高中數(shù)學教學中函數(shù)試題的解題技巧

李靜 張軍

【摘 要】 ?在高中數(shù)學教學中，函數(shù)作為重要的知識內(nèi)容，包含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)等.在高考數(shù)學中，函數(shù)是重要的考查內(nèi)容之一，而且題目類型多種多樣.因此，在高中數(shù)學教學中，要求學生掌握函數(shù)解題技巧，有著重要的作用和意義.作為數(shù)學教師，需要加強函數(shù)解題技巧講解，結合函數(shù)例題引導學生探究，明確解題思路和技巧，逐漸培養(yǎng)學生函數(shù)解題思維，進一步提高學生解題能力.本文結合函數(shù)例題分析解題技巧，以供參考.

【關鍵詞】 ?高中數(shù)學；函數(shù)；解題技巧

1 函數(shù)定義域類試題解題技巧

定義域是函數(shù)三要素之一，是對應法則的作用對象，指的是函數(shù)自變量的取值范圍，即對于兩個存在函數(shù)對應關系的非空集合D、M，集合D中的任意一個數(shù)，在集合M中都有且僅有一個確定的數(shù)與之對應，則集合D就是函數(shù)的定義域.

例1 ??已知函數(shù)f（ 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x）的定義域是 ??π ?2 ， 2 π ?3 ?，那么函數(shù)f 2 x－1 + 1 2 ?的定義域是什么？

解析 ??這道題主要限制條件就是原函數(shù)的定義域是已知的，當對函數(shù)式進行轉化時一定要等價變形，并注重自變量的取值范圍是否發(fā)生相應改變，如果出現(xiàn)參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論，以免出現(xiàn)答案不完整或者不正確的情況.

具體解題方式如下：因為函數(shù)f（ 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x）的定義域是 ??π ?2 ， 2 π ?3 ?，所以可以假設

t= 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x

＝ 3 ?sin ?2x－ ?π ?3 ?+ 3 2 ∈ ?3 2 ，3 ，

由此求得函數(shù)f（x）的定義域是 ?3 2 ，3 ，

然后讓s=2 x－1 + 1 2 ，而f（s）所對應的函數(shù)關系仍然是f（x），

由此能夠得到s=2 x－1 + 1 2 ∈ ?3 2 ，3 ，結合這一式子就能夠推導出s∈ 1， log ?25 ，

從而說明函數(shù)f 2 x－1 + 1 2 ?的定義域就是 1， log ?25 .

2 函數(shù)單調性類試題解題技巧

函數(shù)的單調性又稱作函數(shù)的增減性，可以定性描述在一個指定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值變化與自變量變化之間的關系，當函數(shù)f（x）的自變量在其定義域內(nèi)增大或者減小時，函數(shù)值f（x）也隨之增大或者減小，就稱該函數(shù)是在該區(qū)間上具有的單調性.

例2 ??已知函數(shù)f（x）= log ?9 x+8－ a x ?在定義域[1，＋∞）上為增函數(shù)，那么a的取值范圍是什么？

解析 ??處理這一題目時，題干中明確指出該函數(shù)在這個定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以學生就要根據(jù)增函數(shù)的定義進行列式分析，然后梳理解題過程中要安排幾個重要步驟，使其結合增函數(shù)的形狀展開求解，最終讓他們輕松求出a的取值范圍.

具體解題方式如下：由于函數(shù)f（x）= log ?9 x+8－ a x ?在定義域[1，＋∞）上為增函數(shù)，因此根據(jù)增函數(shù)的定義能得到在定義域[1，＋∞）上，對于任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），

據(jù)此能夠得到

log ?9 x1+8－ a x1 ?＜ log ?9 x2+8－ a x2 ?，

即為x1+8－ a x1 ＜x2+8－ a x2 ，

則（x1－x2） 1+ a x1x2 ?＜0，

因為x1＜x2，故x1－x2＜0，

那么1+ a x1x2 ＞0，化簡、變形以后得到

a＞－x1x2 ，

又因為x2＞x1≥1，所以說如果想讓a＞－x1x2 恒成立，只需a≥－1即可，

再結合增函數(shù)的性質可得1+8－a＞0，故a＜9，綜合起來a的取值范圍是[－1，9）.

