初中數學課堂教學中解題策略探析

霍云

摘 要： 解題方法是解題教學的重要內容，其主要形式有直接轉化、降次轉化、換元轉化和數形轉化.在教學過程中，教師要注意轉變的原則、提問的方法，并適時地將轉換觀念滲透到學生的思維中，使他們能夠正確地使用轉換方法.

關鍵詞： 初中數學；解題思路；方法研究

初中數學學習的重點在于充分挖掘教材中的知識，縮短教材和中考的差距，搭建起二者的聯系，所以，在教學中，教師要自覺地運用一題多解的方法，從教材的基礎知識出發，從多個方面切入，真正做到橫望成嶺，側望成峰.中考時經常會將二次函數的性質和定義結合起來，運用系數推理、性質判斷等多種方法進行解題.掌握有關的解題方法和技術，可以讓學生靈活地使用數學知識，提高他們的計算效率和精確度.

1 掌握解題方法和技巧的重要性

在初中數學教學中，教給學生方法和技術是提高學生數學成績和提高數學水平的重要保證.二次函數在初中數學教學中是一個重要而又困難的問題，從它的定義可以看出，它是一個復雜多變的知識，需要學生在學習過程中多加思考，掌握二次函數的解法和技巧，提高解題的準確度和效率，避免陷入解題的誤區.正確的解題方式和技巧可以提高學生的解題效率，提高答題的準確率，增強學生的自信心，為以后的數學學習打下堅實的基礎.

2 初中數學解題中常見的轉化思想

2.1 直接轉化

直接轉化就是通過運用相應的數學公式、理論，把那些看上去很難理解的問題，轉換為自己所熟悉的數學公式，從而能夠更好地解決問題.而對直接轉化的高效教學，則要通過對數學公式、理論進行深入的講解，使學生對數學公式、理論進行深入的理解和運用，進而了解這一部分的實質，使學生能夠在面對問題時，將公式運用到解題中，以達到有效解題的目的.

比如，在計算圓的內接四邊形角度時，教師要讓學生注意到“圓的內接四邊形對角和為180度”“同弧對應的圓周角相等”等定理，從而指導學生把角計算的方法轉換為一種新的方法.通過對角線的多邊形連接，構成四邊形，把內角的計算問題轉換為學生所熟悉的計算內容，從而得到正確的解答［1］.

2.2 降次轉化

在初中數學方程教學中，學生常常會碰到解決高次方程的難題.高次方程的求解是一個很大的難題，而且一般不能直接求解.所以要運用降次轉化的思想，對原來的方程進行變形，使之成為學生熟悉的、能夠計算的形式.教師在講解時，要圍繞題目的類型，和學生一起討論，讓學生充分運用所學到的知識，把現有的算式進行降次轉化，加深對問題的認識，從而讓學生在遇到同一類問題時，能主動地進行降次轉換.

比如，“已知b是方程x2-x-1=0的根，計算b3-2b2+2 021的值”這一問題.因為x2-x-1=0的根數比較復雜，所以求解起來很困難，而這道題的目的在于對多項式進行變形和轉換，教師可以通過指導學生對問題的變化和降次來解決問題.例如：x2-x-1=0可以轉換成x2-x=1；b3-2b2+2 021可轉換為b3-b2-b2+2 021；b3-b2-b2+2 021再轉換成b（b2-b）-b2+2 021；代入b2-b=1，得到b-b2+2 021;-b2+b+2 021可以轉化成-（b2-b）+2 021，進而則得到b3-2b2+2 021=2 020.

教師要指導學生轉變思維方法，通過降次變換達到求解題目的目的.

2.3 換元轉化

在初中數學中，使用換元變換是很普遍的.在教學中，教師要使學生充分了解換元變化在解決問題時的作用.在進行換元的過程中，要注意換元的對等，保證換元后的公式是合理的，不能改變原有的數學定義.

