中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)的內(nèi)涵、原則與應(yīng)用

張文濤 唐麗艷

摘要：從課程改革對(duì)跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)的要求出發(fā)，試圖以同一主題下中小學(xué)各學(xué)段的進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題為載體，構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計(jì)、一體化實(shí)施的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有效銜接，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體發(fā)展，實(shí)現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)貫通式培養(yǎng).在闡釋中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)內(nèi)涵和原則的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)縱向主題貫通、橫向?qū)W科融合的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)案例.

關(guān)鍵詞：中小學(xué)數(shù)學(xué)；綜合實(shí)踐活動(dòng)；一體化；內(nèi)涵和原則

基金項(xiàng)目：深圳市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點(diǎn)課題——中小學(xué)“一體化”數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課程研究與實(shí)踐（zdzz22037）.

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》提出：基本建成高校、中小學(xué)各學(xué)段上下貫通、有機(jī)銜接、相互協(xié)調(diào)、科學(xué)合理的課程教材體系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求設(shè)置跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，加強(qiáng)一體化設(shè)置，促進(jìn)學(xué)段銜接，提升課程科學(xué)性和系統(tǒng)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中設(shè)置了以“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”為主線的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程.由此可見(jiàn)，綜合實(shí)踐活動(dòng)已經(jīng)成為義務(wù)教育階段和高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域.

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)強(qiáng)調(diào)課程之間的綜合性、關(guān)聯(lián)性和連貫性，具有跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，是各學(xué)科之間橫向一體化的載體.如何構(gòu)建體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程學(xué)段銜接并促進(jìn)學(xué)生協(xié)調(diào)發(fā)展的跨學(xué)段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，即如何落實(shí)各學(xué)段縱向一體化的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程是擺在一線教育工作者面前的艱巨任務(wù).

在十余年初中、高中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課程探索的基礎(chǔ)上，筆者試圖以同一主題下各學(xué)段的進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題為載體，構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計(jì)、一體化實(shí)施的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)，打通小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課程，加強(qiáng)課程內(nèi)容的有效銜接，實(shí)現(xiàn)中小學(xué)貫通式培養(yǎng).本文在討論同一主題、一體化設(shè)計(jì)中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)涵和原則的基礎(chǔ)上，將以具體案例進(jìn)行展示和說(shuō)明.

一、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)的內(nèi)涵

“一體化”，顧名思義，是指將若干分散部分聯(lián)合起來(lái)，組成一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)是跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)活動(dòng)，是聯(lián)合多個(gè)學(xué)科的概念、原理、思想和方法解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)科之間的橫向一體化.以同一主題、一以貫之的綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容，將中小學(xué)各學(xué)段縱向銜接，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生整體、貫通的培養(yǎng)，是學(xué)段之間的縱向一體化.在以跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)的橫向一體化的基礎(chǔ)上，融入跨學(xué)段整體發(fā)展的縱向一體化，形成縱向主題貫通、橫向?qū)W科融合的縱橫交織、融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)實(shí)施新樣態(tài)，是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的強(qiáng)有力抓手.

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，首先是從感性逐步到理性，然后在實(shí)踐活動(dòng)中產(chǎn)生新的、更成熟的理性認(rèn)識(shí)，循環(huán)往復(fù)、螺旋上升.因此，在教學(xué)實(shí)踐中找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的且可以不斷重復(fù)“認(rèn)知—實(shí)踐—再認(rèn)知”的學(xué)習(xí)活動(dòng)載體至關(guān)重要.跨學(xué)段視域下同一主題、一體化設(shè)計(jì)的綜合實(shí)踐活動(dòng)為此提供了可能.“同一主題”是指綜合實(shí)踐活動(dòng)的主題背景和內(nèi)容相同；“一體化設(shè)計(jì)”是指在同一綜合實(shí)踐活動(dòng)的主題背景下，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維發(fā)展水平，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)各學(xué)段的研究目標(biāo)和研究任務(wù)，使各學(xué)段的學(xué)生從不同的視角開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，不斷加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，不斷提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，達(dá)到中小學(xué)一體化發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

