理工類課程課程思政的實踐方法

李曉焱　閆樹熙　馬崛

摘? 要：該文以高等數學經典知識點定積分的概念為例，結合地方區域特色，挖掘陜北文化資源，將優秀文化資源融入到地方高校的高等數學課程中。根據課程特點，確立思政目標，探尋思政元素切入點，設計教學過程。在此基礎上，提出“潤物無聲”的思政實施方法，對理工類教師開展課程思政具有積極的借鑒意義.

關鍵詞：理工類課程；課程思政；高等數學；定積分；實施方法

中圖分類號：G641? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）26-0164-06

Abstract： This paper is aimed at offering some implementation methods of integrating the ideological and political factors with the science and engineering courses in local colleges and universities， taking the concept of point definite integral in classical knowledge of Advanced Mathematics as an example. By exploring the local and cultural characteristics， setting pre-class emotion and moral aim， the paper seeks possible ways for teaching design. Based on this curriculum design， the ideological and political education is carried out in an imperceptible but effective way. This paper hopes to offer some practical reference significance for other teachers in relative courses.

Keywords： science and engineering courses; curriculum ideology and politics; Advanced Mathematics; definite integral; implementation method

2021年3月，教育部辦公廳發布的《關于開展課程思政示范項目建設工作的通知》強調，全面推進不同類型學校的課程思政建設理論研究和教學實踐，探索創新課程思政建設方法路徑，加快形成“校校有精品、門門有思政、課課有特色、人人重育人”的良好局面[1]。高等數學課程是高等院校面向理工類、經管類等專業大一學生開設的一門公共理論必修課，著重培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、幾何直觀和空間想象能力，以及熟練的運算能力，為后續專業課程的學習和今后從事科學研究活動奠定了必要的數學基礎。其授課時間長、覆蓋廣，在榆林學院，每年有8個學院近2 100名本科生學習該門課程。作為一名高等數學任課教師，如何在專業知識講授的同時能用好課堂主渠道，深入知識的內涵，充分挖掘思政元素，幫助學生樹立科學正確的人生價值觀，已成了尤為迫切需要解決的問題。

立德樹人，在思政課程中引領、在通識類課程中浸潤、在社科類課程中深化[2]。然而，理工類課程邏輯性強、抽象性強、應用性強，與思政似乎“風馬牛不相及”。基于上述特點，使得思政元素自然無聲地融入相比人文社科類課程更具有挑戰性[3]。究其原因，首先是課程固有的理性思維與思政傾向的感性思維很難做到真正意義上融合，其次傳統理工類課程往往重認知輕情感，重講解輕互動，重考試輕能力，致使思政元素“刻意”生硬地走進課堂，難以達到“潤物無聲”的效果。盡管具有很大的挑戰性，但目前高等院校大部分的理工類教師已悄然在自己的課程中進行了課程思政的探索與實踐[4-6]，并逐步開展課程思政示范項目建設工作。

本文以高等數學定積分的概念為例，面向經管類學生創設有地域特色的、有陜北文化氣息的教學案例，讓學生產生共鳴。課中對課程內容適當優化，降低學習難度，處理好定量和定性、具體和抽象、主觀判斷和邏輯推理等關系。主要采用啟發式、問題驅動式的教學方法讓學生更好地融入課堂，突出以學生為中心的理念，借助多媒體直觀、細致地演示“分割、近似代替、求和、取極限”的過程， 使得復雜的問題可視化，從而加深對抽象理論的理解。引導學生概括出定積分的概念，啟發學生領會解決問題中所蘊含的數學思想，并提高學生應用數學解決問題的能力。

一? 課程思政目標

讓學生了解陜北地域特色文化，充分利用紅色資源，激發學生的學習熱情和學習興趣；介紹中國古代著名的劉徽“割圓術”，提升學生的數學文化自信；在理解概念、升華思想的過程中激發學生的求知欲，主動參與課堂討論，培養學生嚴謹態度和探索未知世界的精神；應用高等數學解決生活中的實際問題，增加學生的社會責任感；通過定積分思想中量變與質變的關系，培養學生正確的價值觀，增強實現強國夢的決心和信心，最大化地發揮高等數學獨特的文化育人功能，使得應用型本科院校經管類的學生拓寬數學的知識性和人文性。思政目標如圖1所示。

