核心素養視域下小學生代數思維的培養

杜宇

［摘? 要］ 培養學生的數學核心素養是新課程的重要目標，代數思維在培養學生抽象能力、推理意識、模型意識方面起著非常重要的作用。因此，教師要將核心素養的理念融入學生代數思維的培養之中，有意識地培養小學生的代數思維，轉變運算方式，培養綜合能力。

［關鍵詞］ 核心素養；代數思維；抽象能力；推理意識；模型意識

數學核心素養具有高度的整體性、一致性和發展性［1］，繼高中數學課程標準提出數學核心素養后，在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中也提出以數學核心素養為目標的課程體系，并明確指出數學核心素養包括以下三個方面：（1）會用數學的眼光觀察現實世界。在義務教育階段，數學的眼光主要表現為抽象能力（包括符號意識、數感、量感）、幾何直觀、空間觀念與創新意識；（2）會用數學的思維思考現實世界。在義務教育階段，數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力；（3）會用數學的語言表達現實世界。在義務教育階段，數學語言主要表現為數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識［2］。

數學思維是核心素養的重要體現，代數思維是其中的一種。代數思維是指學生能夠歸納概括出一般化的算式結構、變化規律和數量關系，并且能運用符號來表征和推理論證一般化的結論［3］。代數思維的本質是一般化思維，在規則的推導下進行一系列的符號化運算和數學建模。小學階段代數思維的培養直指小學數學抽象能力、推理意識和模型意識。這是因為符號化是代數思維的基本特征之一，數及數量關系進一步抽象成符號表達；代數推理的一般性與普遍性需要符號化的推理過程，從而發展代數思維；代數思維主要表現為解決問題時的模型建構，其實質是數學建模。

由此可見，代數思維的培養與核心素養“三會”是一脈相承的。在小學數學教學中教師應加強對小學生代數思維的培養，進行有針對性的訓練，開展實踐研究，為中學的代數學習做好必要的基礎鋪墊，以實現學生從算術思維到代數思維的自然過渡，從而促進其數學核心素養的不斷提升。

一、關注符號意識，激發代數思維

7～12歲的小學生正處于具體運算階段向形式運算階段過渡，逐漸不需要具體的形象教具來輔助學習。學生的邏輯推理思維開始發展，抽象思維能力逐漸變強，能用符號進行思考和對算術進行抽象。代數的學習需要學生更多抽象思維的參與，培養學生的代數思維能打開其抽象思維的大門。在教學過程中教師要有意識地進行引導和強化，使學生從算術思維到代數思維能有效銜接和過渡。

符號意識作為數學核心素養之一，其重要性不言而喻，代數思維的培養就要重視符號意識。在學生能夠運用文字語言描述量與量之間的關系后，教師可以引導學生思考怎樣體現出數學的簡潔之美。比如，讓學生學會用數學語言、數學符號、字母來表示數字和算式；引導學生在主動發現與交流中用簡潔的符號形式來表征同一情境、同一問題，加深對不同表征形式中的等價關系的理解，將等價關系推廣到類似的情境中來發展其代數思維。

比如，在教學“乘法的初步認識”時，教師可以呈現：5+5+5=（? ）×（? ），7+7+7+7=（? ）×（? ），9+9=（  ）×（? ），☆+☆+☆=（? ）×（? ），m+m+m+m=（? ）×（? ）。通過☆、m表示算式中相同的加數，引導學生進一步思考☆、m可以表示哪些數，加深理解乘法的意義。學習運算律體現了學生對規律探索的歸納過程，發現規律需要學生進行抽象概括，表達規律則需要學生對規律進行一般化表達［4］。比如，乘法分配律的文字表達“兩個數的和乘一個數等于這兩個數分別與這個數相乘，再把積相加”，學生對此難以理解；然而當通過抽象符號表達成（a+b）×c=ac+bc，學生能形象地理解乘法分配律。讓學生充分經歷觀察、交流、歸納、表達、抽象的過程，這個過程是學生代數思維的體現，是不可或缺的。

二、巧用代數推理，助推代數思維

推理意識是小學數學核心素養的重要內容。推理意識主要是指學生對邏輯推理過程及其意義的初步感悟［2］?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》中強調了代數推理的教學理念，指出代數推理能為學生的邏輯推理提供一定的幫助。小學數學教師應該在教學中巧妙地使用代數推理，讓學生初步感知代數推理的過程，發展學生的代數思維。

