在計(jì)算教學(xué)中提高學(xué)生的推理能力

摘 要：推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。文章以“兩位數(shù)退位減法”一課為例，從大膽猜想，推理驗(yàn)證；利用直觀，啟發(fā)說理；適當(dāng)開展推理訓(xùn)練；培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣四個(gè)方面闡述了如何在計(jì)算教學(xué)中提高小學(xué)生的推理能力。

關(guān)鍵詞：計(jì)算教學(xué)；推理能力；退位減法

作者簡介：胡艷艷（1988—），女，浙江省杭州市臨平區(qū)天長世紀(jì)小學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面提出了“三會”的概念，其中之一就是“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”。數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式，而數(shù)學(xué)思維在小學(xué)階段主要體現(xiàn)在運(yùn)算能力、推理意識或者推理能力上。課標(biāo)還明確指出，讓學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力。由此可見，推理能力的發(fā)展在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中十分重要。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注意有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，幫助他們養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

數(shù)與代數(shù)是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域［1］，“兩位數(shù)退位減法”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)加法和兩位數(shù)不退位減法的筆算方法，明確了筆算的算理。但小學(xué)二年級學(xué)生還處在以具體形象思維為主的階段，且課堂專注時(shí)間不長，所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)利用多媒體課件化抽象為具體，進(jìn)行生動直觀的教學(xué)活動，以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。下面筆者將以“兩位數(shù)退位減法”一課為例，探討如何在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

一、大膽猜想，推理驗(yàn)證

波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》一書中提出，猜想是合情推理最普遍、最重要的思維方式，不完全歸納和類比都是得出猜想的途徑，是得出猜想的前提方法［2］。教師在日常教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)觀察，大膽猜想結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生推理驗(yàn)證結(jié)果的正確性。例如，在教學(xué)兩位數(shù)退位減法的知識時(shí)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試列式計(jì)算，課堂實(shí)錄如下。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不退位減法的筆算方法，大家能試著列出運(yùn)用退位減法計(jì)算“51-36”的豎式嗎？

生1： 生2：

師：我們一起來看一看這兩位同學(xué)列的豎式，大家有什么想說的？

生3：第二個(gè)同學(xué)算錯(cuò)了。

師：哪里錯(cuò)了？

生4：得數(shù)算錯(cuò)了。

師：是的，我們一起來看一下，51-36，個(gè)位上應(yīng)該是1減6，但是1減6不夠減，我們該怎么辦？

生5：向十位借1，個(gè)位上變成11減6。

師：是的，個(gè)位不夠減時(shí)，要向十位借1。我們借位時(shí)，怎么做標(biāo)記呢？

生6：在十位上寫個(gè)“-1”。

師：你的想法非常有創(chuàng)意，但是這樣容易跟我們之前學(xué)的“進(jìn)位1”混淆，而且“-”比較容易漏看。所以為了跟“進(jìn)位1”有所區(qū)分，我們可在十位上打個(gè)“借條”，就是在十位的數(shù)字上點(diǎn)一個(gè)小圓點(diǎn)，它的名字叫作退位點(diǎn)。十位上退下來的1，在個(gè)位就變成了10，加上原來個(gè)位上的1，現(xiàn)在個(gè)位就變成11了，11減6等于5（師一邊講解一邊課件演示小棒圖）。個(gè)位算好了，那十位呢？

生：十位被借走了1，現(xiàn)在還剩下4，4減3等于1。

學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)之前掌握的兩位數(shù)加法豎式和兩位數(shù)不退位減法豎式的格式，類比推理出退位減法該如何列式，再將兩位數(shù)減一位數(shù)的計(jì)算思路直接遷移到兩位數(shù)退位減法的筆算中，從而合情推理出“退位1”的觀點(diǎn)。在這樣的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生對舊知進(jìn)行回顧，對新知進(jìn)行大膽的猜想與推理，自主探究出了解決兩位數(shù)退位減法的方法，不僅推理能力得到發(fā)展，而且學(xué)好數(shù)學(xué)的信心也有所增強(qiáng)。

二、利用直觀，啟發(fā)說理

教材在“兩位數(shù)退位減法”一課中，設(shè)計(jì)了“2008年北京奧運(yùn)會金牌榜”的情境（如圖1）。從圖中的表格可知，美國代表團(tuán)獲得36枚金牌，英國代表團(tuán)獲得19枚金牌，學(xué)生需要算出美國比英國多多少枚金牌。這道例題為教學(xué)提供了實(shí)際情景，使低年級的學(xué)生能從具體情況出發(fā)解決問題，并讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)源于生活。

幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用。圖1左下的小棒圖直觀地呈現(xiàn)了運(yùn)算“36-19”的過程，能有效降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，幫助學(xué)生理解算理。中間框中的豎式將直觀的小棒圖抽象成了數(shù)字，能讓學(xué)生對照小棒圖，理清計(jì)算的思路，使學(xué)生在筆算時(shí)，清楚運(yùn)算順序。當(dāng)學(xué)生熟練掌握計(jì)算方法后，可以簡化寫成方框外的筆算形式。在考查學(xué)生是否真正明白“退位減法”豎式的計(jì)算原理時(shí)，教師可以請學(xué)生說一說筆算的算理。說理的過程，就是學(xué)生在腦中再進(jìn)行一遍計(jì)算推理的過程。

［例題1］? 50-24=

通過教材例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生能基本掌握兩位數(shù)退位減法的筆算方法。這時(shí)筆者出示例題1，引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)被減數(shù)個(gè)位是0時(shí)，該如何處理。學(xué)生思考后得出結(jié)論：從一般算式到特殊算式，兩位數(shù)退位減法的算理同樣適用。

［例題2］

在學(xué)生已經(jīng)能對照豎式說清楚算理后，筆者進(jìn)一步提高問題難度，出示一道有空格的豎式（例題2），讓學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有數(shù)位上的數(shù)字，運(yùn)用合情推理和演繹推理，推算方框里的數(shù)字。在解答這道題時(shí)，學(xué)生根據(jù)筆算的順序，從個(gè)位算起。個(gè)位上2-□=5，因?yàn)?比5小，學(xué)生推斷此式為退位運(yùn)算，故轉(zhuǎn)換個(gè)位式子為12-□=5，得到方框中應(yīng)填7；結(jié)合已有條件，再得到十位上的方框中應(yīng)該填6。這樣的變式練習(xí)，不僅能讓學(xué)生更加清楚兩位數(shù)退位減法的算理，而且能使他們更加關(guān)注“退位點(diǎn)”，了解它在計(jì)算中的重要性。

三、適當(dāng)開展推理訓(xùn)練

在一年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教材已經(jīng)逐步滲透推理的思想。如一年級下冊《找規(guī)律》中，要求學(xué)生根據(jù)圖形的排列規(guī)律，寫出下一個(gè)圖形或者一組圖形等。可見，推理是一種重要的數(shù)學(xué)思維方式。推理能力的形成和提高是一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程［3］。在兩位數(shù)退位減法的練習(xí)中，筆者適時(shí)適量開展了推理訓(xùn)練，以期提高學(xué)生的思維能力。課堂實(shí)錄如下。

［例題3］找規(guī)律，填數(shù)。

（1）29 38 47? ? 65? ? 83

（2）42? ? 28? ? ? ?7 0

師：這兩道題目同學(xué)們能做出來嗎？動腦筋思考一下它們各有什么規(guī)律，然后填一填。

生1：因?yàn)?8-29=9，47-38=9，說明每個(gè)數(shù)都比其前一個(gè)數(shù)大9，那么47后面就應(yīng)該是47+9=56，65后面是65+9=74，而74+9=83，說明填對了。

生2：第二組我們要先看最后面兩個(gè)數(shù)，7-0=7，說明每個(gè)數(shù)要比前一個(gè)數(shù)字少7，42-7=35，35-7=28，28-7=21，21-7=14，14-7=7。這樣就都對上了。

一年級時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸了20以內(nèi)數(shù)的找規(guī)律，因此筆者編排了兩道題目，第一道涉及進(jìn)位加法，第二道涉及退位減法，逐層遞加難度，但解題思路是一樣的。在找規(guī)律類型題中，學(xué)生可以通過自己的計(jì)算結(jié)果，反過來檢查自己的推理是否正確。

［例題4］如下圖（略），各題差的十位上是幾？

教材在練習(xí)三中編排了一道“求各題得數(shù)的十位上是幾”的題目，意在使學(xué)生根據(jù)個(gè)位上的數(shù)字，迅速地做出是否需要退位的判斷，繼而推理出十位上的數(shù)字。同時(shí)，學(xué)生體會到可以通過觀察算式的特點(diǎn)，利用掌握的算理知識，提高計(jì)算速度。

