高中數學教材中的跨學科內容研究及教學啟示

呂世虎 趙澤國

摘要：數學教育要關注跨學科教學。從學科來源、設置目的、呈現位置、呈現方式、內容主線五個方面 ，分析人教 A版與湘教版高中數學教材必修部分的跨學科內容 ，獲得如下教學啟示 ：深入挖掘教材中的跨學科內容 ，加強不同學科教師之間的交流合作 ;利用跨學科內容創設教學情境 ，加強學生對數學知識的理解 ;開展跨學科教研活動 ，提升教師的跨學科教學素養。

關鍵詞 ：高中數學 ;教材研究 ;跨學科內容 ;跨學科教學

一、研究緣起

隨著課程改革的不斷深化 ，學科知識綜合性不斷增強 ，跨學科內容成為培養學生核心素養的重要載體。2019年 6月，國務院辦公廳發布《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》，明確提出了加強學科聯系的跨學科綜合性教學的要求。數學是具有廣泛應用性特點的學科 ，與其他學科的聯系十分緊密。《普通高中數學課程標準 （2017年版2020年修訂 ）》（以下簡稱 “課標 ”）在“課程理念 ”中指出 ，要 “強調數學與生活以及其他學科的聯系 ”[1]。首屆國際數學教材研究和發展會議的一個主題就是 ：其他學科內容在數學教材中與數學內容在其他學科教材中的相互滲透。[2]這些都傳遞了一個信息 ：數學教育要關注跨學科教學。

跨學科教學是指打破獨立的學科課程邊界，建立學科與學科、學科與生活之間的聯系，讓學生深入學科本質 ，并在各學科領域之間建立聯系 ，生成辯證意識、創新思維和實踐能力的教學。[3]數學跨學科教學能引導學生使用數學知識解決其他學科的問題 ，還能利用其他學科的知識、方法、思維促進數學知識的理解 ，拓展數學解題的思路。[4]

數學教材是教師教學與學生學習的重要范本 ，其中的跨學科內容是落實數學跨學科教學的重要資源。國內已有學者對數學教材中的跨學科內容進行了相關研究 ，概括起來主要有兩個方面。一是對同一版本數學教材中跨學科內容的分析研究。例如 ，潘小勤、張維忠從學科來源、呈現位置、使用目的、呈現方式四個方面分析了新人教 A版高中數學必修教材中的跨學科內容 [5]，宋燕伶、彭剛從學科來源、呈現位置、使用目的、呈現方式、知識領域五個方面分析了新舊北師大版高中數學教材中跨學科內容的異同 [6]。二是對不同版本數學教材中跨學科內容的比較研究。例如，朱樹金從學科來源、呈現位置、設置目的三個方面分析了中國和美國高中數學教材有關“指數函數與對數函數 ”等的跨學科內容的差異 [7]，尚念從學科來源、呈現位置、使用目的、呈現方式四個方面對我國人教版、滬教版和美國加州版初中數學教材中 “數與代數 ”領域的跨學科內容進行了研究 [8]。以上學者的研究成果為教材編寫提供了參考 ，也為教材中跨學科內容的研究提供了分析框架。但是，目前還未見到對課標下不同版本高中數學教材中跨學科內容的分析研究。

對課標下不同版本高中數學教材中跨學科內容的分析研究 ，一方面 ，有助于教師了解課標下不同版本教材中跨學科內容的異同 ;另一方面 ，有助于教師對跨學科內容的解讀和教學。在此背景下 ，我們選取基于課標編寫的人教 A版與湘教版兩版高中數學教材 （均為 2019年出版 2022年修訂的 ）必修部分的跨學科內容作為研究對象 ，展開了分析研究。

二、研究框架

基于已有文獻建立的數學教材中跨學科內容研究框架 ，結合兩版教材的編寫特點 ，從學科來源、設置目的、呈現位置、呈現方式、內容主線五個方面對人教 A版與湘教版高中數學教材必修部分的跨學科內容進行分析。

學科來源根據《中華人民共和國學科分類與代碼國家標準 （GB/T13745—2009）》，分為自然科學 （物理學、化學、生物學、地球科學等）、人文與社會科學 （經濟學、歷史學、語言學、體育科學等）、農業科學 （農學、林學、水產學等）、醫藥科學 （基礎醫學、藥學等）、工程與技術科學 （電子通信、材料工程、土木建筑工程等 ）五類。

