堅(jiān)持生本，經(jīng)歷探索，深化概念理解

［摘? 要］ 學(xué)生在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”時(shí)，大部分都是在生硬地記憶，并沒有達(dá)到對概念本質(zhì)的理解，所以這一知識一直是教學(xué)的難點(diǎn). 文章認(rèn)為，教學(xué)“銳角三角函數(shù)”時(shí)，可以通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程，深化學(xué)生對概念的理解，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 正切函數(shù)；函數(shù)意識；概念教學(xué)

銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形中銳角與其中兩條邊的比值之間的函數(shù)關(guān)系，它不同于一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，它的自變量是“銳角的集合”. 對學(xué)生而言，銳角三角函數(shù)是抽象的，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).調(diào)查表明，學(xué)生學(xué)完銳角三角函數(shù)的概念后難以理解其本質(zhì)，不明白為什么可以稱之為函數(shù)［1］. “正切”是蘇科版教材介紹的第一個(gè)銳角三角函數(shù)，幫助學(xué)生理解上述問題的關(guān)鍵在于帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的銳角與其對邊和鄰邊的比值是“一一對應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系［2］. 為此，在探索“正切”概念的教學(xué)中，筆者嘗試通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，探究正切函數(shù)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)目標(biāo)分析

“正切”是蘇科版教材九年級下冊“銳角三角函數(shù)”第1節(jié)的內(nèi)容，其中銳角度數(shù)與相應(yīng)比值之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，這是本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的難點(diǎn). 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教師應(yīng)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)［3］. 因此，本節(jié)課要讓學(xué)生既見“木”又見“林”，從整體上先感受銳角三角函數(shù)，再細(xì)化認(rèn)識正切. 正確理解正切概念，能為學(xué)生后續(xù)知識的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ). 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達(dá)成如下目標(biāo)：通過動手操作、推理驗(yàn)證等過程，知道并理解正切函數(shù)的概念；會在直角三角形中求出已知銳角的正切值；經(jīng)歷操作、觀察、推理、思考等過程，感悟符號化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和概括能力，發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程

1. 情境引入，激發(fā)學(xué)生思考

在生活中，斜坡帶給我們方便（PPT呈現(xiàn)幾張不同情境下的斜坡圖片），觀察圖片并思考下列問題.

問題1：哪個(gè)山坡更好走？為什么？

問題2：通過什么能描述山坡的傾斜程度？

問題3：除了用坡角的大小來描述山坡的傾斜程度，還可以用什么方法來描述？

【課堂回放】

師：（PPT呈現(xiàn)兩幅圖）這兩幅圖中的山坡，哪個(gè)更加陡峭？

生1：第二幅圖看起來更陡一些.

師：通常我們借助什么來描述山坡的傾斜程度？

生2：坡角，第二幅圖的坡角比較大.

師：對，可以把兩個(gè)山坡抽象成∠A和∠A′（顯示動畫），度量角的度數(shù)，比較角的大小即可. 在實(shí)際問題中，有時(shí)候不太方便測量角度的大小，那你們還有別的方式刻畫坡面的傾斜程度嗎？（稍作停頓）

師：換言之，能否在不度量角度的情況下，比較兩個(gè)角的大小呢？可以嘗試從邊的角度來思考.

生3：我想嘗試作垂線，比較垂線段的長短.

師：請同學(xué)們借助操作紙?jiān)囈辉?

生3：我發(fā)現(xiàn)，只看垂線段的長度并不能說明角的大小，垂線段與角的頂點(diǎn)距離近一點(diǎn)時(shí)，就短一點(diǎn)；遠(yuǎn)一點(diǎn)時(shí)就長一點(diǎn)，所以這一做法沒法比較.

師：那有沒有辦法能使垂線段具有可比性呢？

學(xué)生自主探索，教師則個(gè)別指導(dǎo). 當(dāng)學(xué)生思考一會兒后，進(jìn)行組內(nèi)交流，教師請部分小組展示他們的思考成果.

小組1：我們在兩個(gè)角的邊上先截取相同的長度（AB=A′B′），再分別向底邊作垂線段BC和B′C′（如圖1所示），在這兩個(gè)直角三角形中進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC<B′C′，于是我們小組猜想對邊長的角度大. 當(dāng)然，我們組還發(fā)現(xiàn)，AC>A′C′，于是猜想鄰邊長的角度反而小.

小組2：我們組的想法和小組1的想法有點(diǎn)相像，區(qū)別在于我們是截取鄰邊相等，然后比較對邊的長度，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC<B′C′，于是猜想對邊長的角度大；或者比較斜邊的長度，發(fā)現(xiàn)AB<A′B′，于是猜想斜邊長的角度大.

師：剛才兩個(gè)小組操作中的“截取”，可以看作是固定了垂線段的相對“位置”. 借助剛才的過程，大家想一想，能不能在不截取相同長度的情況下直接通過直角三角形中邊的關(guān)系比較角的大小. 請借助操作紙?jiān)囋嚳?（教師給予學(xué)生一段時(shí)間研究，并讓學(xué)生互相交流）

生4：之前固定“位置”后就好比較了，我想，這些線段的長度是相對的，于是我任意作垂線BC和B′C′，度量出兩個(gè)三角形三邊的長度（如圖2所示），計(jì)算對邊與鄰邊的比值. 計(jì)算后第一個(gè)三角形的比值約0.45，第二個(gè)三角形的比值約0.91，所以第一個(gè)三角形的比值比第二個(gè)三角形的比值小.