同一主題、一體化設(shè)計(jì)的中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)，能夠打通不同學(xué)科之間和不同學(xué)段之間的壁壘，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的整體性，以及跨學(xué)段和跨學(xué)科貫通培養(yǎng)的融合性，為學(xué)生提供能夠再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì)和平臺(tái).隨著學(xué)段的遞進(jìn)，學(xué)生在同一問(wèn)題情境及不同任務(wù)和要求的驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)深入思考、不斷反思后，尋求突破并解決問(wèn)題，可以在跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度，在跨學(xué)段整體發(fā)展中培養(yǎng)學(xué)生思維的深度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維廣度和深度的螺旋上升.在同一主題背景下，基于各學(xué)段不同任務(wù)的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生可以從不同的角度思考問(wèn)題，用不同的數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題，通過(guò)不斷地探究與思考，在看清問(wèn)題內(nèi)在邏輯的同時(shí)，逐漸接近問(wèn)題的本質(zhì)，感悟知識(shí)的力量，以此激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)研究意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

二、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)的原則

中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)追求橫向?qū)W科融合、縱向主題貫通的縱橫交織、融會(huì)貫通的課程實(shí)施新樣態(tài)，這就要求活動(dòng)的設(shè)計(jì)既要考慮橫向一體化，又要考慮縱向一體化.綜合實(shí)踐活動(dòng)的構(gòu)建應(yīng)該遵循真實(shí)情境、開(kāi)放融通、循序漸進(jìn)、一體貫通、求同存異、綜合實(shí)踐等原則.

1.真實(shí)情境原則

解決真實(shí)情境中的問(wèn)題是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑.現(xiàn)實(shí)情境是溝通現(xiàn)實(shí)生活與學(xué)科領(lǐng)域的橋梁，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)、完成任務(wù)或解決問(wèn)題提供了載體.缺少真實(shí)情境的學(xué)習(xí)，容易使數(shù)學(xué)知識(shí)成為機(jī)械的符號(hào).因此，在設(shè)計(jì)中小學(xué)一體化綜合實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程中，要特別關(guān)注真實(shí)情境原則.真實(shí)情境可以增加綜合實(shí)踐活動(dòng)的直觀性、趣味性、生動(dòng)性和實(shí)用性，使學(xué)生從枯燥的文字描述走進(jìn)現(xiàn)實(shí)情境，并基于現(xiàn)實(shí)情境中的調(diào)查、測(cè)量、探索、研究來(lái)解決問(wèn)題，進(jìn)而完成學(xué)習(xí)任務(wù)，使知識(shí)的生成和任務(wù)的解決有豐富的附著點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，從而使綜合實(shí)踐活動(dòng)更具現(xiàn)實(shí)意義，更容易使學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴和思維碰撞.

基于真實(shí)問(wèn)題情境設(shè)計(jì)的真問(wèn)題和有現(xiàn)實(shí)意義的任務(wù)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生進(jìn)行深度思考.因此，在綜合實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)中，雖然創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境很難做到“絕對(duì)真實(shí)”，更不一定是現(xiàn)實(shí)原封不動(dòng)的復(fù)制品，但要盡量保持現(xiàn)實(shí)情境某些方面或?qū)哟蔚恼鎸?shí)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是在與真實(shí)情境的碰撞中完成的.

2.開(kāi)放融通原則

現(xiàn)實(shí)情境都是開(kāi)放的、繁雜的，因此綜合實(shí)踐活動(dòng)中確定的任務(wù)和設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)該保持現(xiàn)實(shí)情境中的開(kāi)放性和融通性.具有開(kāi)放性和融通性的任務(wù)或問(wèn)題能給學(xué)生提供充足的探索空間、思維空間和決策機(jī)會(huì)，學(xué)生在使用跨學(xué)科知識(shí)、思維、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，積極主動(dòng)地思考和抉擇，能使學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得到提升，同時(shí)使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在跨學(xué)科融合協(xié)同中得以發(fā)展.