設置目的根據兩版教材中跨學科內容的編寫特點 ，分為引入新知 （以其他學科類知識為背景 ，引入數學性質、定理、公式等）、鞏固應用 （以其他學科類知識為問題情境或工具 ，對數學知識進行鞏固和應用）、解釋拓展 （以其他學科類知識為補充性材料 ，對數學知識進行進一步的解釋與拓展 ）三類。

呈現位置根據兩版教材中跨學科內容出現的地方 ，分為非正文 （章前言、章頭圖、旁白等）、正文 （教材中呈現數學概念、關系、性質等內容的文字）、例題 （教材中標記為例題且有解答的內容）、習題 （教材中標記為練習題、習題、復習題的內容）、拓展內容 （教材中以獨立的形式出現的內容 ，如“數學文化 ”多“知道一點 ”等）五類。

呈現方式根據兩版教材中跨學科內容呈現的特征 ，分為文字、圖表、文字加圖表三類。

內容主線根據課標的課程結構 ，分為預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動五類。

為了使統計的數據更具客觀性 ，需要較好地區分上述框架中的各個類別 ，所以 ，通過舉例對如何進行數據統計加以說明。以湘教版高中數學必修第一冊 “函數 ”章節的一道習題為例 ：

某農場種植西紅柿 ，由歷年市場行情可知，從2月1日起的 300天內 ，西紅柿市場售價與上市時間的關系可用一條折線圖 （如圖1）表示 ，試寫出市場售價與上市時間的函數解析式 p=t）。

從學科來源看 ，本題是一個以種植業為情境的數學問題 ，需要運用數學知識解決與經濟相關的問題 ，因此分別給對應的農業科學類、人文與社會科學類計數 1次;從設置目的看 ，本題通過創設以其他學科類知識為情境的問題 ，讓學生鞏固應用所學的知識 ，故在 “鞏固應用 ”上計數 1次;從呈現位置看 ，本題位于教材的習題部分 ，故在 “習題 ”上計數 1次;從呈現方式看 ，本題是以文字加圖表的形式呈現的 ，故給文字加圖表類計數 1次;從內容主線看 ，本題考查的數學知識屬于 “函數 ”主線 ，故在 “函數 ”上計數 1次。

三、研究結果

根據研究框架對人教 A版與湘教版高中數學教材必修部分的跨學科內容進行編碼統計后發現 ，人教 A版教材的必修部分有 526頁，共出現 283處跨學科內容 ;湘教版教材的必修部分有 529頁，共出現 273處跨學科內容。這表明兩版教材中的跨學科內容在設置密度上比較接近。此外 ，兩版教材中的跨學科內容有大量的重疊。如平面向量部分 ，兩版教材都以物理學科內容為背景展開。具體分析如下 ：

（一）學科來源分析

兩版教材中跨學科內容的學科來源分布統計如表 1所示。

進一步統計可知 ，人教 A版教材必修部分的 283處跨學科內容中 ，學科來源涉及一個學科類別的有 259處，涉及兩個學科類別的有 22處，涉及三個學科類別的有 2處，所以，學科來源數量總計 309;湘教版教材必修部分的 273處跨學科內容中 ，學科來源涉及一個學科類別的有 254處，涉及兩個學科類別的有 17處，涉及三個學科類別的有 2處，所以 ，學科來源數量總計 294。

這表明 ：兩版教材中的跨學科內容都以涉及一個學科類別為主 ，很少涉及三個及以上學科類別 ;兩版教材中的跨學科內容都涉及五大學科類別 ，但都主要集中在自然科學、人文與社會科學兩大類別 ，二者的占比均在 30%以上。原因在于 ：一方面 ，數學學科是自然科學的基礎 ，與物理、化學、生物學等學科的聯系十分緊密 ;另一方面 ，數學廣泛滲透于人們的日常生活中。

（二）設置目的分析

兩版教材中跨學科內容的設置目的分布統計如下頁表 2所示。

可以看到 ，兩版教材中跨學科內容的設置目的都以鞏固應用為主 ，這表明兩版教材都注重通過其他學科知識的融入 ，促進數學知識的鞏固與應用 ，體現數學的應用價值與科學價值 ;兩版教材中以引入新知為目的設置的跨學科內容的占比基本適當 ，這表明兩版教材都注意運用跨學科知識作為背景去引入新知 ，提高學生學習數學的興趣 ，加深學生對所學數學知識的理解 ;以解釋拓展為目的設置的跨學科內容在人教 A版教材中的占比高于在湘教版教材中的占比 ，這表明人教 A版教材更注重利用跨學科知識解釋與拓展數學知識。