2.4 數形轉化

在初中數學教學中，函數是一個很大的難題，一般需要學生把代數、文字轉換成圖形，并通過圖形來尋找解題的方法.在課堂上，教師要引導學生把數學問題轉換成函數圖形，并用交點法等方法來解決問題.同時為確保學生的學習效率，教師在安排習題時，還應注重練習的難度，以滿足學生對數學的探究欲望，從而有助于學生理順數形轉化的細節，從而達到對數形轉化的正確理解.

比如，圖1中的△ABC和函數圖象都是在第一象限，且函數圖象和△ABC有一個重疊的區域，那么在這個重疊區域中，k的數值是什么？這類問題的解題比較困難，在解題時，要尋找一個切入點，以使問題得到更好的解決.在已知的條件下，利用學生所學的反比例函數，對其進行解析，當k大于0時，k的數值越大，則函數的曲線與y軸的偏差就越大.從曲線的運行來看，可以看到，在函數圖形的左側，A是一個臨界值，而在右側，當函數圖形和BC邊相交時，這個問題就得到了解決.利用該方法，可以把問題從平面的交叉問題轉換成一個函數的交點問題，由A，B，C三點的坐標求出了三角形各邊的函數.在獲得BC邊的函數解析式后，將兩個函數結合起來，最后把它們轉換成兩個函數相交時有解的問題.

3 ?初中數學二次函數解析式的解題方法和技巧

3.1 基于根與系數的關系求解問題

根與系數的關系是求解一元二次方程問題的最常用的方法.例如，問題“存在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），滿足a-b+c=0，請寫出1個符合題目條件的方程”.由題意可得-1是方程的一個根，在根與系數的關系的基礎上，可以迅速地解出- c a 是方程的另一根，可得出方程滿足（x+1） x+ c a ?=0，將a，c任意賦值便可得符合條件的方程.由此發現根與系數的關系的使用使得求解過程變得簡單，大大提高了求解的精度和效率［2］.

很多學生在解答這道方程時，都會被它所包含的大量的信息所震驚.在這個時候，如果用傳統的解法來解決問題，會讓學生陷入一個困境中，從而影響到解題準確性和效率.但如果能在解題中靈活運用根與系數的關系，就能迅速地得出正確的結論.

與傳統的公式解法相比，韋達定理的靈活運用，能迅速地簡化問題的解法，并能得到正確的答案.所以在進行解題訓練時，一定要把一元二次方程的解題方法和經驗結合起來.

3.2 基于換元方法求解問題

在一元二次方程問題中，換元法也是一種常見的解法，它的優點在于它可以簡化復雜的方程，讓解題速度更快.換元就是把一個方程中的一些相同的代數式當作一個整體，用一個變量代替，讓問題的解法變得簡單，讓學生在解決問題時，更容易找到突破口［3］.

比如：64（x+4）2+x2+8x=32.解析：如果讓學生按照傳統的解法，先求判別式，然后解，這就意味著計算的工作量很大，很可能會犯錯誤，但如果讓他們仔細看題目的結構，在等號的兩邊各加16，就有x2+8x+16=（x+4）2.這樣，可以將原方程對應地轉化成64（x+4）2+（x+4）2=48.

換元法是一種高效的解決方程問題的方法，它的關鍵在于將對應的解法中的有關式子做等價代換，從而使解題速度更快，更容易找到解題的突破口.

3.3 系數推理法

二次函數的解析式有三個很重要的系數，其中a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.三個因子與二次函數關系密切，二次函數圖的開口是由系數a確定的，而函數與y軸的交點是通過系數c來確定的.在二次函數知識點的考查中，通常會考查學生是否掌握了圖形的特性，因此，在遇到此類問題時，可以采用系數推理法來進行運算.在解決問題時，從系數出發，利用系數公式解決問題，可以節省大量的時間.

二次函數問題的解答需要學生熟悉和理解相關的知識，熟悉二次函數的特性和公式，并在最后的分析中選出正確的答案.

3.4 性質判斷法

性質判定方法也是解答二次函數問題的常用方法，它要求學生能夠全面地掌握二次函數的公式、性質等，并利用二次函數的對稱性質來解決問題.性質判定以選擇題為主，需要將性質判定與圖象相結合，選出正確的答案.例如，學生在判斷函數的對稱性和單調性時，可以采用定性判定的方法，迅速找到正確的答案.對學生來說，性質判定法是最基本的一種方法，它需要學生在學習二次函數理論知識的基礎上，與實際相結合，從而加快解題的速度［4］.

