基于數學建模核心素養下的高中數學課堂研究

張明剛

【摘要】數學模型作為高中數學六大核心素養之一，對于促進學生全面發展起著重要作用.而在當今的高中教學中，由于受到高考的壓力，學校和教師并沒有多余的時間和精力去進行數學建模活動，這就需要教師在教學活動中盡可能地滲透建模思想.文章結合高中教學的實際情況，提出了創設教學情境，引導學生感受建模過程及精選數學建模問題，幫助教師在教學中滲透數學建模素養.同時根據數學建模素養培養策略，對“橢圓的定義及其標準方程”這一章的教學進行了簡單的設計，為教師的教學提供了參考，以提高學生數學建模素養.

【關鍵詞】核心素養；數學建模；培養

一、背 景

數學建模作為高中數學學科中六大核心素養之一，其理論的提出體現了我國數學教育逐步從課堂理論講解逐步轉換到數學的應用性功能，自提出后受到了廣大教育工作者的重視，而隨著素質教育的不斷提升，其必要性與重要性也被教師與學生重新認識.同時我國對高中學生數學建模能力的建設也提出了新標準，要求每個學校要積極安排每個學生至少進行一次數學建模活動或比賽.

“數學建模”雖然受到廣大數學教育工作者的重視，但在如今的高中數學教學中并未取得理想的效果.其受多方面原因的影響，如高考的壓力、教師的認知程度等，學生很少有機會進行有效的數學建模學習，對于數學建模的意義也是一問三不知.但在日常解題的過程中，學生會經常接觸到數學模型構建方面的習題，這就給學生增加了解題的難度.因此，在日常教學中，教師應有意地滲透數學建模的相關知識，使學生在獲取知識的過程中，逐步接觸到數學建模思想，幫助學生進行數學模型的構建.

二、建模教學設計原則

（一）由淺入深

在高中之前，學生雖然在數學知識學習中會接觸一些建模知識，但數學建模水平并不高.而且高中階段教學內容與初中階段存在較大的差別，所以教師在教學過程中要充分考慮學生的認知水平，以促進學生建模水平的提升.因此，在教學設計中，教師應當根據實際的教學內容由簡單逐步向復雜過渡.而在實際的教學中，教師應首先安排簡單的模型內容，激發學生的興趣，在學生掌握基礎模型的基礎上再進一步探索較為困難的模型認知.其次教師通過循序漸進的教學方法，將建模教學融入日常課堂中，以幫助學生了解建模、認識建模、掌握建模，最后再利用建模思維解決實際問題，促進學生整個建模思維的提升.

（二）整體性原則

教學作為面向整個班級的集體活動，其目的是促進班級內認知水平的提升.所以在建模能力的教學中，教師應當充分考慮班級內學生的整體素質，并以此為基礎，進行教學設計.同時，在教學設計中，數學教學設計不能與其他學科進行割裂，而是要加強各學科之間的聯系，加強學生各學科知識的融合發展，促進學生以數學建模思維解決各學科問題的能力及建模能力的提高.

（三）理論與實際相結合原則

在數學建模教學中，理論與實際進行有效的融合對于教學而言同樣重要.在實際的課堂中，因為易受到時間、內容、空間等方面的限制，所以為保證實際教學的效果，教師將理論與實際進行融合教學.一方面，以理論為基礎，在課堂之上結合實際內容或生活中的情景進行講解，這一階段，可以幫助學生對于模型的構建產生更加清晰的認知；另一方面，在講解模型內容時，教師也不能脫離理論知識，應當將二者緊密聯系在一起，加深學生對理論的認知.

（四）多元評價原則

科學評價作為培養學生建模能力中的重要一環，也是教師們常常忽略的一環.在往常的教學中，教師的評價往往過于簡單，而且在評價中，批評占據了大多數，這對于學生無論是數學建模能力的培養還是后續的發展都有十分重要的影響.在實際的教學中，教師應當從多個緯度、多種方法進行多元性的評價，及時關注學生在每一個階段的學習狀態并評價，將其融于教學中的各個階段，并對結果進行總結、歸納與反饋，以保證學生能更好地獲得建模能力.

三、培養策略

（一）創設教學情境，引導學生感受建模過程

雖然大多數的高中數學教師都能夠清楚地認識到數學建模教學的重要性.但是，由建模教學活動具有開放、耗時長等特點，而高中數學教師都肩負著較重的教學任務，一般沒有精力去組織開展建模教學活動，這就導致進行數學建模活動次數少，參加人數也較少.因此，想要以開展建模活動來培養學生建模素養，提高學生解決問題能力的方法是無法進行的[3].這時，就需要教師進行以課堂數學為主，課外活動為輔的，教學與建模活動有機結合的教學方式.通過二者的互補，把數學建模思想融入課堂中，這樣就可以在不耽誤正常上課的基礎上把數學建模分解、化整為零的切入教學，逐步提高學生數學建模能力.