二? 教學設計思路

定積分的概念是高等數學中最重要的概念之一，在力學、幾何學、物理學、經濟學、生命科學和社會科學等許多領域有著廣泛的應用。本節課以“創設問題—探究問題—解決問題—應用問題”作為主線，針對學生熟悉陜北窯洞的特點，從需要多少張麻紙貼窗戶引入曲邊梯形的面積計算問題，借鑒劉徽“割圓術”的思想找到解決問題的方案和步驟。進一步提及定積分在其他領域的背景和應用，將這些問題歸結為一類特殊和式的極限，找出解決此類應用問題的共性，從共性中抽象出定積分的概念，同時開闊學生的知識視野。針對學生來自經管類專業的特征，利用所學知識解決經濟學中的收益問題，提高學生解決實際問題的意識和能力，體會學以致用、用以促學的學習意義。

（一）? 創設問題

2021年9月13日，在陜西省榆林市考察調研的習近平總書記來到楊家溝革命舊址強調“要充分運用紅色資源”“賡續紅色血脈”[7]。窯洞作為陜北一張響亮的名片，為中國革命史寫下了濃墨重彩的一筆，如圖2所示。現如今窯洞不僅是陜北人的居住場所而且是紅色文化教育基地。從窯洞的窗格的外部形態引發學生思考，為什么窯洞依山開鑿建成拱形？是因為黃土黏性大，直立性強，而拱頂的承重能力比平頂好，能更好地防止泥土掉落，這樣修建才有支撐力，堅固耐勞，也充分體現了我國勞動人民的智慧。在陜北，每到過年會把窯洞的窗格重新貼上麻紙，這樣既顯得明亮又保暖散氣，那對于這樣一個拱形窗格，我們需要買多少張麻紙呢？對于這個問題，祖先的智慧就是數小方格的個數，邊上的非方格也用方格來代替，每個小方格的面積易算，窯洞窗格的近似面積也就可以算出來，需要的麻紙也就確定了。然而窯洞是拱形的，它的準確面積又如何算呢？

基于此背景，創設問題：如何計算拱形窗格的準確面積？進一步提問，如何計算平面曲邊圖形的面積呢？

（二）? 探究問題

提到面積，同學們并不陌生，回顧中學計算過的平面圖形的面積，有矩形、梯形、圓和橢圓等規則圖形的面積，對于不規則平面圖形的面積即一般曲邊圖形的面積中學并未學到。其實，求曲邊圖形的面積是個古老的問題，早在公元263年，我國古代杰出的數學家劉徽就創立了“割圓術”。所謂“割圓術”就是利用圓內接正多邊形的面積無限逼近圓的面積，當邊數不能再增加時，就是圓面積。他在“割圓術”中提出“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這被視為中國古代極限觀念的佳作。通過介紹劉徽“割圓術”，讓學生切實感受到民族的自豪感及對中國文化的認同感，樹立遠大的理想和堅定的信念。學生在課堂上不僅能夠學到基礎知識，還可以開拓境界，熏陶心靈，有利于學生的身心發展。

那么，我們能否把“割圓術”中所蘊藏著的“以直代曲、無限逼近”的數學思想用到求曲邊圖形的面積中呢？要解決這個實際問題，首先需要將拱形窗格放入二維平面中，如圖3所示。建立直角坐標系，結合圖形給出曲邊梯形的定義。

