同構方程視角下的高中數學解題研究

肖小甜

【摘要】在高中數學教學中，解題教學處于十分重要的位置.廣大一線教師為了提高學生解題教學的效率，提高學生的解題能力，探索出了很多新的方法和方向.其中，將同構方程運用于高中數學解題教學，對提高學生的解題能力及解題效率十分有幫助.基于此，文章先分析了同構方程的內涵，然后結合高中數學解題教學的現狀進一步分析了基于同構方程思想的高中數學解題應用方式，旨在提高高中數學解題教學的效率.

【關鍵詞】高中數學；同構方程；解題研究

引 言

數學解題中的同構方程法是指通過分析相同結構形式來解題的手段.目前，該方法對于解方程、解析幾何、數列、解不等式以及比較函數式大小等題型的解答都十分有效，將其運用于高中數學解題教學對提高教學效率有非常積極的作用.因此，對同構方程思想在高中數學解題中的應用進行研究非常有必要.

一、同構方程的概念及其在高中數學解題中的優勢

數學學科中的同構就是指構建出相同結構，對于表達式來說，可定義為同構方程式.利用同構方程解決一些常見的數學問題可以使學生的化歸思維得到進一步提升，因此，同構方程法也被看作重要的思維方式.在當前的數學教學當中，其主要被應用在解不等式、數列、方程以及解析幾何等數學問題當中.同構方程是指除了變量之外，其余均使用相同的表達式，即均為相同結構的方程.若將同構內涵延伸到圖像中，則要構建同構圖像.不管是在方程中還是在圖像中，其都是對原有模式的一種變化和超越.把同構方程應用在高中數學教學實踐中，許多難題都可通過尋找相同結構方程或其變形來進一步解決，比如在恒成立問題中進行參數取值范圍的求解以及不等式的證明時，運用同構方程法可以使解題過程變得更容易理解.

二、高中數學解題教學的現狀

當前社會逐漸發展的過程中，基礎教育改革也邁進新發展時期.對于數學教學來說，當下最重要的突破性任務就是培養學生的數學核心素養，推動學生的全面發展.數學學科的核心教育內容包括解題教學，而在當下高中數學解題教學中，許多教師在講解解題流程時傾向于模仿教學.具體來講，就是先對典型例題進行講解，然后讓學生背誦解題的方法和技巧，再進行大量類似題目的訓練，這使學生的思想逐漸形成定式，不會進行主動思考和發散思維.在這種教學模式下，雖然對于許多類似題目學生也能夠解決，但只要題型稍加改變，學生就會覺得解題難度變大，思路一下子就被卡住，不知所措，無法真正提高數學核心素養.另外，許多高中數學解題教學都是以教師為主導，這限制了學生的思維發展，使其解題出現困難.

三、基于同構方程思想的高中數學解題應用分析

（一）同構方程在比較函數式大小中的應用

在高中數學中，比較函數式大小是較為基礎的題目，也是近些年高考的一個高頻考點，很多考試都將該類問題放在選擇題的壓軸位置.這類問題的常規解題思想通常是先考察函數性質，再通過作商或作差方式進行比較，其中要進行化簡轉化、找中間量，再進一步列出函數圖像或分析其性質來比較，這對學生的聯想能力、觀察能力以及函數模型構造能力都具有較高要求，同時需要學生具備數形結合的思想.這種解題方式的難點在于比較中對哪個函數進行構造，需要針對原式實施變形.而若是利用同構方程思想來進行函數比較就具有一定的技巧性.其往往是將式子兩邊函數適當變形，使其結構相同，再依據函數性質比較大小.

（二）同構方程在解方程或方程組中的應用

高中數學中解方程或方程組的題型十分常見.學生一般在初中就已經學習過最基本的方程，但只是根據方程的標準形式求得方程的根，不能靈活運用方程結構來求解復雜方程.對近些年的高考試題進行分析，可發現許多解方程的題目在尋找突破口時都需要靈活運用方程結構，這一點值得教育工作者和學生充分重視.在一些復雜的高中數學方程式中，若是直接將方程展開求解可能會比較困難，使用因式分解法也具有一定難度，這時就可觀察方程等號兩側是否具有同構性質，從而利用同構方程思想解題.