在教學中，一些有效的措施可以增強學生建模的興趣，加強學生對數學建模學習的力度，改進學習行為，幫助學生樹立現代數學建模觀念，使學生真正意識到數學建模的意義和價值.

如在講解“指數函數”時，教師就可以引用學生們耳熟能詳的國王與米粒的故事，為學生導入數學建模材料.在一副棋盤中，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3，4，5格依次放4，8，16粒……以此類推，直到擺滿為止.而后提出問題：大家有沒有發現其中的規律？如若放滿，需要多少粒米呢？有沒有模型可以反映其中之間的關系呢？通過問題的啟發，引導學生自主探索反應模型，幫助學生構建“指數函數”模型.

（二）精選數學建模問題，激發學生學習興趣

在數學課堂中問題是數學建模教與學的載體，數學建模的教與學都離不開對運用數學知識與方法解決現實問題的模仿和訓練；教師為數學建模課堂教學和學生課下作業選擬什么樣的數學建模問題，不僅影響數學建模教學效果，還在一定的程度上影響他們對建模的態度、興趣及學習動機[4].因此，教師在選擇數學建模問題時，應選擇學生比較熟悉的數學建模問題，便于被學生接受，更易激發學生的興奮點和探索熱情.同時，數學建模問題應當符合學生已具備知識水平，學生運用已具備的數學知識和方法解決實際問題，不僅可以鞏固已有知識，提高學生自豪感，還可以使學生覺得數學建模問題并不神秘，增加學生自信心.通過模型教學，學生可以不斷深化和拓展已掌握的知識，促進模型的構建，完善知識結構.

如函數模型，就是人們利用變量關系去了解客觀世界的重要工具.在整個高中的函數知識中，包含了三角函數、指數函數、對數函數等諸多問題，其基本概念、單調性、導數問題等均屬于掌握重點.此時教師就可以根據實際情況，在模型構建過程中合理設計各種問題，利用圖像或是解析式等模型，循序漸進探索函數的本質，幫助學生清楚理解各個函數所表達的意義.

（三）重視探究過程，強化數學建模

隨著教學改革的不斷深入，學生在課堂中主體性已成為一個明顯的標志.同時，在對學生建模能力的培養中，重要的不僅僅是最終的結果，探究的過程也同樣重要.因此，在實際的教學中，教師應當要從全面的“講授”模式，轉變為指導、引導模式.在建模教學中，教師應積極發揮引導作用，首先帶領學生在數學問題中發現問題、提出問題，其次引導學生作出假設、建立模型，從而進行求解、檢驗，最后再由學生進行總結歸納，實現學生自身對模型認知的提升.促進學生在探究的過程中，強化自身的數學建模意識，發展自身的數學建模能力.

在考試中常見的實際問題是解決類型題目，教師可以帶領學生思考其中的過程，培養學生的建模能力.如“一公司生產某一大型設備，一年需要成本500萬元，產量為x臺，另需成本c（x）萬元，當產量小于80時，c（x）=12×2+40x萬，當達到80時，c（x）=101x+8100x-2180萬，每一臺儀器售價100萬，那么：（1）求一年內利潤與產量之間的關系；（2）企業獲取利潤的最大值為？”針對這一實際問題，教師可以帶領學生分析過程，構建模型，以此培養學生的建模能力.首先，學生需要明確這一問題的考查目標，引導學生分析成本、產量、收益之間的關系，其次教師還需要引導學生根據題目中給定的關系構建相關的函數模型，最后由教師進行總結歸納.

（四）多媒體輔助數學建模

隨著教育行業的不斷“現代化”，如多媒體等多種信息技術已廣泛應用于日常教學中，并在實際的應用中取得了顯著的效果，受到了廣大師生的喜愛.雖然由于高中數學不同于其他學科，具有較強的邏輯性，使得一些教師在教學中不會使用多媒體這一其他學科常用的教學方法.但在實際的教學中，多媒體具有重要的意義，同時，多媒體技術能夠為學生提供更加直觀、清晰地構建各種數學模型，能夠使學生在動態變化中，積累模型構建經驗、形成良好的建模能力.同時，信息技術的存在能夠為學生的建模學習創設良好的學習環境及堅實的基礎.另外，多媒體技術的存在還能夠改變傳統數學課堂中枯燥的氛圍，給課堂帶來動畫、聲音、圖像等新元素，提高學生學習數學建模思維、解決教學問題的能力，循序漸進地提升自身的數學建模能力.

四、“橢圓的定義及其標準方程”教學中滲透數學建模思想教學設計

教學模式：自主探究—動手實踐—合作交流

教學內容分析：橢圓的定義及其標準方程的主要教學內容是利用分組教學、實踐操作、自主思考、合作交流的教學方式，歸納學習橢圓方程的推理、橢圓的定義，

知識目標：掌握橢圓基本定義及標準方程的推導過程.引導學生通過自己手動畫圖，歸納橢圓要素，并賦予對應的符號.

情感目標：通過嘗試數學模型推導橢圓標準方程，引導學生體會到構建數學模型的必要性，讓學生體會到利用數學模型來求解問題的便利性和準確性.

