數學思想方法在高中數學解題訓練中的妙用

劉長山

【摘 要】 ?在高中教育階段，數學作為一門邏輯性、抽象性比較強的科目，對師生雙方的綜合能力均有著較高要求，在平常教學中，教師不僅需幫助學生理解與掌握數學理論知識，還要積極開設解題訓練活動，使其學會運用所學知識解決問題，促進學以致用教學目標的實現.除常規解題方法的使用，還要巧妙應用數學思想方法，讓學生的解題水平更高.本文針對數學思想方法如何在高中數學解題訓練中進行妙用作探討，并分享部分解題實例.

【關鍵詞】 ?數學思想方法;高中數學;解題

數學思想方法指的是人們對數學知識本質的理解與認知，從數學知識中提煉出的部分觀點，是對數學規律普遍性的揭示，也是數學發展的支撐點，還是解決數學問題的一類方法，包括涉及的解題手段、途徑和方式等.在高中數學解題訓練中，教師需給予學生正確引導，除講授理論知識以外，還要傳授一些常用的解題技巧，借助各種數學思想方法的妙用，培養他們的解題能力與邏輯思維能力，使其掌握更多解決數學問題的竅門，從而取得理想化成績.

1 巧妙運用轉化思想解答數學試題

轉化思想即為處理或者解決部分難度相對較大的數學問題時，通過某些轉化手段與方法把難懂復雜的數學問題轉化成易懂簡單的問題，幫助學生降低解題難度，讓他們更好地解答數學試題，使其不斷增強解題自信心.在高中數學解題訓練中，教師可指引學生巧妙應用轉化思想，將一些難以解決、陌生、抽象的數學問題轉化成容易解決、熟悉、具體的問題，使其思維得以進化，通過不斷地構造與轉化找到解題的突破口，讓他們快速處理數學難題 [1] .

例1 ??（1）求解函數y= sin x-1的值域；（2）求解函數y= cos ?2x－3 sin x+2的最大值.

解析 ??學生根據所學知識能夠判斷出（1）是一道求解三角函數值域的問題，（2）屬于求最值類的問題，他們處理這類題目時可以考慮使用轉化思想，將三角函數問題轉變成普通函數問題進行求解，目的是降低解題的復雜程度，減少錯誤現象的出現.

具體解題方式如下：

（1）先假設b= sin x，結合三角函數的有界性，能夠得出b的范圍為 －1，1 ，

由此原函數可轉化成一個普通函數y=b－1，能夠判斷出y的值域是 －2，0 .

（2）因為 sin ??2x+ cos ??2x=1，所以 cos ??2x=1－ sin ??2x，

原函數能夠替換成y=1－ sin ?2x－3 sin x+2，

整理后得到y=－ sin ?2x－3 sin x+3.

令 sin x=b，則原函數轉化成y=－b 2－3b+3，

結合三角函數的有界性能夠判斷出b的范圍為[－1，1]，

然后把轉化后的函數進行配方，最終得到y的值域是 －1，5 ，則y的最大值是5.

2 使用函數方程思想解答數學試題

函數思想即為基于運動變化的視角切入，分析與探究數學問題中各個數量之間的關系，明確變量和常量，據此構建出函數的特征，從變量的運動變化、發展與聯系等角度拓展解題思路，最終形成準確的解題方法.在高中數學解題訓練中，教師需積極傳授函數方程思想，指引學生據此各種數學問題，找出題目中隱性條件，靈活使用函數性質，準確構建函數解析式或者方程，使其邏輯思維能力得到很好的培養和鍛煉，讓他們的解題思路也有所拓寬 [2] .

例2 ??在一個三角形中，三條邊分別是x，y，z，∠1，∠2，∠3是該三角形的三個內角，它們大小構成一個等差數列，且∠1比∠3的度數小，其中 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，∠3對應邊z上的高的長度是4 3 ，那么該三角形三條邊x，y，z，的長度分別是多少？∠1，∠2，∠3三個內角分別是多少？

解析 ??從表面上來看這是一道有關三角形和等差數列的問題，其實數列也是一種特殊的函數類型，同方程知識有著緊密聯系，處理本題的關鍵之處在于找準題目中量之間的等量關系，據此建立出相應的方程，最終通過解方程獲得相關數據，也就是答案.

具體解題方式如下：根據已知條件 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，

能聯想到三角形中的恒等式

tan ∠1+ tan ∠2+ tan ∠3= tan ∠1· tan ∠2· tan ∠3，

則 tan ∠1+ tan ∠3= tan ∠2·［ tan ∠1· tan （∠3－∠1）］.

又因為∠1，∠2，∠3是一個等差數列，

則∠2= ?π ?3 ， tan ∠1+ tan ∠3= 3 × 1+ 3 ?，

這表明 tan ∠1和 tan ∠3是方程x 2－ 3+ 3 ?x+2+ 3 的兩個根，

由于∠1比∠3的度數小，

解之得 tan ∠1=1， tan ∠3=2+ 3 ，

即為∠1= ?π ?4 ，∠3= 5 π ?12 ，

據此得到x=8，y=4 6 ，z= 3 +1.

3 使用分類討論思想解答數學試題

在高中數學解題教學中，部分題目通常存在著多種可能的情況，處理此類題目時就要用到分類討論的數學思想方法，通過對各種情況的綜合以后求得結果，從本質上來看，這是一種邏輯性極強的解題方法，展現出化整為零、積零為整的歸類整理方法.具體來說，高中數學教師在指導學生使用分類討論思想解答數學試題時，應當先確定討論對象及全體范圍，再確定分類標準，然后逐個討論，最后讓他們總結討論出的所有內容，整合后得到結果 [3] .

