對(duì)一道平面向量試題的解法的探究

劉池樓

【摘 ?要】??一題多解是數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中常用一種教學(xué)方式.其有利于拓寬學(xué)生的思維視野，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).教學(xué)中，教師應(yīng)立足例題的典型性，引導(dǎo)學(xué)生多維思考，開(kāi)闊學(xué)生的思路，促進(jìn)學(xué)生深刻理解與考題相關(guān)聯(lián)的不同知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而提升處理此類(lèi)問(wèn)題的解題能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 平面向量；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

由于平面向量具有“形”和“數(shù)”兩種形態(tài)^[1]，所以求解數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，可關(guān)注平面向量的幾何意義的應(yīng)用，獲取求解思路；亦可關(guān)注平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，獲取求解思路.請(qǐng)結(jié)合如下問(wèn)題的多解探究，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，以便迅速提升處理此類(lèi)問(wèn)題的解題能力^[2].

好題采擷如圖1，在凸四邊形中，為的中點(diǎn)，為△的重心，且滿(mǎn)足，，，求的值.

多解探究因?yàn)椋钥傻萌c(diǎn)共線(xiàn)，且為的中點(diǎn).

根據(jù)三角形重心的定義以及題意“為的中點(diǎn)，為的重心”可得三點(diǎn)共線(xiàn).從而，必有四點(diǎn)共線(xiàn)，且.

解法一 ?連接，則根據(jù)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)可得，且，所以.

因?yàn)闉榈闹匦模裕?/p>

所以可得

.

于是，可知.

又，

所以

.

因?yàn)椋云椒降茫?/p>

所以代值得，

即.

綜上，所求.

點(diǎn)評(píng) 該解法的切入點(diǎn)是選擇一組基底（向量），解題關(guān)鍵是將目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的運(yùn)算問(wèn)題，顯然對(duì)向量形式的化簡(jiǎn)、運(yùn)算要求較高.

解法二 ?如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)知點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)，則△的重心的坐標(biāo)為.

設(shè)點(diǎn)，則由，

得，

所以，

所以，所以點(diǎn).

于是，.

所以.

因?yàn)椋?/p>

所以由，

得，

即.

綜上，所求.

點(diǎn)評(píng) 該解法選取點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過(guò)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，有利于借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，順利求解目標(biāo)問(wèn)題.

解法三 ?根據(jù)題意，可建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則.

設(shè)點(diǎn)，則由，可得.

從而，，所以點(diǎn)，

所以，.

于是，由，

可得，即.

又，

故所求.

點(diǎn)評(píng)該解法選取點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過(guò)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，有利于優(yōu)化解法二的解題思路.一般地，建系方式不同，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方式不同，往往會(huì)影響解題過(guò)程的繁與簡(jiǎn).

結(jié)語(yǔ)

綜上，處理平面向量中的求值問(wèn)題，往往有兩個(gè)常用思路：一是向量形式的運(yùn)算求值，對(duì)解題技能要求較高^[3]；二是借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，達(dá)到化簡(jiǎn)求值之目的，實(shí)施方便一些^[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]呂松濤，曹廣福.高中向量教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（04）：19-24.

[2]張瑾.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2019.

[3]高琴.構(gòu)造向量 優(yōu)化思維[J].高考（綜合版），2014（02）：92-93.

[4]朱書(shū)莉.基于SOLO分類(lèi)理論對(duì)高中生向量學(xué)習(xí)的研究[D].重慶：西南大學(xué)，2020.