師：有和生4一樣計(jì)算對邊與鄰邊的比值的同學(xué)嗎？（有一些學(xué)生點(diǎn)點(diǎn)頭）你們也發(fā)現(xiàn)第二個(gè)三角形的比值比較大嗎？

生5：我的大小關(guān)系和生4的一樣，不僅如此，計(jì)算的比值都和生4的一樣.

師：這是巧合嗎？我們晚一點(diǎn)點(diǎn)再來解決這個(gè)問題. 你們還有其他的方法嗎？

生6：我是計(jì)算對邊與斜邊的比值，分別約0.41和0.67，發(fā)現(xiàn)也是第一個(gè)比值比第二個(gè)比值小.

……

師：那這些邊的比值到底能否刻畫角的大小呢？這就是我們接下來這章所要研究的內(nèi)容. 本節(jié)課我們便從其中的一種開始研究，也就是直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比值能否幫我們刻畫銳角角度的大小.

設(shè)計(jì)意圖 引入生活實(shí)例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生通過動手操作，在控制變量的情況下，初步感受直角三角形中，角的大小可以通過邊的長度之間的關(guān)系來比較，并提出猜想.

2. 合作探究，明晰概念

探索活動：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的大小能否通過∠A的對邊與鄰邊的比值來刻畫呢？

師：為了探索∠A的大小能否通過它的對邊與鄰邊的比值來刻畫，我們首先得確定這個(gè)比值會不會因?yàn)檫叺拈L度的變化而發(fā)生改變.

請學(xué)生借助操作紙，邊操作邊思考.

生7：我發(fā)現(xiàn)在射線AB上取不同的點(diǎn)，作垂線后得到的直角三角形都相似（如圖3所示），所以∠A的對邊與鄰邊的比值相等. 所以不管點(diǎn)取在哪里，這個(gè)比值都不變.

（具體證明過程略）

師：那么改變角的大小，這個(gè)比值會改變嗎？

學(xué)生借助操作紙，經(jīng)歷“作圖—測量—計(jì)算”過程.

生8：我畫了一個(gè)30°的角，在它的一邊上取一點(diǎn)后作垂線，度量出兩條直角邊的長度，計(jì)算出30°的對邊與鄰邊的比值約等于0.6.

生9：我畫了一個(gè)40°的角，用同樣的方法計(jì)算出來的比值約等于0.8.

……

教師借助幾何畫板向?qū)W生展示：銳角取任意值時(shí)，都能計(jì)算出對應(yīng)比值；當(dāng)銳角角度發(fā)生變化時(shí)，比值也會發(fā)生變化；當(dāng)角度確定時(shí)，比值也隨之確定.

師：那比值與角度之間的這種關(guān)系與之前我們學(xué)習(xí)過的什么概念比較類似？

生（齊）：函數(shù).

師：對，這是一種新的函數(shù).它揭示了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系. 那你們能表示出對邊與鄰邊的比值與角度之間的函數(shù)關(guān)系嗎？能像一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)關(guān)系式那樣具體嗎［4］？

教師給予學(xué)生一些時(shí)間，學(xué)生也認(rèn)真討論了，但很快他們便沒有了方向.

師：過去，1÷7除不盡，我們用來表示其準(zhǔn)確值；在與圓有關(guān)的計(jì)算中，我們用π來準(zhǔn)確表示圓周率；我們還用x=±來準(zhǔn)確表示方程x2=3的解. 數(shù)學(xué)家們?yōu)榱四軌驕?zhǔn)確地表達(dá)我們今天研究的這個(gè)函數(shù)，創(chuàng)造了一個(gè)符號，即tan（板書）.（如圖4所示）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的對邊a與鄰邊b的比值稱為∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠Ａ的對邊/∠Ａ的鄰邊=BC/AC=a/b.

教師詳細(xì)介紹“tanA”的讀法、寫法以及注意事項(xiàng)，要求學(xué)生嘗試寫出∠B的正切表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生經(jīng)歷作圖—度量—計(jì)算—推理等過程，能讓學(xué)生感受到比值與角度這兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系，從而獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn). 這樣的教學(xué)過程能加深學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識正切，能為學(xué)生以后更深入地學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下基礎(chǔ)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 運(yùn)用概念，深化理解

例1 如圖5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，請求出∠A，∠B的正切值.觀察計(jì)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

變式1 在例1的條件下，CD是AB邊上的高，嘗試用不同的方法求∠ACD的正切值.

變式2 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=，求AC和AB的長.

歸納總結(jié)：互余的兩個(gè)銳角正切值互為倒數(shù)；正切值可以借助定義直接求解，也可以用等角轉(zhuǎn)換來求解；題目中已知正切值時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化成比值來解題.

例2 在等邊三角形ABC中，AB=6，求tanA的值.