這一例題當中，雖然看似兩側是結構不相同的方程，但使用了同構方程思想之后，就可以對其中一側方程進行代換變形，使兩項方程變為相同結構，最后進行函數構造，并利用函數單調性求解出結果.由此也可看出，用同構方程法解題的本質還是無法離開函數基本性質，即函數單調性，故教師要確保學生熟練掌握該知識.

（三）同構方程在解不等式中的應用

高中數學中的不等式題目也一直是教師教學和學生學習的難點，并且不等式還常與幾何、函數以及線性規劃等知識進行結合，使解題的難度進一步提高，學生解題時常常會遇到很多阻礙.因此，高中數學教師一直在探索有效的教學手段，希望可以為學生學習不等式知識提供幫助.不等式題目所涉及的知識通常具有寬泛特征，教師要想引導學生快速、準確地解題，還需扎實其基礎，并使其學會拓展解題思路.教師可以利用同構方程法進行解題指導，這種方法能讓學生在解不等式時將思路打開，在遇到相同類型題目時也可靈活運用.

（四）同構方程在解析幾何中的應用

高中數學學科相關考試中常會將解析幾何應用題作為壓軸大題，解析幾何也是高考中極為重要的考點.解析幾何題目與一般的數學知識題目不同，其主要對學生空間思維、想象能力以及數學分析能力進行考查，學生要想取得高分，必須突破這類題型.而同構方程的解題思想在數學領域中的應用十分廣泛，其不僅常用在函數方程習題解答中，也可應用在解析幾何問題中，利用這種思想方法往往可以收到優化解題過程、簡化運算流程的效果，從而提高學生解析幾何問題的解答速率.

在這類題型中運用同構方程思想可減少運算量，使運算流程變得簡單.由此可見，針對圓錐曲線雙切線的問題，若是將其調整為同一個式子來解題，通?？梢允盏绞掳牍Ρ兜男Ч?，可見該解題思路的應用價值.

四、高中數學解題中同構方程法的應用策略

事實上，同構方程法是一種現代化的數學思想方法，其可以體現出函數與方程的核心思想，也可以說其是函數方程思想的代名詞，在當前數學領域常用來形容函數方程解題思想.在許多數學題型的解答中，同構方程法都得到了廣泛的應用.若高中學生能夠具備同構意識，那么在解決數學問題時就可以實現靈活性、創造性.在實際高中數學解題時，應用同構方程法的策略包括下述幾點.

第一，要了解怎樣在數學解題中利用同構方程法，就要對該數學方法的內涵有一個基本理解.同構方程法能將復雜、抽象的數學題目分解為若干容易理解的小問題，在函數方程中，還可能會將一個方程分為多個簡單方程，以便于更好地處理問題.因此，學生需要對問題的各項變量進行分解，還需對不同變量間的關系進行深入分析.

第二，要對題目內容進行審慎檢查，認真思考題目涉及的各種數學概念，還要對函數關系進行整理，同時分析題目中各項概念產生的影響，總結歸納出一個函數關系，以便得到最終的結論.

第三，要保證學生具有基本的數學解題能力，在此基礎上結合同構方程法有效解決疑難數學問題.如在解答一些復雜的數學問題時，學生必須掌握基本的幾何知識、代數知識、函數知識以及微積分知識，否則將無法靈活且有針對性地利用同構方程法處理問題，也就無法發揮出該方法的作用.數學教師還要重視鍛煉學生的數學推理能力，以便于更好地推理解題思路，促進學生高效答題，進而取得高分.另外，學生也應掌握一定的現代技術學習能力，如會操作計算機設備和數學學習軟件，利用其繪制函數圖像，這將更方便學生汲取數學知識，學會推理技巧，使數學問題得到有效解決.

結 語

總的來講，利用同構方程法解答高中數學題目雖然具備很多優勢，但也并不算容易，教師只能在解題練習中從旁適當指導，最重要的還是要保證學生具備數學解題基本技能和良好的數學素養，可以深刻理解同構方程法，這樣才能夠有效運用該方法進行題目解析，在遇到難題時也能輕松應對.

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