數學小實驗：賦予學生數學素養生長的力量

任衍蘭

摘要：發展學生的數學素養是現代數學教學的根本性訴求。在此過程中，數學小實驗能夠引導學生充分經歷數學化、形式化、公理化的學習過程。操作性的數學小實驗能還原數學學科知識之態；理解性的數學小實驗能探究數學的內在之理；思維性的數學小實驗能讓學生欣賞數學知識之美；而創造性的數學小實驗能呈現數學學科知識的生發、生長之序。

關鍵詞：小學數學；數學小實驗；數學素養；生長力量

在小學數學教學中，教師不僅要引導學生認知，還要引導學生實踐。數學小實驗兼具“理論”與“實踐”的品質，是提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養的重要載體。小學生的數學思維是直觀的、形象的，他們對于數學概念的理解、規律的推導、命題的判定等都離不開直觀形象思維的支撐。教師引導學生進行數學小實驗，能夠幫助學生在實驗過程中發現知識、建構知識、創造知識，賦予學生數學素養自然生長的力量，是數學教學的應有之義、應然之舉。

一、操作性小實驗：還原數學知識之“態”

在小學數學教材中，數學知識是以一種“壓縮化”的形態呈現的。教師必須善于“解壓縮”[1]，讓學生去經歷數學知識形成歷程，重走人類探索數學知識的關鍵步伐。操作性的數學實驗，能引導學生在數學學習過程中主動觀察，主動動手做、主動嘗試。通過操作性的數學實驗，能有效還原數學知識的“過程之態”，讓數學知識得到過程性的確證與表征。在實驗過程中，學生能追溯數學知識的源頭，把握數學知識的本質。

操作性小實驗，是數學實驗的一種最為常見的類型，但操作不是簡單地讓學生“動手做”，而是要融入學生的數學思維和想象。從這個視角來說，操作性數學小實驗是學生的一種具身性認知。比如教學“有余數的除法”時，當學生第一次接觸“余數”，對于“余數”的理解僅僅是“除法計算最后不夠除而剩下的數”。而對于“余數”和“除數”之間的關系、“被除數”與“除數”和“余數”的關系，學生往往不能有效建構。為了助推學生的關系性理解、建構，教師可以在教學中以小實驗的方式，設計學生活動———分物品。在活動中，學生開始會像發牌那樣一個一個地發，當學生在分發的過程中感覺疲憊的時候，便會積極主動地想著幾個一起發，以提高發放速度。進而，學生就會積極主動地思考：能否一次分到位？這種“求簡”的意識正是創新的源泉。在這個過程中，教師應及時組織學生研討：怎樣才能把牌最快分發完？由此，引導學生“試商”。當學生經過多次的數學小實驗成功分完東西之后，不僅建構了“商”的概念，同時也深刻理解了“余數”的內涵。學生發現，剩下來的數也就是余數，必須要比除數小。因為如果不比除數小，就可以再分，商就可以變大，商最大之后，余數一定是小于除數的。在這個過程中，學生有效地建構了被除數、除數、商和余數之間的關系。

操作性的數學小實驗，不僅能夠引導學生操作，還能啟迪學生思維，是一種“做思共生”的數學學習活動。在實驗中，學生不僅要用眼睛看，還要用手做、用大腦思考、用嘴巴表達。學生積極地觀察、模仿、實驗、猜想，能不斷地完善學生的認知方式、思維方式和行為方式。

二、理解性小實驗：探究數學知識之“理”

理解包括三個層面的內容：理解數學、理解學生、理解教學。理解數學是基礎，理解學生是前提，只有理解了數學、理解了學生，才能理解教學。在小學數學學科教學中，教師要設計研發理解性小實驗，引導學生探究數學學科知識之理。在設計研發理解性數學小實驗時，教師不僅要把握教學重點、難點，還要了解學生的具體學情，通過調查、訪談把握學生數學學習的困惑、障礙、問題，把握學生的數學學習疑點、盲點。

設計研發理解性小實驗，關鍵是要揭示數學知識的本質，促進學生直觀性、形象性的理解，是學生數學學習的“腳手架”，能促進學生對數學概念的深度理解。比如教學“圓柱的體積”這一部分內容時，學生遇到了這樣的一個問題：用同樣大小的長方形紙卷成一個圓柱，有兩種卷法，這兩種卷法所形成的圓柱的體積相等嗎？為什么？面對這樣的一個問題，很多學生都認為可以采用舉例子計算的方法來判斷。但舉例法是一種不完全歸納法，有著偶然性。為此，教師可以組織學生開展理解性小實驗，目的是讓學生借助于圓柱體體積推導學具，重新展開一次拼接活動。當學生將圓柱體切拼成近似的長方體之后，引導學生將長方體按照不同的方向擺放，形成不同的底面積和高，由此建構不同形態的圓柱體體積公式。通過這一數學小實驗，促進了學生對問題結論的深度理解，學生發現圓柱的體積還可以表示成側面積的一半乘以半徑。如此，一張長方形紙無論怎樣卷，其側面積是不變的，圓柱體的體積大小的決定性變量就是圓柱的底面半徑，而一張長方形紙卷成圓柱，顯然是以長為底底面積大。由此，學生對于數學結論不僅“知其然”，還“知其所以然”。在實驗過程中，有學生還富有創意地將以長方形長為底的圓柱稱之為“矮胖胖”，并且認為“矮胖胖”的體積更大。

設計研發理解性的數學小實驗，要讓學生以發現者的姿態參與數學探究，既要關注抽象性的數學知識，關注數學知識的數學化屬性，又要關注學生數學學習的經驗化、具體化。教師要精心組織學生的理解性小實驗，為學生的數學新知建構奠定堅實的基礎。從某種意義上說，理解性的數學小實驗不僅是一種教學手段、教學工具，還是教學內容的重要組成。