實際上，會計算曲邊梯形的面積，曲邊圖形的面積就迎刃而解了，因為我們可以通過相互垂直的直線將曲邊圖形分割成若干個曲邊梯形，這樣會使得問題直觀化和簡單化，也使學生對所學內容有感官上的認識，使枯燥的數學問題顯得更親切。要解決所提出的問題，關鍵點在于如何處理曲邊梯形中的這條曲線。如果這條曲線是直線，那由矩形的面積公式就可以得到，而現在是曲線，當然不能用公式。接下來，請同學們留意窗格外部形態特點及引導學生思考矩形與曲邊梯形的本質區別在哪里，抓住問題的核心，啟發學生思考。經過學生認真討論，總結為這條曲線是連續的，由連續函數的定義可知曲邊梯形的高f（x）在很小的一段區間上變化是微小的，幾乎不變。因此把曲邊梯形分割成許多個窄曲邊梯形，用這些窄曲邊梯形的面積和近似代替曲邊梯形的面積，當然誤差一直存在，用什么方法可以使誤差盡量減小？此時需要多媒體動態展示分割越來越多就越接近準確值的過程，從而引出極限的思想。探究問題的設計過程中體現了數學中常用的以簡單的圖形逼近復雜的圖形的思想，為學習多重積分奠定基礎。

（三）? 解決問題

根據上一節討論的結果，借助于PPT演示每一步動畫，引導學生直觀感受無限逼近過程的同時，繼續思考如何用數學語言表述每一步的分析過程。分為四步：分割→近似代替→求和→取極限（圖4）。

這里需要學生注意兩點：一是乘積和式本身雖然與兩個“任意”有關，但是乘積和式的極限值與兩個“任意”是無關的；二是在取極限時要保證無限細分，就是要讓每個小區間都要無限縮小，使得當n→∞時，不僅把區間[a，b]分得無限多，而且還要讓每個小區間長度？駐xi無限小。通過逐步層層推導，得出曲邊梯形的面積。常言道“冰凍三尺，非一日之寒；滴水穿石，非一日之功”。無限細分，積“小”成多，積沙成塔，最終使得窄矩形的面積和無限逼近曲邊梯形的面積。這種由量變引起質變的過程蘊含著由量變到質變的辯證關系。

求曲邊梯形的面積屬于幾何問題，實際上，不均勻密度的細棒質量、變速直線運動的路程、旋轉體的體積、變力沿直線所做的功、物體的引力、液體的壓力、剛體的轉動問題、風險利潤和投資決策等問題都可歸結為這樣一個特殊乘積和式的極限。這些問題背景完全不同，但是在處理問題上有很多共性，引導學生分組討論歸納總結得出共性，首先所要求的量都對區間具有可加性；其次解決這類問題的方法與步驟完全相同，都是通過這四步得到，分割是為了近似代替，求和是為了取極限得到精確值；最后就是所求的量的極限結構式是相同的，都是特殊乘積和式的極限。那么我們拋去所有背景，把這些共性抽象為一個一般的數學概念，即定積分的概念，也稱黎曼積分。結合四步解決問題的過程板書概念，對定積分的記號進行說明，那么曲邊梯形的面積就可表示為

在定積分的定義中，兩個“任意性”學生不容易理解，一是小區間分割的任意性，二是小區間取點的任意性。若定義中的任意性減少一個，或分割為等分時小區間內取點的任意性，或者保留分割的任意性而小區間內取點全部為小區間左或右端點，就會給出定積分的兩個等價定義[8]。另外，對于定積分定義，討論較多的是如何利用定積分的定義探討極限問題，也是考研和參加競賽的同學必須掌握的內容。將[a，b]等分，取？孜i為每個小區間的端點，則

掌握定義的同時也要讓學生深入理解定積分思想方法的精髓。概念中蘊含了四步深厚的數學思想，其中“化整為零，積零為整”背后的哲學思想記錄著新中國的崛起，中國自20世紀50年代起，每五年繪制一份五年計劃，對國民經濟和社會發展做出規劃。從“一五”到“十四五”一以貫之的目標就是實現現代化，五年一小步，積小勝為大勝，積跬步而至千里，從量變到質變，每一個五年都是在中國特色社會主義道路路標的向導下前進的，都是向強國夢漸進的行軍，愿同學們為實現中國夢努力奮斗、勤奮學習，而我們學習的過程就是在求解曲邊梯形的面積的過程。每一天認認真真地努力便構成學習的小梯形，最終構成自我成長的大梯形。如今，“十四五”規劃必將帶領我們向著社會主義現代化強國和更具有幸福感的未來邁進。