現(xiàn)實(shí)情境中的學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題具有問(wèn)題開(kāi)放、算法開(kāi)放、結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn).問(wèn)題開(kāi)放主要體現(xiàn)在所給的問(wèn)題往往是粗糙的、模糊的、信息不全面的，學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)要先通過(guò)觀察、分析和識(shí)別找到解決問(wèn)題所需的信息，然后考慮忽略哪些次要變量、采集哪些數(shù)據(jù)等.算法開(kāi)放主要體現(xiàn)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生可以根據(jù)問(wèn)題分析提出不同的解決方案或者模型.結(jié)果開(kāi)放主要體現(xiàn)在綜合實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程重于結(jié)果，無(wú)論學(xué)生作出怎樣的決策或選擇，只要符合客觀實(shí)際、通過(guò)合理的解決方案得到的結(jié)果均被接受和允許.這三個(gè)特點(diǎn)有一定的因果關(guān)系，即現(xiàn)實(shí)情境的開(kāi)放為綜合實(shí)踐中問(wèn)題的開(kāi)放提供了基礎(chǔ)，問(wèn)題的開(kāi)放促成了問(wèn)題解決中的算法開(kāi)放和結(jié)果開(kāi)放.開(kāi)放性和跨學(xué)科融通性能使學(xué)生真正成為綜合實(shí)踐學(xué)習(xí)過(guò)程的主人，這也是綜合實(shí)踐活動(dòng)的魅力所在.

3.循序漸進(jìn)原則

長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用學(xué)科知識(shí)、學(xué)科思維和學(xué)科實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)去解決龐大、復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，但對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)需要循序漸進(jìn)，不可能一蹴而就.因此，在設(shè)計(jì)中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，提出的任務(wù)或要解決的問(wèn)題既要有一定挑戰(zhàn)性，又要考慮漸進(jìn)性和進(jìn)階性.提出的任務(wù)或問(wèn)題既要遵循學(xué)科邏輯和學(xué)段特點(diǎn)，又要兼顧每個(gè)學(xué)段課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及每個(gè)學(xué)段學(xué)生的生活體驗(yàn)和思維發(fā)展水平，做到始終在學(xué)生思維和能力的最近發(fā)展區(qū)做文章，設(shè)置梯度合理、有挑戰(zhàn)性兼具漸進(jìn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題.

綜合實(shí)踐活動(dòng)的開(kāi)展要基于學(xué)情和學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，充分考慮數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)規(guī)律和學(xué)生成長(zhǎng)規(guī)律，設(shè)計(jì)具有發(fā)展性、層層遞進(jìn)的任務(wù)鏈，形成系列進(jìn)階性的任務(wù)和問(wèn)題供不同學(xué)段的學(xué)生思考和解決.在關(guān)注整體學(xué)習(xí)任務(wù)或驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題的同時(shí)，可以通過(guò)子項(xiàng)目或子課題的形式對(duì)任務(wù)或問(wèn)題進(jìn)行有效分解，學(xué)生更容易積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立學(xué)科認(rèn)同和學(xué)科自信.進(jìn)而，當(dāng)學(xué)生有機(jī)會(huì)參與一個(gè)完整的綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，就會(huì)心中有數(shù)，而不是一籌莫展，進(jìn)而達(dá)到以實(shí)踐促進(jìn)學(xué)生在真實(shí)體驗(yàn)中提高實(shí)踐能力的目的.

4.一體貫通原則

中小學(xué)一體貫通的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)和培養(yǎng)方式是階段性和連續(xù)性的統(tǒng)一，是基于持續(xù)性、聯(lián)系性、整體性和發(fā)展性視角看待學(xué)生的成長(zhǎng)和發(fā)展.在設(shè)計(jì)來(lái)自同一背景的中小學(xué)各學(xué)段的關(guān)鍵任務(wù)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題時(shí)，要注意考慮縱向各學(xué)段層層遞進(jìn)、橫向各學(xué)科相互融合，并做到由淺入深、循序漸進(jìn)、螺旋上升，以體現(xiàn)任務(wù)和問(wèn)題的整體性、遞進(jìn)性和進(jìn)階性，讓學(xué)生通過(guò)綜合實(shí)踐活動(dòng)，體會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)客觀世界的規(guī)律，創(chuàng)造性地使用并擴(kuò)展現(xiàn)有方法、理論和學(xué)科工具，探索并研究未知領(lǐng)域，思考并解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題.

雖然中小學(xué)各學(xué)段獨(dú)立存在，但是通過(guò)一體化課程實(shí)施可以讓各學(xué)段、各學(xué)科密切聯(lián)系、相互協(xié)同，形成學(xué)生整體發(fā)展的教育合力；也可以讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性.在完成每個(gè)學(xué)段的綜合實(shí)踐活動(dòng)后，學(xué)生都要做好實(shí)踐過(guò)程記錄，這樣在高中畢業(yè)時(shí)，學(xué)生個(gè)人的數(shù)學(xué)中小學(xué)一體化整體發(fā)展跟蹤檔案也就形成，這樣可以使學(xué)生的成長(zhǎng)有跡可循.