三、思維性小實驗：欣賞數學知識之“美”

西方著名思想家羅素曾說：“數學具有至高無上的美，正如雕刻的美，是一種‘冷而嚴肅的美[2]。”在小學數學教學中，教師不僅要引導學生理解知識，還要讓學生能領略到數學學科知識之美。數學學科知識之美，不僅表現在知識的形態美，還體現在知識的本質之美、關系之美、結構之美上。這種“美”是和諧的、圓融的、互攝的。為此，教師要引導學生開展思維性小實驗，讓實驗能體現出數學學科知識的內在之美。

思維性小實驗，是要引導學生在數學實驗過程中經歷“理智的歷險”。學生的數學學習是一種探險，隨時都有可能遭遇懸崖峭壁。思維性小實驗，就是要思考、想象“經歷”的可能性，從而呈現學生數學學習的豐富性，體現數學學科學習的開放性。思維性數學實驗，往往不需要借助于過多物質性實驗儀器，僅僅需要學生對實驗的過程、實驗的結果作出一種可能性的分析。借助于思維性小實驗，能讓學生領略到數學學科知識之美、數學問題解決方法之妙。比如學生在六年級總復習的過程中遇到了這樣的一道題：3條直線兩兩相交，最多會有3個交點；4條直線兩兩相交，最多會有6個交點；100條直線相交，最多有多少個交點？1000條呢？n條呢？對于這樣的一個找規律性的問題，教師不可能讓學生一條一條地去畫，而需要在操作實物性數學實驗的基礎上展開數學的思想性、推理性、想象性的思維實驗。如有學生分別探究了3條直線兩兩相交、4條直線兩兩相交、5條直線兩兩相交，等等。在此基礎上，引導學生發現了每增加一條直線增加的交點個數的規律，引導學生發現“直線的條數和交點的個數的關系”，等等。由此引導學生建構反映規律的相關數學雛形，并依托數學雛形進行想象。學生在頭腦中“操作”，在頭腦中“下盲棋”。通過思維性的數學實驗，學生不僅能發現數學規律，找到大數據直線條數兩兩相交所形成的交點數，還能建構相應的數學模型。

思維性數學小實驗是根據研究目的展開人為假設，并通過改變和控制某些變量而研究數學現象、規律的一種實驗，往往是在學生的頭腦中完成的，而不是依靠具體的物質性的實驗器材。思維性實驗是一種抽象分析和歸納綜合性的實驗，能充分展現數學學科知識的形式之美、邏輯之美、抽象之美。通過思維性數學小實驗，學生能領略到數學學科知識的神奇，能感悟到數學學科知識的秘妙旨趣。

四、創造性小實驗：呈現數學知識之“序”

創造是學生數學學習的最高境界。小學生的數學創造不同于科學家、數學家的原始創造，其主要是數學知識的“再創造”，也就是由學生本人將所要學習的內容再造出來[3]。創造性小實驗，一方面要遵循數學學科知識的邏輯演進、發展的順序而展開；另一方面要遵循學生的數學認知特點，遵循學生的具體學情。

創造性的數學小實驗，能呈現、凸顯數學學科知識之“序”，要求教師要引導學生“做數學”“學數學”“用數學”，只有充分地做、充分地學，才能讓學生在數學學習中展開積極地遷移，主動地提煉、激活相關的數學經驗、知識，展開富有個性的創造。創造不僅是學生數學實驗的一種重要方式，還是學生數學實驗的根本性目的、追求。創造兼具工具性意義和價值性意義的雙重屬性。比如教學“長方形的面積”這一部分內容時，教師可以引導學生做創造性小實驗，通過實驗，學生緩慢地建構長方形的面積公式。一開始，教師可以給學生提供單位面積的小正方形，讓學生用這些單位面積的小正方形去密鋪，這個時候，單位面積的小正方形的個數是足夠的。通過密鋪，引導學生認識長方形的面積就是單位面積小正方形的個數；接著，教師可以讓學生還是用這些單位面積的小正方形密鋪，但這個時候，長方形變大了，單位面積的小正方形的個數就不能鋪滿長方形了，變得“缺斤少兩”。至此，可以激發學生的數學思考：長方形中一共有多少個單位面積的小正方形？由此催生學生發現長方形的長也就是單位面積小正方形的每行的個數，長方形的寬也就是單位面積的小正方形的行數；最后，教師可以給學生提供一個更大的長方形，由此引導學生自主建構長方形的面積公式，即長方形的面積公式等于底乘高，也就是單位面積的小正方形的總個數等于每行的個數乘行數。

創造性的小實驗，有助于深化學生的數學理解，教師要把握學生創造性實驗的起點和發展，更好地引導學生進行數學實驗。數學實驗不是數學知識的簡單再現，而是必須打開數學知識的發生、發展過程。著名數學教育家波利亞曾經這樣說：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，是一門系統的演繹科學；另一方面，創造過程中的數學，更多的是一種實驗性的科學、歸納性的科學。”創造性的數學小實驗，就是要引導學生展開直覺的猜想、想象，就是要引導學生進行歸納、概括。

數學小實驗要引導學生經歷數學化、形式化、公理化的學習過程，能充分地發揮和彰顯數學學科的育人價值，能讓學生的數學學習真正發生、深度發生。

參考文獻：

[1]$吳響鈴.重視數學實驗教學對學生的影響[J].基礎教育課程，2011（5）.

[2]$孫朝仁.數學實驗教學內部支持系統的構建[J].數學通報，2020（8）.

[3]$張波，徐玥.我國中學數學實驗研究：現狀與展望[J].課程·教材·教法，2019（2）.

$見習編輯/張婷婷