3.5 數形結合

在眾多的解題方法和技術中，數形結合是一種非常有效的解題方式，可以使學生把抽象的問題具體化，靈活地進行數字和圖形之間的轉化，使學生能夠有效地解決二次函數的解析式問題，從而提高學生的邏輯能力和運算能力.

3.6 三種表達方式的解析

3.6.1 一般式的解法

在二次函數的三種表達式中，通用方程是最基本的.在解一般方程時，必須將三組對應的x，y代入解析公式，得到一個三元一次方程組，求解得到a，b，c的數值，盡管可以得到正確的答案，但計算的工作量很大，因此學生要找到更有效的解決辦法.雖然一般方程是學生必須要掌握的知識，但此解法并不是最好的方法，需要學生加強對廣義方程的理解，并將其融入解題中.

3.6.2 頂點式的解法

在二次函數的解題中，頂點方程也是很普遍的，它是由一個通用方程轉換而來的.它的解法有一個前提，那就是二次函數的頂點是（h，k），圖象經過點（m，n），這樣學生就可以利用二次函數的頂點來解決問題了.首先，學生需要假設y=a（x-h）2+ k，再將另一個點的坐標代入所假設的表達式即可求解.采用頂點法進行解題，不僅可以節省運算時間，還可以簡化解題過程.

3.6.3 交點式解法

y=a（x-x 1）（x-x 2）是一種常用的二次函數交點式，它不需要知道二次函數的頂點，只需要知道圖象和x軸的交點，就能解決問題.二次函數圖象和x軸相交是解決問題的必要條件.該方法的基本思想是一個通用的公式，即y=ax2+a（-x 1-x 2）x+ax 1x 2.例如，二次函數圖象經過的三個點是（1，0）、（2，0）、（3，4），則所假設二次函數的表達式為y=a（x-x 1）（x-x 2），將（1，0），（2，0）點代入可得y=a（x-1）（x-2），再把另外一個坐標代入解析式，即可得到a和解析式.

4 靈活運用

學生在學習了多個二次函數的解法和技術后，要靈活運用，以便根據不同的問題，選擇最簡單有效的解法，提高解題的效率和精確度.為了避免在解題過程中出錯，學生需要善于思考，能夠舉一反三.在實際操作中，教師首先要自己做一次示范，再讓學生根據自己的問題進行小組討論.而一些比較復雜的問題，既考查二次函數，又涉及其他的知識，這就需要學生將這些問題融會貫通，并掌握解題的基本原理，從而實現更復雜的綜合運用［5］.

二次函數是初中數學的一個重要組成部分，它不但在初中階段的考試中占有很大的比重，同時和許多學科有著密切的關系.近年來，從二次函數的考查傾向來看，主要以考查二次函數圖象與系數之間的關系為主.

5 結 語

函數在初中數學教學中起著舉足輕重的作用，它對學生的數學基礎、綜合運用能力、思維能力等起著舉足輕重的作用.因此，在初中階段，教師要讓學生正確地理解和掌握二次函數的解法，并能選擇和使用正確的解題方式，提高解題的準確度和效率.

參考文獻：

［1］ 范小建.初中數學解題思路與方法應用探討［J］.才智，2020（13）：193.

［2］ 熊朝順.初中數學教學中注重培養學生解題思路的研究［J］.人文之友，2019（6）：177.

［3］ 張秀連.初中數學中的解題思路與方法探究［J］.魅力中國，2018（49）：127.

［4］ 李立麗.初中數學智慧課堂教學中注重培養學生解題思路的策略探討［J］.考試周刊，2021（60）：79 80.

［5］ 戴德文.學以致用：初中數學教學中注重培養學生解題思路的研究［J］.科學咨詢，2019（5）：134 135.

［6］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［7］ 史寧中.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養［J］.教師教育學報，2022（3）：92 46.