5.求同存異原則

在設(shè)計(jì)中小學(xué)同一主題、一體化數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程中，既要有求同思維，也要有求異思維，在追求“同”的同時(shí)，更要關(guān)注“異”的客觀存在.具體表現(xiàn)為：課程主題和任務(wù)既要全程貫通，又要體現(xiàn)學(xué)段差異；既要關(guān)注內(nèi)部的共性，又要關(guān)注個(gè)體的個(gè)性和差異性.

中小學(xué)同一主題、一體化綜合實(shí)踐活動(dòng)雖然是跨學(xué)段、跨學(xué)科的有機(jī)整體，但是在設(shè)計(jì)各學(xué)段的任務(wù)和問(wèn)題時(shí)要關(guān)注不同學(xué)段學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律和思維水平，各學(xué)段的任務(wù)和問(wèn)題要有所區(qū)別，且學(xué)習(xí)目標(biāo)要切實(shí)可行，要充分挖掘和應(yīng)用中小學(xué)各學(xué)段數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的原理、思想和方法，通過(guò)多次迭代，漸進(jìn)式地完善問(wèn)題的解決方案，實(shí)現(xiàn)通過(guò)整體設(shè)計(jì)提升學(xué)生能力和素養(yǎng)的目標(biāo).

6.綜合實(shí)踐原則

真實(shí)情境的開(kāi)放性和復(fù)雜性決定了綜合實(shí)踐活動(dòng)中的任務(wù)完成和問(wèn)題解決需要跨學(xué)科融合，中小學(xué)一體化綜合實(shí)踐活動(dòng)也需要跨學(xué)段有機(jī)整合.因此，綜合實(shí)踐活動(dòng)的真實(shí)情境創(chuàng)設(shè)和任務(wù)設(shè)計(jì)要特別關(guān)注課程設(shè)計(jì)和實(shí)施的綜合性和實(shí)踐性.一體化綜合實(shí)踐活動(dòng)要求學(xué)生開(kāi)展實(shí)地觀察、實(shí)地調(diào)研、訪談問(wèn)卷、測(cè)量探索等實(shí)踐活動(dòng)，最終形成報(bào)告或論文.在完成學(xué)段進(jìn)階性任務(wù)和解決學(xué)段遞進(jìn)式問(wèn)題的過(guò)程中，需要學(xué)生不斷學(xué)習(xí)、運(yùn)用和整合不同學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)，綜合運(yùn)用跨學(xué)科思想、思維方法、學(xué)科工具和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突破學(xué)科知識(shí)和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決相互割裂的困境，進(jìn)一步提高認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問(wèn)題的能力.真正做到在做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)，進(jìn)而推動(dòng)育人方式的變革.

三、中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)教學(xué)案例

筆者以學(xué)生熟悉的“尋找公園丟失的物品”為例，遵循中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)一體化設(shè)計(jì)的原則，探討如何設(shè)計(jì)中小學(xué)各學(xué)段同一主題、一體化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng).

情境：你的一位朋友來(lái)深圳旅游，并準(zhǔn)備乘坐周日16：00的航班離開(kāi)深圳.周日當(dāng)天，他于10：00—11：00獨(dú)自前往如圖1所示的深圳市中心公園北區(qū)散步（僅在公園道路散步），12：00從公園門口獨(dú)自乘坐出租車前往深圳寶安國(guó)際機(jī)場(chǎng)，13：00到達(dá)機(jī)場(chǎng)，在機(jī)場(chǎng)安檢處他突然發(fā)現(xiàn)身份證丟失，仔細(xì)回想后，認(rèn)為身份證可能在公園內(nèi)丟失.機(jī)場(chǎng)要求必須在航班起飛前1小時(shí)完成安檢，然而現(xiàn)在距離飛機(jī)起飛僅剩下3個(gè)小時(shí)，所以他委托你去公園幫忙尋找身份證.他第一次在公園散步，沒(méi)有給你提供任何信息.考慮到他至少要在15：00前完成安檢，所以你只有45分鐘左右的尋找時(shí)間.請(qǐng)你給出合理的尋找身份證的策略，并嘗試給出公園丟失物品的尋找方案.