（四）? 應用概念

定積分概念可以說是高等數學課程中最經典的定義，是后繼學習多重積分、曲線、曲面積分概念的鋪墊。概念本身具有計算的技巧性和高度的抽象性，是學生最不容易理解的概念之一。看似抽象的數學概念，其實都有實際背景，使得教學目標的實現在講授的過程中遇到各種困難。為解決實際問題，學生根據客觀現象對知識進行凝練，將客觀規律濃縮到定積分的概念中，體會概念中化整為零、以直代曲、積零為整和無限逼近的數學思想過程。最后應用概念解決經濟學中的收益問題，如假設商品的價格P是銷售量x的函數P=P（x），計算當銷售量從a到b時的收益為多少？（設x為連續變量）。學生探索利用定積分的概念解決問題。鼓勵學生課后搜集更多關于定積分概念的其他案例，認真學習文化知識，學以致用，增加學生的社會責任感。

至此，我們已經會用定積分的概念來解決實際問題，那么再回到一開始提出的問題，如何計算窯洞拱形窗格的準確面積？由實際的測量數據可知，如圖5所示。

如果直接利用定義去計算，學生會遇到什么困難？這也正是下節課要講的知識點微積分的基本公式——牛頓-萊布尼茨公式。并指出概念是從客觀現象中抽象出來的，蘊涵著唯物辯證的哲學思想。體會積分思想中量變與質變的關系，學會處理非均勻分布總量的問題，培養學生的科學價值觀和鉆研精神，感受數學的妙用，激發學生在學習中思考數學的熱情。

三? 課程思政融入高等數學的實施方法

理工類課程開展課程思政是“育人”這一教育本質對課程的內在需求，是新時代中國語境下的“課程觀”，聚焦的是學生情感、態度、價值觀的變化成長。因此，本文根據理工類課程的特點，針對經管類學生的特性，從教學方法、教學內容、教學模式和教學情感等方面挖掘思政元素，探尋切入點，以高等數學定積分的概念為例，確立課程思政目標；設計教學過程，尋求“潤物無聲”的思政實施方法；對于不同專業不同課程，構建典型思政案例，依托教學研究活動，形成課程思政研討的和諧氛圍，將成功的思政案例進行推廣并實踐。

事實上，在理工類課程中，很多課堂中的細節也體現著思政。例如，在遇到難題時研討、質疑、辯論，數學推導的縝密，小心求證的謹慎等都是思政元素融入的契機。而且，在很多文獻中，教師都提及了思政素材的準備，包括歷史任務、文化傳承、歷史沿革、社會時事、行業現狀及前沿發展等，這些都是教師在教學準備中需要時常探索的思政素材。很多課程的思政案例文獻還明確指出了思政素材與教學內容之間的對應關系，并寫入教學大綱。思政素材準備可以讓思政隨時發生，而不僅僅是在課程或單元開始。

思政融入課程的關鍵在于恰到好處地把握融入的時機。事先準備好的思政教學設計，優點在于教師容易進行課堂把控，但不恰當設計往往使思政在教學中變得過于顯眼和生硬。因此，思政融入的另一條途徑是學生主動，即準備好素材，因課堂而變。教師可以在回答學生問題、解決學生困難或在學生提出質疑時巧妙的融入。例如，在本節內容中，學生會質疑為什么不用窄梯形的面積作近似代替呢？教師試問：用窄梯形代替后，無限細分的極限表達式如何表示？是不是更為復雜？這種以學生為主動的思政方式，看似帶有隨機性，但又有必然性，其優點在于讓思政變得順理成章、潤物無聲。

參考文獻：

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[8] 王燁，李雨生，卜長江.定積分定義中的兩個任意性[J].高等數學研究，2021，24（6）：9-11，25.

基金項目：陜西本科和高等繼續教育教學改革研究項目“推進產教融合，創新實踐教學——應用型統計分析與量化決策人才培養的探索與實踐”（21ZY013）；榆林市軟件工程技術研究中心建設項目 “糊聚類分析算法在榆林市政務、智慧監察大數據平臺構建的應用研究”（CXY-2020-007）；榆林學院2021年課程思政教學團隊示范項目“高等數學”（KCSZ04）

第一作者簡介：李曉焱（1984-），女，漢族，陜西榆林人，碩士，副教授。研究方向為幾何函數論。