揮化歸思想的優勢，再融合數形結合思想，借助圖形分析數量關系，并畫出具體的函數圖象，如下圖1所示.學生通過觀察區間［-1，5］上的圖象會發現，兩個函數圖象一共有6個交點，并關于（2，0）成三組對稱關系，因此可得出，（2，0）是每組對稱點的中點，學生就可輕松求出橫坐標.

2.3 實現等價和非等價之間的轉化

化歸思想中等價轉化和非等價轉化也屬于常見的形式，使用等價轉化時，需要對題目中的各種因素進行了解，這樣才能夠保證轉化的正確性.通常情況下，學生在解決翻折、對稱的題型時，需要借助曲直轉化思想，通過將立體圖形轉換成平面圖形，降低解題難度.

例如，在以下例題中，在直三角柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA是直角，M是A₁B₁的中點，N是A₁C₁的中點，若CC₁=CA=BC，求BM和AN所成角的余弦值是.

在解答該道題目時，學生首先會對題目中的已知條件進行分析，然后再使用化歸思想進行轉化.首先將整個直三棱柱補充為正方體，然后借助向量法求出異面直線的夾角.再根據∠BCA為直角這一特點得出，該三棱柱為直三棱柱，且滿足CC₁=CA=BC的關系，接著繼續構建空間直角坐標系，如下圖2所示.為了讓計算更加方便，可假設正方體的棱長是2，此時得出點A，B，M，N的坐標，然后再根據坐標寫出向量BM和向量AN的坐標，這樣就會順利求解BM和AN夾角的余弦值.

需要注意的是，整個過程中雖然有教師的引領，學生順利利用化歸思想進行等價轉化，但教師依舊要向學生強調邏輯準確的重要性，必要的時候結合相關概念，將其轉化并順利求解.

2.4 實現一般和特殊之間的轉化

高中數學解題過程中，通常會遇到很多有難度的題，在這樣的題目解答中，學生需要使用化歸思想，從特殊向一般轉化，如特殊值，特殊情況等，再根據題目中的各種已知條件找到特殊值存在的情境^［3］.

在解答該題目的過程中，學生要仔細分析題目中所包含的已知條件，然后可得出，坐標系所圍成的圖形面積是確定的，因此該圖形的面積和點P位置沒有任何關系，這樣就可以在解題過程中把P點看做是任意值，然后確定P點的特殊位置，最后根據函數式中a和b的值，求出圖形的面積.

2.5 化虛為實，強化學生的化歸思想

化歸思想的正確運用離不開學生的正確解讀，如果學生對化歸思想的內涵無法做到深度了解，在具體使用中，也會出現各種問題.為此，課堂上教師就應當為學生多多展示使用化歸思想的各種案例，讓學生通過不斷訓練，達到強化理解的目的.

綜上所述，在教育改革力度不斷加大的當下，培養學生的綜合能力已經成為高中數學教學中的基本目標.高中數學教師首先應當意識到課堂上為學生講授化歸思想的重要性，然后要借助各種各樣的例題，使學生在不斷變化的訓練中，強化對化歸思想的理解，實現綜合能力的發展.

參考文獻：

［1］ 趙建方.化歸思想在高中數學解題中的應用［J］.數學教學通訊，2020（21）：72-73.

［2］ 蔡娟蘭.淺議化歸思想在高中數學解題過程中的應用［J］.黑河教育，2020（7）：18-20.

［3］ 任思強.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析［J］.魅力中國，2020（5）：262-263.

［責任編輯：李 璟］