立足一般觀念，關注研究思路

朱王喬 劉鐿

摘 要： 立足于引導學生感悟并嘗試自主構建研究數學對象的一般觀念和研究思路.以“根式”第一課時的教學為例，一方面融入了對研究根式這一內容本身知識維度和方法脈絡逐步生成的過程；另一方面，也展現了基于從特殊到一般視角研究數學對象時研究路徑逐步形成的過程.之后分別闡述了對怎樣在教學中引導學生自主構建知識維度、方法脈絡、研究路徑以及怎樣圍繞以上三方面以學定教的思考.

關鍵詞： 根式;一般觀念;研究思路;教學案例

1 引言

新高考改革以后，高考選拔人才的方式已經逐漸從“考知識”轉變為“考能力”和“考素養”［1］，同時《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中也強調了“四基”“四能”以及“三會”［2］.這些都對數學學科的課堂教學提出了新要求：課堂教學不能是純粹的概念、定理、公式和法則的堆砌，教師應當立足一般觀念，關注研究思路，不僅要讓學生做到“知其然”和“知其所以然”，還要讓學生領悟到“何以知其所以然”.

一般觀念指關于一般性事物的觀念.章建躍博士認為在數學教學中也存在“一般觀念”，數學教學中的一般觀念是對數學內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是數學教學應當遵循數學教材的體系結構［3］.在“一般觀念”的要求下，教師需要引導學生用“聯系”的觀點來看待數學知識，從而幫助學生理解知識點之間的關系，并逐步搭建知識框架，構建知識體系.在中學數學的課堂中，對同一類數學對象的研究都是按照一定的“套路”來進行的，以研究思路貫穿教學實際上是讓學生經歷一遍完整的數學研究過程，從而對同類數學對象能產生共性的認識.

因此，如何立足于“一般觀念”，關注研究思路進行數學教學，教師可以圍繞知識維度、方法脈絡以及研究路徑三方面合理設計教學內容，現以“根式”一節課為例.

2 設計思路解析

本課時選自蘇教版必修一4.1.1根式，主要內容包括n次方根的定義和性質以及對指數冪與根式之間轉化關系的初步體驗.

從知識維度來看，本節課首先將方根的次數由二次、三次推廣至任意非負整數次，這實際上是對六則運算進行了一次初步完善.在此之后，利用特殊實例的變形，通過歸納，最終得到指數冪與根式之間的轉化關系，這種轉化關系其實也是對指數冪運算法則的一種完善.

從方法脈絡來看，本節課以“從特殊到一般”的思想方法貫穿始終.無論是舉出實例研究n次根式的定義和性質，還是在探究分數指數冪與根式之間的互化時，首先考慮m是n的倍數的情況，都是從特殊情形中歸納出一般的結論.除此以外，在進行性質研究時，教材首先帶領學生回顧了二次根式和三次根式的相關內容，接著通過一道課本例題舉出具體實例，最后歸納出n次根式的性質，此過程也體現出數學研究中的一般方法脈絡：從類比到舉例到猜想最后再驗證.

從研究路徑來看，教材中的編排設計是首先得到了n次方根的定義，接著規定了n次方根的表示形式，最后研究n次方根的性質，體現了數學概念學習由定義到表示到性質的一般結構.同時，本節課通過引入n次根式，研究得到了分數指數冪與根式之間的互化關系，實際上是完成了一個代數對象推廣的過程，即以運算為統領，通過引入新的符號定義數，再通過運算性質把新數和原有的數聯系起來，使得原有代數體系的內涵得到拓展.

從學生的學情來看，學生在初中階段已經學習了二次根式、整數指數冪等數學基礎知識，掌握了開平方、開立方等數學基本技能，積累了將指數冪從自然數擴充到整數的基本活動經驗，為本課時的學習奠定了基礎.但是在此之前的學習中，學生們的關注點往往在于如何運用法則進行具體運算，而忽略了對原理的理解，導致學生很難搭建出n次方根和指數冪推廣的整體架構，使得學生在課堂上對每個環節的邏輯順序產生困惑，從而單純地跟著老師走，容易被動學習.

根據上述分析，本節課制定的教學目標如下：理解n次方根的定義，了解將根式推廣至任意非負整數次的必要性；探索并掌握n次方根的性質，感受從特殊到一般的研究路徑，發展數學抽象核心素養；掌握分數指數冪與根式之間的互化，了解如此互化的合理性，感悟數學定義的完備性.本節課的教學重點為n次方根的定義、性質以及分數指數冪的定義，設置的教學難點為n次方根性質的探索以及分數指數冪與根式之間的互化.