上述問(wèn)題來(lái)自學(xué)生熟悉的場(chǎng)景，貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)，并盡量保持了情境的真實(shí)性，符合中小學(xué)各學(xué)段學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn).真實(shí)情境便于學(xué)生制訂實(shí)踐計(jì)劃，引導(dǎo)學(xué)生親身參與實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)而通過(guò)實(shí)地測(cè)量、收集數(shù)據(jù)、調(diào)查研究等過(guò)程解決問(wèn)題.

該問(wèn)題的提出和敘述粗糙、籠統(tǒng)，對(duì)于中小學(xué)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的挑戰(zhàn)性.同時(shí)，該問(wèn)題具有較好的開(kāi)放性，學(xué)生可以根據(jù)實(shí)際情況和學(xué)科活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步分解和細(xì)化問(wèn)題，這將激發(fā)學(xué)生的探索動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生自主探究.解決此問(wèn)題的核心是確定身份證可能的丟失地點(diǎn)，或者說(shuō)你的朋友（以下統(tǒng)稱“游客”）最有可能去過(guò)哪里.以下在同一背景、相同問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，根據(jù)各學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平，通過(guò)設(shè)置進(jìn)階任務(wù)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，并采用子問(wèn)題的方式將任務(wù)和問(wèn)題分解和具體化，引領(lǐng)學(xué)生有序開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng).

1.小學(xué)階段

（1）小學(xué)中年段.

尋找身份證的時(shí)間僅有45分鐘，在沒(méi)有外力幫助的情況下，學(xué)生需要思考的首要問(wèn)題是：按照正常的步行速度行走能否在45分鐘內(nèi)走遍公園中的所有道路？

驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題1：你認(rèn)為45分鐘內(nèi)能走遍公園中的所有道路嗎？一定能找到身份證嗎？

學(xué)生已有的認(rèn)知是，若45分鐘內(nèi)行走的路程大于公園中所有道路的總長(zhǎng)，則可以走遍公園中的所有道路，就可能找到身份證，否則不能找到.學(xué)生現(xiàn)在面臨的問(wèn)題是：人的正常步行速度是多少？公園中的道路總長(zhǎng)是多少？

子問(wèn)題1：你認(rèn)為普通人的步行速度一般是多少？

問(wèn)題提出后，學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)可以查詢到普通人步行速度約5 km / h、跑步速度約15 km / h.過(guò)程重于結(jié)果，教師要將探索問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生探索如何利用網(wǎng)絡(luò)獲得所需的信息，以及如何確定尋找速度.

追問(wèn)1：如何得到普通人的步行速度和跑步速度？

學(xué)生通過(guò)探索，對(duì)了解普通人的步行速度和跑步速度產(chǎn)生好奇，并主動(dòng)探究獲得相關(guān)數(shù)據(jù)的方式，如隨機(jī)選取多人測(cè)量其步行和跑步的速度，然后取平均值.學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步深化對(duì)平均數(shù)內(nèi)涵和意義的理解，實(shí)現(xiàn)“知其然，并知其所以然”.

追問(wèn)2：在公園道路上尋找身份證，你認(rèn)為步行速度是多少？

讓學(xué)生結(jié)合真實(shí)情境思考問(wèn)題.在公園道路上尋找身份證的步行速度的確定，既要考慮盡快找到（即需要在一定的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)更多的道路），又要考慮經(jīng)過(guò)就能看清楚身份證，即速度不能太快.此處的矛盾會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生心理沖突，學(xué)生需要結(jié)合情境作出分析和決策.公園道路的路況也是影響尋找身份證步行速度的重要因素，學(xué)生最終確定的速度是多少并不重要，重要的是學(xué)生能考慮到這些問(wèn)題和影響因素.問(wèn)題的解決需要結(jié)合情境全面考慮現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)情境和用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中的心理沖突和決策機(jī)會(huì)是提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力和提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的契機(jī).

子問(wèn)題2：如何測(cè)量公園中每段道路的長(zhǎng)度？

將公園中的道路看作直線段或者曲線段，測(cè)量曲線段的長(zhǎng)度是擺在學(xué)生面前的難題.

追問(wèn)1：你有什么好的方法來(lái)測(cè)量公園中每段道路的長(zhǎng)度？

公園道路較長(zhǎng)，全部在公園中用直尺實(shí)地測(cè)量費(fèi)時(shí)費(fèi)力，在讓學(xué)生自主探索測(cè)量非直線段長(zhǎng)度的同時(shí)尋找更快的測(cè)量方案.