變式1 tan60°=_______，tan30°=_______.

變式2 tan45°=_______.

讓學(xué)生體會到要解決正切問題，需要構(gòu)造直角三角形，作垂線是常規(guī)作法.

設(shè)計(jì)意圖 通過例題教學(xué)，深化學(xué)生對正切函數(shù)的理解，讓他們掌握解決相關(guān)問題的基本策略，提升分析問題和解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)模型思想.

4. 知識梳理，小結(jié)提升

略.

回顧反思

1. 在經(jīng)歷中生成概念

正切作為初中階段研究的最后一個(gè)函數(shù)，相較于之前研究的函數(shù)，它更加抽象，學(xué)生無法找出銳角度數(shù)與邊的比值之間明確的對應(yīng)法則，這種抽象性學(xué)生也無法用已有的符號進(jìn)行表示，加上函數(shù)概念本來就具有抽象性，這就給學(xué)生帶來了巨大的認(rèn)知困難.

這節(jié)課設(shè)計(jì)了兩次操作活動. 教學(xué)伊始，教師從學(xué)生熟悉的斜坡入手，引導(dǎo)學(xué)生思考如何刻畫斜坡的傾斜程度，如何想到銳角與兩條邊的比值存在關(guān)系，如何刻畫這樣的關(guān)系.在學(xué)生操作的過程中，教師穿插問題引導(dǎo)，讓學(xué)生在自我探究的同時(shí)，也能有方向可尋. 教師在教學(xué)過程中故意放慢正切概念的形成過程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷操作、觀察、思考、推理等活動，以加深學(xué)生對概念的感悟，理解正切的本質(zhì). 當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)探索過程，發(fā)現(xiàn)了銳角角度與對邊、鄰邊的比值是函數(shù)關(guān)系后，教師再介紹正切的概念和符號，就變得水到渠成了.

2. 在交流中促進(jìn)發(fā)展

數(shù)學(xué)課中的活動必須要體現(xiàn)思維的訓(xùn)練，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門啟迪學(xué)生智慧的學(xué)科. 時(shí)下的課堂不缺學(xué)生的參與，但更多的是表面熱鬧，而深度參與不夠. 本節(jié)課以生為本，隨著內(nèi)容不斷深入，教師以問題串的形式將學(xué)生剛開始的積極參與，逐步引導(dǎo)為深度思考. 其中的每個(gè)問題教師都會反復(fù)斟酌，選擇最恰當(dāng)?shù)姆绞剑瑤椭鷮W(xué)生“搭”思維的腳手架.

當(dāng)然，本節(jié)課教師也給予了學(xué)生充分交流和表達(dá)自己的時(shí)間與空間. 在每一次學(xué)生發(fā)言時(shí)，教師都認(rèn)真傾聽，并及時(shí)給予肯定，讓學(xué)生敢于表達(dá)自己的想法，同時(shí)尋找學(xué)生思維中的閃光點(diǎn)，以問題的形式，加深學(xué)生的思考. 在課堂中，教師營造良好的數(shù)學(xué)研究氛圍，讓學(xué)生在交流中發(fā)展能力，增長智慧.

3. 在過程中滲透思想

“銳角三角函數(shù)”這一章涉及很多數(shù)學(xué)思想，教師若能在教學(xué)過程中進(jìn)行適當(dāng)滲透，必能達(dá)到事半功倍的效果. 例如本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容能幫助學(xué)生認(rèn)識“數(shù)形結(jié)合”思想——在具體的問題中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助已有的圖形來分析邊與角之間的關(guān)系，在特殊的情況下，能構(gòu)造直角三角形來輔助解決問題，將正切函數(shù)與直角三角形緊密聯(lián)系在一起.

本章內(nèi)容亦是培養(yǎng)學(xué)生符號意識的理想材料. 要想讓學(xué)生接納并理解一個(gè)數(shù)學(xué)符號，必須讓他們體會到使用這個(gè)符號的必要性和優(yōu)越性. 在本節(jié)課中，學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)銳角度數(shù)與兩直角邊的比存在函數(shù)關(guān)系，但這個(gè)關(guān)系卻不能被準(zhǔn)確表達(dá). 于是教師引導(dǎo)學(xué)生類比分?jǐn)?shù)表示除不盡的數(shù)、π表示圓周率、根式表示開方開不盡的數(shù)，得出這里也需要用一個(gè)符號來表示這兩者之間的函數(shù)關(guān)系，從而讓他們體會到符號引入的必要性. 在后續(xù)問題的解決過程中，學(xué)生也能體會到用這樣的符號表達(dá)正切函數(shù)，非常方便、簡潔，能體會到符號的優(yōu)越性.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃林娟. 初中《銳角三角函數(shù)》教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查及研究［D］. 杭州師范大學(xué)，2017.

［2］劉一凡，陳算榮. HPM視角下初中“正切”概念教學(xué)設(shè)計(jì)［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）：13-15.

［3］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［4］李東. 經(jīng)歷與思想并重——“正切”教學(xué)實(shí)錄與反思［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（09）：1-3+6.

作者簡介：羅尉（1989—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲江蘇省青年教師基本功大賽一等獎.