3 函數(shù)奇偶性類試題解題技巧

函數(shù)的奇偶性在高中數(shù)學函數(shù)解題中比較常見，對學生的邏輯思維能力有著較高的要求，教師可指導他們按照以下步驟進行：確定函數(shù)的定義域；判斷定義域是否關于原點對稱；如果是，確定f（x）與f（－x）的關系；假如不是，表明既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；最后得出準確結論 [1] .

例3 ??請判斷函數(shù)

f（x）＝ ?－x 2+x，x>0，x 2+x， ??x≤0 ?的奇偶性.

解析 ??本題題干簡潔明了、主題突出、意圖明顯，學生需先求出該函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義域是關于原點對稱的形式，判斷f（x）與f（－x）兩者之間的關系，根據(jù)關系得出該函數(shù)的奇偶性.

具體解題方式如下：根據(jù)題意可以知道函數(shù)f（x）的定義域是 R ，然后展開分類討論，

當x＞0時，f（x）=－x 2+x，－x＜0，此時f（x）＝－f（x）；

當x＜0時，f（x）=x 2+x，－x＞0，此時f（－x）＝－f（x）；

當x=0時，f（0）＝－f（0），綜合起來可得該函數(shù)的定義域是關于原點對稱的，并且f（－x）＝－f（x） ，所以說是一個奇函數(shù).

4 函數(shù)求最值類試題解題技巧

函數(shù)最值分為最小值與最大值兩種情況，最小值即定義域中函數(shù)值的最小值，最大值即定義域中函數(shù)值的最大值，幾何意義是函數(shù)圖象的最低或者最高點的橫坐標就是該函數(shù)的最小值或最大值.在高中數(shù)學解題教學中，當處理函數(shù)求最值類題目時，教師需提醒學生注意函數(shù)的定義域，讓他們結合具體定義域求出函數(shù)的最小值或最大值.

例4 ??已知函數(shù)f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且滿足以下條件：（1）對于任意的x，y∈ R ，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；（2）當x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=－669，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[－3，3]上的最大值與最小值分別是什么？

解析 ??這是一道典型的求抽象函數(shù)最值的問題，由于題目中沒有給出具體的函數(shù)解析式，通常是通過研究函數(shù)的單調性來確定最值，而對于抽象函數(shù)單調性的證明，一般是直接采用定義法進行直接證明.

具體解題方式如下：在區(qū)間[－3，3]上設x1＜x2，根據(jù)條件（1）可得

f（x2）=f［（x2－x1）+x1］

=f（x2－x1）+f（x1），

即為f（x2－x1）=f（x2）－f（x1），

有x2－x1＞0，

根據(jù)條件（2）可得f（x2－x1）＜0，

就是f（x2）－f（x1）＜0，

則f（x1）＞f（x2），由此得到函數(shù)f（x）在 R 上單調遞減，那么f（x）的最大值是

f（－3）=－f（3）=－f（1+2）

=－f（1）－f（1+1）=－3f（1）=2007，

最小值是f（3）＝－2007.

5 函數(shù)求值域類試題解題技巧

在處理高中數(shù)學函數(shù)值域類試題時，一般不直接解決原問題，而是先對問題進行適當?shù)霓D化與變形，使之成為容易解決的問題，幫助學生準確找到解題的切入點，讓他們順利求出函數(shù)的值域 [2] .

例5 ??求函數(shù)f（x）=3+ 2－3x 的值域.

解析 ??本題直接給出一個函數(shù)解析式，求該函數(shù)的值域，處理這類試題時，關鍵之處在于根據(jù)函數(shù)解析式的不同特點選擇相應的解題方法，解答這一題目時可以根據(jù)算式平方根的性質先求出函數(shù)解析式中根號部分的值域，再求出整個式子的值域，這一方法簡潔明了，計算量較少，準確率很高.

具體解題方式如下：由算式平方根的性質得知2－3x≥0，所以綜合起來可得3+ 2－3x ≥3，即為函數(shù)法f（x）的值域就是[3，＋∞].

參考文獻：

[1] 董叢叢.高中數(shù)學函數(shù)題目的解題技巧淺析[J].神州，2021（05）：190-191.

[2]程志慧.高中數(shù)學中函數(shù)的解題技巧與方法[J].數(shù)學學習與研究，2020（22）：150-151.