回歸課本“建構學材”，規律問題重視推理

李庾南 劉東升

【摘 要】期末復習期間，不少學校備課組會摘選一些往年期末試卷中的高頻問題來開展專題復習。以規律問題的復習為例，在復習教學時教師應把目光投向整冊教材，圍繞課本中的規律問題素材鉆研專題復習課，基于七年級學生的認知能力，培養學生的代數推理能力。

【關鍵詞】初中數學；學材再建構；規律問題；代數推理

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2023）29-0027-04

【作者簡介】1.李庾南，江蘇省南通市啟秀中學（江蘇南通，226006）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師；2.劉東升，江蘇省南通市教育科學研究院（江蘇南通，226007）教研員，高級教師。

在初中各學期的期末復習階段，各校數學備課組都會有計劃地進行兩輪復習，其中第一輪復習更加側重對前期所學知識塊或單元的回顧梳理，并兼顧教材上的典型例題和練習題。在第二輪的專題復習課中，一些學校備課組習慣選編一些各地試卷中的熱點考題，帶領學生進行復習備考訓練，或者圍繞某種解題思想方法進行專題復習，此階段的復習常常是“離開教材搞專題復習”。可見，專題復習課怎樣回歸教材開展“學材再建構”仍是一個值得深入研究的課題。

在李庾南實驗學校第七屆優秀課評比活動中，主辦方選取了人教版數學七年級上的“規律問題”作為比賽課題，參賽教師的“同課異構”引發了我們對七年級規律問題教學的深入思考。現以人教版教材七年級規律問題專題復習課的教學設計為例，說明如何回歸課本，重構學材，開展初中數學專題復習課，提高學生的代數推理能力。

一、“規律問題”專題復習課教學設計

1.活動1：從“直線交點個數”的規律出發

師：同學們，今天我們一起來復習七年級上冊教材中的“規律問題”。同學們剛剛學過第四章“幾何圖形初步”，現在老師挑選這一章中的一道規律習題，檢查同學們的學習情況。

問題1（教材習題）：兩條直線相交，有一個交點，三條直線相交，最多有多少個交點？四條直線呢？你能發現什么規律嗎？（見圖1）

生：圖中圖形的交點個數依次為0，1，3，6，…，第n個圖形的交點個數是[n（n-1）2]。

師：相鄰兩數相加，依次可得1，4，9，…，這個數列也是有規律的。同學們能在網格紙中用小正方形的個數來表達這組數的規律嗎？（教師組織學生利用網格紙畫圖，并投影展示圖2）

師：請同學們看看圖2，思考這兩個問題。（1）第④個圖形比第③個圖形多 ? ? ? ? 個小正方形；（2）第n個圖形比第（n-1）圖形多 ? ? ? ? 個小正方形（用含n的式子表示）。

【設計意圖】“活動1”中的圖1、圖2分別選自七上教材第4章“幾何圖形初步”、第2章“整式的加減”，體現了基于課本的“學材再建構”。此外，從圖1到圖2中的數列規律也有一定的聯系，并且展現了數形對應的本質，有助于發展學生的幾何直觀素養。

2.活動2：日歷中的規律問題

師：在圖2中有很多“小正方形”，現在我們用田字格方框框住日歷中的4個日期，再來看看“問題2”。

問題2：圖3是2022年12月的日歷，觀察田字格方框中的4個數，你能得出什么結論？你能證明這個結論嗎？

生：方框中處于“對角線”上的兩數之和相等。設方框左上角的數為x，另外三個數分別為x+1，x+7，x+8，可以算出處于“對角線”上的數之和都為2x+8。

師：將田字格方框適當移動，框出的4個數之和能否等于56？

生：可以列一元一次方程2（2x+8）=56，解得x=10。

師：現在我們把結果還原到圖片中驗證，我們發現“10”在日歷表的最右邊的一列，故框出的4個數之和不能等于56。所以這時只靠列方程得出的答案是不符合實際的。

【設計意圖】“活動2”的學材改編自課本第3章“一元一次方程”，主要訓練學生構建一元一次方程模型解決實際問題的能力。學生想要解決這個生活問題，需要經歷從實際問題（抽象）→數學問題（一元一次方程）→解決數學問題（解方程）→回到實際問題的背景進行檢驗取舍→得到實際問題的解（解決實際問題）。

3.活動3：“三行數”的規律問題

師：我們通過問題2研究了小正方形個數的問題，現在我們將平面圖形轉化為立體圖形，請同學們觀察圖4中的正方體個數，思考第n組正方體的個數。

生：第n組正方體的個數是3n。

師：非常好，現在請同學們看一看問題3。

問題3：觀察下面三組數：（1）-3，9，-27，81，-243，…；（2）0，12，-24，84，-240，…；（3）-1，3，-9，27，-81，…。

師：第（1）組數按什么規律排列？第（2）（3）組數與第（1）組數分別有什么關系？取每行第n個數，計算這三個數的和（用含n的式子表示）。

【設計意圖】第（1）（2）問仍然是發現規律，第（3）問在前兩問基礎上，三個數的和為（-3）n+［（-3）n+3］+（-3）n÷3。“活動3”改編自課本第1章“有理數”的一道例題，限于七年級上學期學生的運算水平，學生還不具有計算同底數冪的復雜運算能力。在教學時，教師可根據學生學情進行調整，暫不要求他們進一步化簡這三個數的和。