比如，六年級分數除法的算理是小學算理中最難理解的，教材通過具體情境和數形結合思想來幫助學生理解（如圖1），但教學后很多學生對算理依舊模糊不清，直接運用結論進行計算，這對學生思維的發展是不利的。在教學減法算理時，教師可以采用“想加做減”的方法，即從“減法是加法的逆運算”來理解算理；同樣，在教學除法時，也可以從“除法是乘法的逆運算”來加以理解。因此，筆者做了以下代數推理的嘗試（如圖2）。

這樣的代數推理，能讓學生很直觀地理解算理：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。學生容易接受這個理解算理的過程，能直達數學的本質。讓學生經歷這個代數推理的過程，有利于培養學生代數思想，并與中學的代數內容接軌。

比如，在教學“3的倍數特征”時，教師常常采用觀察法、枚舉法、不完全歸納法等方式得出結論。這樣的學習過程沒有真正培養學生的思維，沒有促進學生推理能力的發展，不利于學生核心素養的形成。在五年級上冊學生已經學會了用字母表示數，已經具備代數推理的基礎。因此，在教學“3的倍數特征”時，筆者以代數推理的方式來揭示“3的倍數特征”的本質（如圖3）。

在探究性作業中，筆者也設計了代數推理的題目，如圖4。其中，方法二的代數推理更具有說服力，而且這個方法可以類推到更復雜的循環小數化分數的教學之中。

在小學階段能夠利用代數思維進行推理的案例還有很多，這需要教師充分掌握教材的知識脈絡，在適當的時機進行代數推理，幫助學生理解數學的本質，培養學生的推理意識。

三、滲透模型思想，提升代數思維

數學的發展過程就是不斷抽象、概括、模式化的過程，模型思想是數學的基本思想方法之一。模型思想指通過建立數學模型解決問題的一種思想方法。數學模型是通過對具體問題和研究對象的基本屬性、功能和特征進行理解和認識，用簡潔的語言抽象出描述客觀現象的運動變化規律。數學模型具備了原型對象的本質屬性，但是不能反映原型的所有方面［5］。比如，“速度×時間=路程”是用來研究行程問題的數學模型。

小學數學教材雖然沒有對模型思想進行明確的定義，但是模型思想無處不在。在小學數學中滲透模型思想，能讓學生經歷觀察、合作、交流、歸納、符號抽象、代數推理，建立起具有一般性的數學模型，然后應用模型。通過數學建模，讓學生經歷由特殊到一般，再從一般到特殊的過程，體會到代數思維的一般性和廣泛性，能為學生使用數學的語言表達現實世界奠定必要的基礎。

人教版數學教材從五年級起，運用代數思維進行數學建模的案例很多，比如“打電話（如圖5）”“探索圖形（如圖6）”等典型課例。

在作業設計中教師要有意識地滲透模型思想，培養學生的代數思維。比如，筆者在作業設計中的一些嘗試（見圖7、圖8）。

上面的作業設計既突出了對數學本質的理解，又有利于培養學生代數思維和符號意識，增強學生數學建模意識。這些作業設計凸顯了代數思維的一般性和普遍性，通過符號化的推理、建模，能提高學生的代數思維能力。

綜上，在小學階段教師應精心培養學生良好的代數思維習慣，讓學生理解數學知識的結構與關系、特殊與一般，洞察并把握數學本質。在小學階段適時培養學生的代數思維，是對學生知識結構的一種銜接、完善和延展。代數思維的培養有助于發展學生的核心素養，提升其抽象意識、推理能力和模型意識，從而促進其全面發展。

參考文獻：

［1］ 王永春. 迎接數學核心素養帶來的挑戰［J］. 小學教學（數學版），2021（10）：1.

［2］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］ 孫思雨，許添舒，孔企平. 基于潛在類別分析的小學生早期代數思維水平研究［J］. 數學教育學報，2022，31（01）：52-58.

［4］ 李星云. 論小學生代數思維的培養［J］. 廣西教育，2019（40）：63-66.

［5］ 沈紅萍. 小學階段數學模型思想的培養 ——“簡單的周期”教學與思考［J］. 教育，2022（17）：33-35.