因此，本節課的設計思路為：讓學生在學會n次方根定義的同時，關注到n次方根定義的由來，感受新知識的合理性以及數學的完備性；在研究n次方根性質的同時，合理運用數學方法，經歷完整的數學研究的過程；在探究分數指數冪與根式相互轉化的同時，感受代數對象推廣的研究路徑.

3 教學過程解析

引入： ?回顧曾學過的運算及其聯系.

問題1： ?在此之前，我們已經學過哪些運算了？

追問1 1： ?這些運算之間有怎樣的聯系？

追問1 2： ?你能舉例說明乘方和開方互為逆運算嗎？

追問1 3： ?將指數改為4、5或者是其他大于3的整數時，你還能得出類似的結論嗎，為什么？

設計分析： ?本節標題為指數，第一課時的內容為根式，本段教學需要起到承前啟后的作用，向前承接初中學過的平方根與立方根以及冪的運算，向后為將整數指數冪推廣到分數指數冪、實數范圍內冪的運算以及對數和指數運算作鋪墊.因此，在引入中設計了對初中運算類型的回顧，通過乘方與開方之間的關系回顧平方根與立方根，從概念的來源上幫助學生理解了指數與根式之間的關系.在回答追問1 3時，學生不難得到關于x4＝a和x5＝a的類似結論，并借助平方根和立方根做出類比說理，進而意識到為了進一步研究指數，需要把已有的開平方和開立方運算推廣到一般情況，體會到n次方根的存在性以及學習的必要性.如此設計引入，學生能夠非常深刻地感悟到：整個數學的運算系統相對來說是比較完善的，六種運算之間存在一個很好的“對應”關系.這實際上是將“數學定義的完備性以及合理性”這一極其抽象的一般理念和學生較為熟悉的“運算”聯系在了一起，便于學生感悟的同時也為后續將整數指數冪的運算法則推廣至分數指數冪打好了一個樣本.

活動1： ?探究n次方根的定義.

問題2： ?你能仿照二次方根和三次方根的定義，說說n次方根的定義嗎？

追問2 1： ?你能舉例說明嗎？

追問2 2： ?給定一個實數a，它有幾個n次方根？如何研究這個問題？

設計分析： ?在本活動中，教師引導學生根據“引入”環節對平方根與立方根的定義和對 xn＝a的認識歸納出一般意義上n次方根的定義，后立刻通過追問2 1讓學生舉出具體的例子來加深對此抽象概念的理解，并對定義中關于a做出限定的合理性有所認識.之后，利用追問2 2引導學生回顧實數a的平方根和立方根的個數，進一步提出：“a的n次方根會有幾個呢？”、“n次方根的個數與哪些因素相關呢？”，在對這兩個問題思考的過程中，引導學生關注到需要對n的奇偶和a的正負進行二維分類，也為活動2中學生分類檢驗n次方根的性質埋下伏筆.最后，讓學生根據四種分類分別舉出實例進行驗證并說理，合理運用數學方法并經歷整個分析、類比、提出猜想、驗證猜想、解釋結論的研究過程.

學生活動： ?學生通過二次方根和三次方根的定義類比得出n次方根的定義：如果xn=a（n＞1，n∈ N ），那么稱x為a的n次方根.學生認識到對n次方根個數的討論可以類比平方根和立方根，進而提出猜想并逐步得到結論.

活動2： ?探究n次方根的性質.

問題3： ?在此之前我們已經研究了n次根式的表示，接下來該研究什么內容？

追問3 1： ?可以從哪些角度研究n次方根的性質？分別如何研究？

追問3 2： ?針對 n an ?，你是如何思考的？

追問3 3： ?你能解釋n次根式的兩條性質嗎？

設計分析： ?活動2與活動1的研究方法基本一致，在學習完概念的定義及表示后直接提問學生接下來該研究什么內容，再開啟后文對性質研究.接著，教師引導學生延續前一活動的研究思路，繼續類比二次根式的性質，提出對n次方根性質的研究計劃.追問3 1的設計不僅能夠讓學生感受到數學學習從概念到表示到性質的研究路徑，還能讓學生在教師的引導下經歷完整的從類比到舉例到猜想再到驗證和說理的研究脈絡，體會數學研究的一般方法.同時，由于在活動1中學生已經經歷過了分類討論的過程，因此，在研究追問3 2時學生也不難想到需要對n和a進行分類討論.通過追問3 3，要求學生學會用較為通俗的語言去描述這兩條性質，用于從說理的角度引導學生進一步內化理解兩條性質.

