基于核心素養導向的高中數學教學研究與實踐

孫雷鳴

【摘要】“借助計算器觀察函數遞增的快慢”是上海普通高中數學教材《冪函數、指數函數和對數函數》章節的選修內容.在高一數學教材中，該節內容處在“指數函數”之后.在此之前，學生已經較為系統地學過線性函數、冪函數和指數函數等.文章深入剖析本課題教學內容，引入平均變化率，以問題驅動的形式讓學生理解其意義.本課題的教學目的在于引導學生掌握研究問題的方法：“觀察—歸納—猜想—證明”，進一步提高學生的數學探究能力、數學建模能力和數形結合的能力.

【關鍵詞】數學核心素養；平均變化率；數形結合

一、教學內容分析

在前一節中，“銀行的利息”和“人口的增長”兩道例題讓學生充分地體會到指數函數的“爆炸性”增長速度.試想當線性函數、冪函數和指數函數都為增函數時，指數函數為什么具有更為顯著的“爆炸性”增長的特點？從數學的角度如何刻畫和描述這個增長變化特征，就是本節課內容的基本出發點.

在研究函數遞增快慢的過程中，引入平均變化率的概念，用數值進行比較，提供了分析函數增長快慢的數學模型.平均變化率是函數單調性的拓展和延伸，為今后研究導數的概念奠定了基礎.

本節課授課的學生是高一新生，對計算器的使用不是很熟練，在本節課中將學習如何使用計算器的列表功能.目前，學生已基本掌握了冪函數、指數函數的一些基本性質，通過探究一些具體函數遞增的快慢，能讓學生對這些函數的性質有更深入的了解.

二、學情分析

作為高中數學教師，更應關注發展學生的數學學科核心素養，數學教學該怎么做？如何在課堂上有效地發展學生的數學學科核心素養？實踐表明，教學研究是理念轉化為實踐的有效媒介，可以為教師提供理論與實踐相結合的載體，為教師的教學實踐提供有效的抓手.筆者聚焦于將學科核心素養轉化為可操作的教學目標，明確教學方向；通過具體的課堂教學研究，落實培養學生數學學科核心素養，改進教學，立德樹人.

本篇以“借助計算器觀察函數遞增的快慢”為例，開展以素養為導向的教學研究.本篇主要聚焦以下幾點：

1.用數學問題引領實踐創新———用數學問題開展自我導向的學習，課堂上我們有學習任務單，學生可以按照計劃形成學習成果，并有自我評估意識.學生在不斷提問和思考中，形成數學思維，在主動借鑒中取長補短，共同發展.

2.用學科核心素養讓學生學會學習———讓學生學會高階思維，能夠從現象中看到本質，提高學生動手實踐能力.學生能夠基于函數圖像歸納和猜測結論，最終能夠進行縝密的邏輯推理并得出結論.在探究過程中，學生能自己總結概念，且能對他人的觀點進行質疑、批判，形成自己的解釋并給出理論證明.

3.用小組協作相互啟發評價———以小組形式共同完成任務單和課堂反思.課堂上，學生通過小組合作，完成計算器的操作和證明方法的選取，共同研究探討.課后，完成任務單的課堂反思，實現自主評價，不斷反思總結.

4.用計算器工具增強信息意識———體會信息技術的利弊.在本節課中，有些問題是可以使用計算器得到數據，再根據數據去猜測，學生可以體會信息技術帶來的優勢，同時需要嚴謹的代數證明，本節課學生可以體會不同處理方法的優劣勢.

5.用數學思維感悟責任擔當———建立正確的價值觀.學生能在本節課學習中形成理性精神、科學責任、實證意識，增強數形結合的意識和能力，掌握由具體到抽象的研究方法，形成聯系與變化的認識觀.