如果學情較好、教學時間允許，教師可利用PPT繼續出示拓展問題（如圖5）：

學生發現這些四位數中4個數字之和都是3的倍數之后，可進一步提出以下猜想：設一個四位數abcd，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數可以被3整除。

針對本拓展教學，教師可安排學生獨立證明“猜想”，并在教室巡視，發現有學生證明成功后，邀請學生上臺講解證明思路。

4.活動4：課堂小結

小結問題1：本課中哪道規律問題給你留下了較深的印象？舉例說說。

小結問題2：你在解決規律問題時，有哪些解題經驗或出錯經歷？可結合具體的習題交流。

小結問題3：請同學們課后認真研究課本，對課本中出現過的規律問題歸類整理。

【設計意圖】在課堂的最后環節，教師引入三個“小結問題”，引導學生開展專題復習課的解后回顧。前兩個小結問題主要針對本課復習內容展開，“小結問題3”則啟發學生學會復習、歸類，這也是促進學生圍繞某個專題深度思考的學法指導。

二、教學立意的進一步闡釋

1.專題復習要回歸課本開展“學材再建構”

專題復習課是期末復習階段的一種常見課型，一般由教師選定某個專題或主題之后選編出一些例題和練習題，再將其分成幾個題組進行訓練。在專題復習課教學時，教師應先將目光投向教材，圍繞主題針對復習范圍內教材各章節內容進行全面檢索，對符合主題要求的習題或素材進行“學材再建構”。以上文“規律問題”復習課為例，我們先對人教版七年級上冊數學教材的各章內容進行了全面檢索，找出大量有關“規律”的習題或素材后，再篩選出各章典型的規律問題，根據問題的難易程度、前后關聯度分組并“排序”。基于“預設”要大于“生成”的考慮，選題、改編或拓展的教學內容應盡量豐富一些，但是有些變式或拓展問題在具體教學時應根據學情“相機”取舍。

需要指出的是，圍繞教材內容進行的習題改編或拓展還要重視“內容效度”。比如在一次函數的單元復習時，教師以一次函數y=x+1的圖象（直線y=x+1）為背景，設計出諸如“求該直線與坐標軸圍成三角形的重心的坐標”“原點O到直線y=x+1的距離”“設點P在直線y=x+1上，A（2，0），當△POA的面積為5時，求點P的坐標”等問題，從這類變式問題的解題步驟來看，很多關鍵步驟與一次函數的圖象和性質關聯甚微，作為一次函數單元復習的選題與變式。上述“變式”從命題或測量學視角來看，“內容效度”不高。

2.規律問題的教學要重視代數推理的訓練

規律問題作為一類高頻問題是貫穿于小學、中學不同階段的，而且有些規律問題的情境或背景在不同學段都會出現，教學要求也體現出明顯的學段特征。具體到初中階段，當學生具備了解釋或證明的數學認知能力時，便可安排其進行推理證明。當然，考慮到上文課例中主要關注七年級上學期的規律問題復習，把握好規律問題證明教學的“度”非常關鍵。在初中，證明應該作為學生數學經驗的基本組成部分，這些經驗可能對學生理解證明起到進一步深化和拓展的作用。上文課例“活動3”中，我們改編了七年教材第1章“有理數”的一道例題，并提出“拓展問題”——“四位數能被3整除嗎”。這道代數推理題的原型出自《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的“案例66”，學生在小學階段已接觸過該題型，所以初中階段可以論證結論的正確性，讓學生在邏輯論證的過程中形成推理能力、培養科學精神。

3.精心預設過渡語追求“平滑轉場”效果

專題復習課離不開題組練習，不同題組的訓練功能并不相同。為了做好不同題組之間的過渡或銜接，在不同題組出示之前應預設簡要的過渡語，以達到不同教學環節之間的“平滑轉場”。上文復習課例中，我們在3個“活動”前都預設了不同的“過渡語”，讓即將研究的規律問題的出示不要過于突然，盡可能讓學生感到規律問題是自然而然地產生的。與通過精心預設的“過渡語”可以達到“平滑轉場”的效果相比，各個教學活動之間的前后呼應更應值得教師在課前預設時“苦心經營”。比如，不少教師在組織八年級“變量與函數”（第1課）教學時，開課階段都會選用“某城市一日溫度變化圖”“汽車勻速行駛”“一根長為2cm的鐵絲圍成長方形”等生活現實來引出“變量”“常量”，進一步分析、抽象、概括出函數的概念。但是在后續例題講評、習題訓練的環節，又出現很多不同的生活現實背景，讓學生鞏固訓練所學概念。筆者認為，在鞏固訓練階段，教師可以引導學生“回看”開課階段的幾種生活現實背景，安排學生從函數的角度進行分析研究，或者圍繞開課階段的幾類生活現實進行變式設問、拓展提問。這樣的教學讓同類的問題背景或生活現實相關聯，串聯不同教學環節，再輔以簡要的“過渡語”（如“同學們，讓我們再回看開課時的勻速行駛問題”），可以帶領學生更快理解題意，讓學生思維聚焦在開課階段就熟悉的問題背景，避免出現“一題接一題”“每題背景都不一樣”的“刷題式”教學現象。

【參考文獻】

［1］李庾南，馮衛東.學材再建構 在結構中教與學［J］.數學通報，2018，57（8）：17-22，30.

［2］斯蒂利亞努，布蘭頓，克努特.證明的教學：從幼兒園到大學的視角［M］.周超，鮑建生，譯.上海：上海教育出版社，2015.

［3］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.