學生活動： ?學生得出接下來需要研究n次方根的性質，基于活動1的經驗和平方根以及立方根的性質提出研究角度和相應研究計劃.學生提出對兩條性質的猜想，并完成對n的奇偶和a的正負的討論.最后，從定義和舉例兩個角度解釋所得性質.

活動3： ?探究分數指數冪與根式之間的互化.

問題4： ?關于 n am ，你是如何思考的？

追問4 1： ?你能自己設計研究方案對 n am 進行研究嗎？

追問4 2： ?如此定義a m n 合理嗎？

設計分析： ?本活動承接對活動2的研究，也與后續教學相銜接.本活動從n次方根 n an 的形式入手，引導學生觀察出這條性質實際上是 n am 當中的指數和根指數相同時的情況，進而激發學生思考當指數和根指數不相同時的情況.對于活動3，教師可以引導學生回顧之前幾個活動的方法脈絡，引導學生想到可以先選取特殊值代入分析，進而發現可以分為m是n的倍數和m不是n的倍數兩種情況分別研究，并構建相應的研究計劃，感悟分數指數冪和根式之間的轉化關系，為后續課程中將整數指數冪推廣到分數指數冪做好鋪墊.

最后設計的追問4 2對學生來講是一次認知上的沖擊.因為在此前的學習中學生很少涉及到對定義“合理性”的思考，但考察合理性是探究新概念與舊知識之間聯系的一個重要環節.教師可以先幫助學生確定思考的方向：首先關注“新概念與舊概念之間是否沖突”，引導學生聯系n次根式，學生不難發現當m取1時，正好就是n次根式的定義式；接著關注“新概念作為一個代數對象和運算之間是否沖突”，引導學生聯系初中所學習的整數指數冪的運算，從運算的角度進一步理解合理性.以此問題作為一節課的收尾， 一方面是回答了“為什么指數一章節的第一節課是根式”，完成了整個課時的閉環；另一方面也是將完整的代數對象推廣的研究路徑，以抽絲剝繭的形式呈現給了學生們.

4 啟示

4.1 指向一般觀念，固“本”溯“源”

要使學生在學習的過程中感受到數學的一般觀念，教師不僅要在教學中呈現知識是什么，更需要呈現知識“怎樣是”和“為什么是”，使學生在掌握知識的同時追溯知識背后存在的意義和規律.將每個單獨的知識點都置于那些具有統攝性的一般觀念下，使教學內容編排為連續、緊密的教學進程，幫助學生形成對知識及其研究方法的過程性認識.

4.2 內嵌方法脈絡，拆“散”匯“整”

立足“一般觀念”的課堂教學不能以堆砌的方式呈現知識點，否則教學內容就會變成一些離散的、不連貫的碎片化知識.教師應當從教材出發，先將教材的前后知識進行解構，然后以“結構”為經、“方法”為脈內嵌入教學當中，重新搭建起整個教學體系，按照課程標準所設置的四條主線進行組織，以體現數學思想方法的一致性與層次性.

4.3 外顯研究路徑，化“虛”為“實”

“一般觀念”是藏在數學知識和數學方法中的“大道理”，本身是極其抽象的，對其的理解必須要通過研究具體的對象來完成，同時在解決具體問題的過程中彰顯其力量.因此教師在進行教學編排時不妨直接外顯研究路徑，在研究數學對象的過程中讓學生經歷一個從接觸、熟悉到領悟再到自覺運用的過程，同時聯系前后知識不斷接觸、反復領悟，當然在必要時也可采取直接講解的方式，將“一般觀念”直接呈現給學生.

4.4 立足思維育人，以“學”定“教”

立足數學育人要求教師時時刻刻以學生為主體、以學情為依據.在教學中通過簡化設問、層層追問的方式逐步“逼”出學生的已有經驗和思考，在讓學生經歷完整思考的同時引導學生建立先前學習與當前學習之間的聯系，注重為教學決策留出彈性化調整空間，讓學生在“最近發展區”中獲得最優發展，做到同時兼顧數學思維的兩翼——合理推理與邏輯推理的平衡發展.

參考文獻：

［1］ 于涵，任子朝，陳昂，等.新高考數學科考核目標與考查要求研究［J］.課程·教材·教法，2018，38（6）：21 26.

［2］ 史寧中.數學課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：18 27.

［3］ 章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.