三、教學內容

第一階段：創設情境，引入課題

情境1：向高為H，體積為V的容器中注水，注滿為止.圖1是水深y與注水量x之間的函數關系的大致圖像，問曲線①②分別對應右圖的哪個容器呢？

由函數圖像可以看出，隨著注水量x的增加，曲線①的遞增速度在減慢，圖像上升趨勢變緩，其原因是容器B平行于底面的截面的半徑由下底面到上底面逐漸變大，所以曲線①對應的是容器B；曲線②的遞增速度不變，所以曲線②對應的是容器A.

情境2：某地某段時間的氣溫變化圖，橫坐標是天數t，縱坐標是溫度T.

觀察圖2中曲線的AB段和BC段，會發現BC段氣溫上升得快.而曲線AB段氣溫變化為15.1℃，曲線BC段氣溫變化為15℃，所以曲線AB段氣溫變化略大.那為什么反而是曲線BC段氣溫變化更快呢？因為曲線AB段所用時間為31天，曲線BC段所用時間為2天.快慢不僅要看氣溫變化的大小，還要看時間變化的長短.

在曲線BC段上，氣溫由18.6℃上升到33.6℃，說明在短短兩天時間內，人們感受到天氣突然變熱了.從點B到點C氣溫值的“陡增”，在數學上要如何量化呢？由變化圖可知只考慮氣溫差不夠，還需要考慮時間差.

第二階段：歸納探索，形成概念

1.結合實際，歸納總結

物理學中，速度表示物體運動的快慢和方向.在數值上，速度等于物體運動的位移與這段位移下所用的時間的比值.路程是時間的函數，溫度也是時間的函數，包括前面高度是注水體積的函數，因此，將函數值的差比上自變量的差的比值稱為函數的平均變化率.

2.共同探討，形成概念

學生共同探討研究，總結出函數平均變化率的概念.

情境3：

在實際生活中，我們不僅關心數量的增加，還關心增加的快慢.比如，糧食年年增加，人口也在增加，如果人口增加的程度超過了糧食產量的增加程度，那么有可能會發生糧食危機.人口、糧食模型比較復雜，教師可帶領學生對比一些具體的、熟悉的函數遞增的快慢情況.

設計意圖：通過幾個情境，引導學生觀察圖像，培養學生核心素養中的直觀想象能力，使其能直觀判斷函數遞增的快慢，給出函數遞增快慢的猜測，并能敘述平均變化率的概念和計算公式.

第三階段：掌握概念，學會運用

第四階段：歸納小結，提高認識

函數遞增的快慢是單調函數的重要性質.函數遞增的快慢是平均變化率的“視覺化”，平均變化率是函數遞增的快慢的“數量化”.“觀察→歸納→猜想→證明”是科學研究的途徑和路線之一，也必然是數學科學研究的途徑和路線之一.數學教育家波利亞特別強調，在數學教學中既要有演繹推理，又要有合情推理，也就是說既教證明，又教猜想.本課的兩個例題的教學過程，既是對這一教學理念的解讀，又是數形結合的體現，從圖像觀察到理論證明到實際應用.

四、教學反思

本節課采用“觀察—歸納—猜想—證明”的研究思路，讓學生體會可以利用平均變化率來比較函數遞增的快慢，為以后學習導數做好鋪墊，也為今后進一步學習微積分奠定基礎.

平均變化率可以正，也可以負.本節課沒有涉及平均變化率為負值的情況.但學生一旦有了正的變化率的感知和理解之后，只要稍微點撥一下，就很自然地得到負的變化率的感知和理解.在例2中，本意是想讓學生用代數證明的方法計算平均變化率，而學生理解成了公式的變形.只有少部分學生使用了數形證明，大多數在取特殊值并填表.自主的探究方法是好的，但是教師沒有給出一個明確的研究方向.因此，教師不僅要給學生自主探究的空間，也需要適時地給一些解決問題的方向.

所以，總的來說，課堂上，教師要增加課堂情趣，加強直觀到抽象的引導，在數形結合和情境認知中發展學生的抽象思維能力、符號意識，強化課堂的基礎訓練，提高學生解題的速度和效率.

【參考文獻】

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