例3 ??已知函數f（x）=（x－k） e ?x，（1）求函數f（x）的單調區間；（2）求f（x）在區間 0，1 上的最小值.

解析 ??第（1）問可以直接求解，處理第（2）問時，學生需結合數f（x）在不同區間的增減性進行分類討論，分別求出f（x）的最小值，以免遺漏某些情況，只有這樣才能夠確保答案的完整與準確.

具體解題方式如下：（1）因為f′（x）=（x－k+1） e ?x，能夠得到f（x）的遞減區間是（－∞，k－1），遞增區間是（k－1，+∞）.

（2）這里要用到分類討論思想.

①當k≤1時，函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，所以f（x） min ?=f（0）=－k；

②當1＜k＜2時，根據（1）中的結果可知f（x）在區間［0，k－1）上單調遞減，在區間（k－1，1］上單調遞增，則f（x） ?min ?=f（k－1）=－ e ?k－1 ；

③當k≥2時，函數f（x）在區間 0，1 上單調遞減，則f（x） ?min ?=f（1）=（1－k） e .

4 采用特殊一般思想解答數學試題

矛盾的普遍性往往存在于特殊性之中，大部分高中數學試題均是對特殊情況分析和歸納后得到的一般性結論，由于特殊性的數學問題通常直觀、簡單，認識與把握起來也較為容易，這時可采用特殊和一般的數學思想方法，如果一般情況下成立，那么包含于題目中的特殊情況同樣成立.針對高中數學解題教學來說，當遇到一些一般情況下難以求解的數學問題時，教師可以引導學生采用特殊化思想，取一些特殊值或者特殊圖形，從而順利求解 [4] .

例4 ??判斷是否存在一個等差數列{an}，使得對任何自然數n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）恒成立，且把結論證明出來.

解析 ??處理本道題目如果使用常規方法難度較大，還比較煩瑣，結論也很難證明出來，教師可提示學生使用特殊一般思想，按照“特殊到一般，再到特殊”的流程來證明結論，讓他們順利完成題目的解答.

具體解題方式如下：先把n=1，2，3分別代入等式后能夠得到a1=6，a1+2a2=24，a1+2a2+3a3=60，則a1=6，a2=9，a3=12，公差d=3，由此證明存在一個等差數列an=3n+3，當n=1，2，3時，該等式成立.

接著，采用數學歸納法證明存在一個等差數列an=3n+3，對于大于3的自然數，上述等式仍然恒成立，假設n=k時等式成立，

即為a1+2a2+3a3+…+kak=k（k+1）（k+2）.

當n=k+1時，

有a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1 =k（k+1）（k+2）（k+1） 3（k+1）+3 =（k+1）（k 2+2k+3k+6）=（k+1）（k+2）（k+3）=（k+1）［（k+1）+1］［（k+1）+2］.

這表明當n=k+1時，上述等式同樣成立，從而證明了題目中的結論.

5 借助數形結合思想解答數學試題

數形結合可謂是數學領域中最古老、使用范圍最廣的一種思想方法，主要包括以形助數、以數輔形兩大方面.對于高中數學解題訓練而言，教師帶領學生分析數學問題中條件和結論之間的內在關系時，不僅需發掘出抽象數學語言中所蘊涵的代數含義，還要展示出幾何的直觀性特征，使其以數與形之間的結合點為突破口找到解題思路，把復雜的數學問題變得簡單，運用數形結合思想方法的關鍵在于應把握好題目中數、形之間的關系及轉換 [5，6] .

例5 ??已知在一個平面直角坐標系中有兩個圖形，一個是橢圓，方程是 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1，另外一個是以原點 0，0 為圓心，以 a 2+b 2 為半徑的圓，其中橢圓的短軸長度是2，離心率是 ?6 ?3 .求（1）橢圓和圓的方程；（2）如果一條直線和橢圓相交于M，N兩點，同圓相交于P，Q兩點，且 PQ = 13 ，那么△MON的最大面積是多大？

解析 ??處理第（1）問時使用常規方法即可，解答第（2）問時要用到數形結合思想，這能夠幫助學生簡化解題過程.

具體解題方式如下：（1）結合已知信息求出橢圓的方程是 x 2 3 +y 2=1，圓的方程是x 2+y 2=4.

（2）如圖1所示，作OH⊥PQ相交于點H，把OP連接起來，在 Rt △OHP中，結合勾股定理求得 OH = ?3 ?2 .

根據圖中信息可知，當直線同x軸平行時，△MON的面積最大，如圖2所示，這時圖中5個點的y值都是 ?3 ?2 ，

將其代入橢圓的方程中求得M，N的橫坐標分別是－ ?3 ?2 ， ?3 ?2 .

所以 MN = 3 ，則△MON的最大面積是 3 4 .

6 總結

綜上所述，在高中數學解題訓練中，教師要高度重視數學思想方法的妙用，指導學生根據具體題目內容靈活使用轉化、函數、分類討論、特殊一般、正難則反與數形結合等多種多樣的數學思想方法，使其在較短時間內找準解題的切入點，優化解題方法與流程，少走彎路，促使他們切實體會到數學思想方法的價值和實用性，最終提高個人解答數學試題的效率.

參考文獻：

[1] 陳林.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].數理天地（高中版），2022（21）：85-87.

[2]李軍焰.高中數學解題課中數學思想方法教學的策略[J].數理天地（高中版），2022（04）：35-37.

[3]田靜.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].新課程教學（電子版），2021（24）：43-44.

[4]紀洋.高中數學解題課中數學思想方法教學的滲透[J].數學大世界（上旬），2021（06）：78.

[5]崔君柱.淺析數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].讀寫算，2021（13）：101-102.

[6]彭雪峰.高中數學解題課中數學思想方法教學的策略[J].數理化解題研究，2021（12）：6-7.