（三）呈現位置分析

兩版教材中跨學科內容的呈現位置分布統計如表 3所示。

可以看到 ，兩版教材都注重將跨學科內容呈現在習題部分 ，通過解決以其他學科類知識為情境的習題 ，加深學生對數學知識的理解與應用 ，體現數學的應用價值 ;跨學科內容在非正文位置的占比人教 A版教材高于湘教版教材 ，在正文位置的占比湘教版教材高于人教 A版教材 ，在例題與拓展內容位置的占比兩版教材相差不大。

（四）呈現方式分析

兩版教材中跨學科內容的呈現方式分布統計如表 4所示。

可以看到 ，兩版教材都主要以文字和文字加圖表的方式呈現跨學科內容 ，很少單獨以圖表的方式呈現跨學科內容 ;以文字方式呈現的跨學科內容在人教 A版教材中的占比高于在湘教版教材中的占比 ，以文字加圖表方式呈現的跨學科內容在湘教版教材中的占比高于在人教 A版教材中的占比。通過具體內容可以看出湘教版教材在知識背景的處理上更加生動靈活 ，更有意于緩解學生學習抽象數學知識時的枯燥感 ，例如關于碳 14的衰變、里氏震級表和對數的縮寫 ，都配有插圖輔助理解。

（五）內容主線分析

兩版教材中跨學科內容的內容主線分布統計如表 5所示。

可以看到 ，兩版教材中的跨學科內容均重點分布在函數、概率與統計兩大主線上。原因在于 ：函數內容較為抽象 ，需要其他學科類知識來引入或者運用其他學科類知識創設情境來輔助理解。更為重要的是 ，函數作為一種模型 ，在解決實際問題中有廣泛的應用 ;概率與統計內容與實際生活的聯系比較緊密 ，課程要求學生運用數學知識解決社會生活中的問題。其中 ，跨學科內容在函數主線上的占比人教 A版教材高于湘教版教材。這是由于在函數概念的引入上 ，人教 A版教材注重以現實問題為背景 ，而湘教版教材注重以已有知識為背景。例如 ，在 “函數的概念與表示 ”一節中 ，人教 A版教材利用四個現實問題引入 ，而湘教版教材利用初中學過的概念引入。跨學科內容在概率與統計主線上的占比湘教版教材高于人教 A版教材。這是由于在概率與統計主線上 ，湘教版教材相較于人教 A版教材 ，習題跨學科背景的設置更豐富。例如 ，在“隨機事件的獨立性 ”一節中 ，兩版教材習題數目是一致的 ，但湘教版教材設置了以三個學科類別知識為背景的題目 ，人教 A版教材全以純數學背景設置題目。在其他三個主線上 ，兩版教材中跨學科內容的占比差別不大。

四、教學啟示

研讀教材是活用教材的前提。上述關于兩版高中數學教材中跨學科內容的分析 ，對高中數學的跨學科教學有如下啟示 ：

（一）深入挖掘教材中的跨學科內容 ，加強不同學科教師之間的交流合作

兩版教材中跨學科內容在各個位置 （部分）均有分布且主要集中在習題位置上 ，因而，大多數跨學科內容只是以其他學科類知識作為一種問題情境與數學知識整合在一起，數學與其他學科內容的融合深度不夠。因此 ，為了更好地實施跨學科教學 ，教師需要對教材中的跨學科內容進行深入挖掘。例如，湘教版高中數學必修第二冊第六章《數學建模》，涉及生物學中的仿生知識、物理學中的萬有引力定律以及社會學中的人口增長模型等其他學科類知識 ，旨在讓學生體會建立數學模型解決實際問題的過程。教師在設計有關的教學活動時 ，要深入挖掘這些跨學科知識 ，用其創設數學建模活動情境。比如 ，教師可以對物理學中萬有引力定律的發現過程進行深入挖掘 ，找出與數學知識聯系緊密的關鍵點 ，以此為背景設計跨學科主題教學活動。此外 ，兩版教材中的跨學科內容均涉及多個不同類別的學科 ，數學教師對這些學科內容未必都熟悉 ，甚至會有理解方面的困難 ，所以在教學中 ，要與相應學科的教師交流合作，特別是對數學教材中涉及的自己不熟悉的其他學科類知識 ，應與相應學科的教師開展研討。這有助于打破學科之間的壁壘 ，促進學科之間的融合 ，優化教學活動的設計與實施 ，更好地引導學生開展跨學科內容的學習。