［例題5］將豎式補(bǔ)充完整。

筆者參考教材中“做一做”的練習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)了拓展練習(xí)題，意在使學(xué)生能及時(shí)鞏固新知，掌握筆算的技巧。同時(shí)滲透驗(yàn)算的思想方法，在學(xué)生做完題目后，引導(dǎo)他們通過“減數(shù)+差=被減數(shù)”的公式，來檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確。

［例題6］在“□”里填上合適的數(shù)。

接著，筆者設(shè)計(jì)了提升題。課堂實(shí)錄如下。

師：請?jiān)诳崭裰刑钌虾线m的數(shù)，并說一說你這樣填的理由。

生解式1：2減8不夠減，向十位借1當(dāng)10，12-8等于4，故個(gè)位上的方框填4；十位上2+3=5，還要加上被借走的1，故填6。

生解式2：7-□=6，空格里填1，這里沒有發(fā)生退位情況，所以2+3=5，十位上的空格填5。

生解式3：4-□=8，這里肯定不是4，應(yīng)該是

14，14-6=8，所以個(gè)位的空格填6；十位上7+1=8，8再加1等于9，空格里填9。

生解式4：這道題有多種答案，可以是75-31= 44，也可以是82-38=44。

師：還有別的答案嗎？

生1：78-34=44。

生2：80-36=44。

師：你們發(fā)現(xiàn)沒有？有些同學(xué)在做這題時(shí)，算式發(fā)生了退位，有些同學(xué)沒有考慮退位。所以，遇到這類題我們可以分兩種情況來討論，第一種情況是個(gè)位夠減，沒有發(fā)生退位；第二種情況是個(gè)位不夠減，發(fā)生了退位。誰能有序地將所有情況都寫出來？

生3：沒有發(fā)生退位的情況有74-30=44，75-31=44，76-32=44，77-33=44，78-34=44，79-35=44；如果發(fā)生退位，則有80-36=44，81-37=44， 82-38=44，83-39=44。

這組提升練習(xí)題意在讓學(xué)生通過適當(dāng)?shù)耐评恚`活運(yùn)用算理，尋找答案。最后一小題是一道開放式的練習(xí)題，可以是退位減法，也可以是不退位減法，有多種可能性。筆者引導(dǎo)學(xué)生有序思考，盡可能地把所有情況寫出來。由于低年級學(xué)生的推理能力存在差異性［4］，通過一系列的分層練習(xí)，不同的學(xué)生都可以在推理能力方面得到良好的發(fā)展。

四、培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣

在第一學(xué)段中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、動手操作能力和提出簡單猜想的能力［5］。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)注意將數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活相聯(lián)系，將數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生根據(jù)“看”的結(jié)果，經(jīng)歷操作的過程，提出一些簡單的猜想。

發(fā)展小學(xué)生的推理能力，就要提高學(xué)生有理有據(jù)地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。對于推理能力，我們要求的不僅是內(nèi)在的、隱性的思維過程，也要求將內(nèi)隱的思維過程轉(zhuǎn)化為外在的、顯性的推理表達(dá)過程與結(jié)果［6］。

例如，在教學(xué)兩位數(shù)退位減法時(shí)，教師要注意用規(guī)范的、簡潔的語言進(jìn)行算理的表述。筆者在講授教材例題的豎式時(shí)，先自己示范說理，然后讓學(xué)生同桌兩人互相說一說，再請個(gè)別學(xué)生站起來說一說，一定要在理解的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生說，這樣才能使其更好地內(nèi)化知識。在進(jìn)行之后的課堂練習(xí)時(shí)，教師也要提醒學(xué)生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行說理。在說的過程中，學(xué)生能鞏固算理，教師也能了解學(xué)生的思維過程，從而及時(shí)地、科學(xué)地調(diào)整教學(xué)。

結(jié)語

綜上所述，在教學(xué)“兩位數(shù)退位減法”時(shí)，不論是大膽猜想，推理驗(yàn)證；還是利用直觀，啟發(fā)說理；又或是適當(dāng)?shù)亻_展推理訓(xùn)練等，都是為了有效地創(chuàng)建學(xué)生推理能力發(fā)展的空間。學(xué)生的推理能力并不是一日形成的，需要教師在長期的教學(xué)過程中潛移默化地培養(yǎng)。教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)努力營造和構(gòu)建有利于學(xué)生推理能力發(fā)展的教學(xué)環(huán)境，從而幫助學(xué)生形成理性精神［7］。

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