教學過程：

1.創設情境，引入課題

教師：同學們，大家有沒有注意到生活中有哪些常見的橢圓形事物？

學生：雞蛋、眼鏡片

教師：同學們說的都對，橢圓是我們日常生活中常見的一種圖形，大家看看以下場景是否接觸過？（演示課件：花瓣、橢圓桌、地球運行軌跡等），在學生觀看過程中書寫橢圓的定義及其標準方程這一課堂主題.

設計意圖：通過簡單的情境創設，使學生跟上課堂節奏，吸引學生進入本章主題，同時從課件上可以看出橢圓用在了很多領域，體現出對橢圓進行研究是很有必要的.

教師：有同學認為橢圓是沒有畫圓的圓，誰能說一下圓的定義？

學生：在同一平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓.（學生一邊回憶，教師一邊準備筆、兩顆釘子和一段繩子）

教師：請同學們以小組為單位，利用以上工具對比圓的畫法，探索如何畫出橢圓.

2.小組作圖，歸納定義

通過觀察，大部分學生都可以畫出橢圓.

老師：為什么大家畫的橢圓有的圓有的扁？對此圓的定義，橢圓可以怎么定義呢？

同學：我認為橢圓的定義可以歸納為：平面上到兩個定點的距離之和為常數的點的軌跡.

同學：大家畫的圓，有圓有扁是因為兩個定點的位置不同.兩個定點距離越近，橢圓越圓，兩個定點距離越遠，橢圓越扁.

教師：大家試著改變一下兩根釘子的位置，觀察一下圖像是否會發生變化.

教師：兩顆釘子是否可以隨便擺放？當兩顆釘子靠近時，所得到的圖像是什么？兩顆釘子不斷分開時，所得到的圖像又是什么？（學生根據教師的說法，開始畫圖）

學生：兩顆釘子靠近時，橢圓越來越像圓，繩子繃直時，只能畫出一根直線，再遠就無法畫出圖形.

教師分析作出線段和畫不出橢圓的原因，討論移動圖釘位置導致橢圓有圓有扁的情況.

教師：根據剛剛我們對橢圓的分析，那么同學們現在能告訴我什么是橢圓嗎？在畫橢圓的過程中，橢圓的形狀與哪些幾何要素有關？橢圓的標準方程又該如何推導呢？

（要求學生分組進行討論交流，而后進行回答.）

3.提煉要素，建立模型

經過學生小組、動手交流后，對于橢圓的定義已有了基本的掌握，接下來就需要教師從進行橢圓模型的構建，推到橢圓標準方程.

模型準備：隨機選擇一位學生在黑板上畫出一個橢圓.

假設模型：根據黑板上學生所畫圖象，將連接兩個圖釘之間的直線視為x軸，兩點之間的中垂線視為y軸，將橢圓“搬到”直角坐標系之中，如圖1所示，然后設兩個釘子之間的距離為2c，繩子的長度為2a，兩個釘子分別為F1，F2，則其坐標為（-c，0）和（c，0），同時橢圓上存在任意一點M，其坐標用（x，y）表示.

模型分析 模型分析在整個模型構建中是非常重要的一步，只有建立合適的坐標系，為幾何要素設置簡單的變量，最終才能夠推導出簡潔明了的方程.

模型檢驗：不能在模型構建好了以后就認為萬事大吉，檢驗也是非常重要的一步，可以對方程式的未知量進行賦值，而后作圖，來觀察圖像是否為橢圓，以此進行驗證.

應用模型：橢圓是后續學習圓錐曲線的基礎，而后續的雙曲線標準方程及其他曲線方程可以在圓錐標準曲線的基礎上進行推導，基本步驟也是類似，首先建立合適的直角坐標系，其次賦予變量符號，建立方程式并化簡，最后進行模型檢驗.

五、總 結

數學模型作為高中數學六大核心素養之一，可以幫助學生提高考試成績.但在當今的高中教學中，由于受到高考的壓力，學校和教師并沒有多余的時間和精力去進行數學建模活動，這就需要教師在教學活動中盡可能地滲透建模思想.本文結合高中數學教學的實際情況，提出了創設教學情境，引導學生感受建模過程及精選數學建模問題，來幫助教師在教學中滲透數學建模素養.同時根據數學建模素養培養策略，對橢圓的定義及其標準方程這一章的教學進行了簡單的設計，為教師的教學提供了參考，以提高學生數學建模素養.

【參考文獻】

[1]牛偉強.高中生數學建模能力發展研究[D].華東師范大學，2019.

[2]王義霞.高中生數學建模能力培養研究[J].數學教學通訊，2021（15）：34-35.

[3]林秀娟.高中數學建模素養提升的課堂實踐與思考[J].高考，2021（17）：19-20.

[4]姚榕添.著眼數學建模提升核心素養———基于核心素養理念下高中數學建模的策略研究[J].數學學習與研究，2021（13）：111-112.