（二）利用跨學科內容創設教學情境 ，加強學生對數學知識的理解

兩版教材中跨學科內容不僅在各個內容主線上均有較多分布 ，而且有多種表現形式。因此 ，教師在設計教學活動時 ，可以適當利用跨學科內容創設情境 ，加深學生對數學知識的理解。例如 ，湘教版高中數學教材 “指數函數”的有關章節 ，涉及生物學中的細胞分裂、物理學中的鈾裂變等其他學科內容。教師在教學中 ，可以提問學生 “是否知道細胞分裂的過程 ”來引入 ，進而讓學生觀察細胞分裂的動態演示 ，體驗細胞分裂是一個增長的過程 ，最后讓學生探索每一次分裂時細胞數量的變化規律。利用上述生物學知識創設教學情境 ，有利于學生后續歸納指數函數模型的特征 ，也有助于加深學生對數學知識的理解。再如，教學 “平面向量及其應用 ”時，教師可以通過學生已經學過的力、位移、速度等物理學知識創設情境 ，利用物理學中比較具體的案例說明數學中較為抽象的知識 ，從而加深學生對向量知識的理解。

（三）開展跨學科教研活動 ，提升教師的跨學科教學素養

跨學科教學可以打破學科的樊籬 ，以整合的形式重新建構課程概念 ;能夠為教師提供創新的契機 ，激發學生的學習興趣。[9]而分析發現 ，跨學科內容是數學教材的一大特色，通過與其他學科類知識的交融 ，一方面有助于打破分科教學的模式 ，另一方面可以很好地體現數學的應用價值與科學價值。此外 ，兩版教材中跨學科內容設置目的多樣且以鞏固應用為主。教師作為教學的引導者，自身對教材中跨學科內容設置的理解至關重要 ，是落實跨學科教學的重要影響因素。因此 ，教師要通過開展跨學科的教研活動，增強自身的跨學科教學素養。例如 ，教師之間可以建立跨學科教學備課組 ，對不同學科之間具有緊密聯系的教學內容進行集體備課與探討 ，促進不同學科知識的互補 ，弄懂不同學科之間相互聯系的關鍵點 ，在此基礎上開發出優秀的跨學科教學方案并付諸實施 ;教師也應參與其他學科的聽課評課活動 ，吸取經驗 ，借鑒教法 ，探討跨學科教學的路徑 ，提升自身的跨學科教學能力 ;教師還可在學校開展跨學科教學案例的分享 ，聽取意見 ，優化數學跨學科教學的設計與實施。

參考文獻 ：

[1]中華人民共和國教育部 .普通高中數學課程標準 （2017年版 2020年修訂 ）[S].北京 ：人民教育出版社 ，2020：2.

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[3]安留敏 .高中跨學科教學研究述評 [J].教育研究與評論 ，2022（11）：77 82.

[4]劉祖希 .關于數學跨學科內容與教學的已有研究 ———兼及 2022年全國高考數學試卷跨學科試題分析 [J].教育研究與評論 （中學教育教學 ），2022（12）：5 11.

[5]潘小勤 ，張維忠 .高中數學教材中跨學科內容的呈現 ———以新人教 A版高中數學必修教材為例 [J].中學數學教學參考 ，2020（13）： 31 34.

[6]宋燕伶 ，彭剛 .北師大版高中數學教材跨學科內容研究 [J].中學數學雜志 ，2022（1）：6 10.

[7]朱樹金 .中美高中數學教材跨學科內容比較研究 [J].中學數學月刊 ，2020（8）： 47 50.

[8]尚念 .中美初中數學教材跨學科內容的比較研究 ———以“數與代數 ”部分為例 [D].上海：華東師范大學 ，2017：23.

[9]姚喬君 .跨學科教學 ：從知識契合到學科整合 [J].教育研究與評論 （中學教育教學 ）， 2020（12）：26 29.