方案1：保持勻速在公園行走，利用行走速度乘以走完每段道路所需的時(shí)間，就可以得到每段道路的長(zhǎng)度.缺點(diǎn)是保持勻速只能靠感覺(jué)，會(huì)產(chǎn)生較大誤差.

追問(wèn)2：方案2有哪些缺點(diǎn)和局限？

首先，由于公園的實(shí)際“尺寸”是地圖的很多倍，所以在地圖上較小的測(cè)量誤差就會(huì)導(dǎo)致公園道路測(cè)量結(jié)果的較大誤差；其次，公園中的實(shí)際道路不可能完全處于同一個(gè)平面內(nèi)，而這種測(cè)量方法只能將公園中所有道路均視為在同一水平面內(nèi).因此，這種測(cè)量方案會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差，且具有一定的局限性.此追問(wèn)可以培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)及科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.

子問(wèn)題3：45分鐘內(nèi)是否一定能找到身份證？

根據(jù)子問(wèn)題1和子問(wèn)題2明確尋找身份證的速度和公園道路的總長(zhǎng)度.通過(guò)計(jì)算可知，45分鐘內(nèi)不可能走遍公園中的所有道路，因此不一定能找到身份證.

追問(wèn)：應(yīng)該如何確定尋找身份證的路線，以便提高找到身份證的可能性？

在確定的時(shí)間內(nèi)所走道路長(zhǎng)度一定，因此想要提高找到身份證的可能性，就需要分析身份證最有可能丟失在哪里，即公園中的哪些路段是游客最有可能經(jīng)過(guò)的.因?yàn)橛慰椭辉诠珗@游覽了一個(gè)小時(shí)，所以不可能走遍公園中的所有道路.對(duì)此，小學(xué)中年段的學(xué)生可以從公園中的景觀特點(diǎn)和游客的喜好出發(fā)，也可以結(jié)合其對(duì)游客的了解確定尋找路徑.要想在有限的時(shí)間內(nèi)提高找到身份證的可能性，只需要在不走重復(fù)道路的前提下，優(yōu)先選擇景觀較好或符合游客喜好的道路尋找即可.

子問(wèn)題4：你還有哪些方法可以找到身份證？

學(xué)生可能想到的方案是張貼告示，或者去客服中心查看監(jiān)控，或者通過(guò)公園廣播系統(tǒng)播報(bào)消息以尋求其他游客的幫助.在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，這些方案均被允許，以培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)的能力.

（2）小學(xué)高年段.

驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題2：如何設(shè)計(jì)尋找路線以提高在45分鐘內(nèi)找到身份證的可能性？

在小學(xué)中年段的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化公園道路長(zhǎng)度的測(cè)量方案，并更理性地確定尋找路線.

子問(wèn)題1：小學(xué)中年段提出的測(cè)量公園道路的方案存在局限或誤差較大，你是否有更好的測(cè)量公園中道路長(zhǎng)度的方案？

學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)及其他知識(shí)后，可以使用的數(shù)學(xué)工具更加充足，一個(gè)常見(jiàn)的辦法是“滾輪法”，即先測(cè)量一個(gè)輪子的直徑，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出該輪子的周長(zhǎng)，再沿公園中的每段道路滾動(dòng)輪子，輪子滾動(dòng)的圈數(shù)與輪子的周長(zhǎng)的乘積就是每段道路的長(zhǎng)度.滾輪法的缺點(diǎn)是測(cè)量者需要走遍公園中所有的道路，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，于是考慮對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化.

觀察到公園中很多人在騎行，于是聯(lián)想到騎自行車進(jìn)行測(cè)量，只需要在騎行每段道路時(shí)記錄腳蹬的圈數(shù)，然后利用“道路長(zhǎng)度=腳蹬圈數(shù)×車輪周長(zhǎng)×前齒輪齒數(shù)/后齒輪齒數(shù)”即可求出公園中每段道路的長(zhǎng)度.顯然，騎行比步行輕松許多.需要注意的是，在測(cè)量每段道路的長(zhǎng)度時(shí)，要盡量選擇上坡方向，這樣腳蹬圈數(shù)才更準(zhǔn)確.

子問(wèn)題2：為了提高找到身份證的可能性，你會(huì)優(yōu)先尋找哪些道路？

在小學(xué)中年段考慮游客喜好和景觀特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以基于實(shí)地考察和調(diào)研進(jìn)一步優(yōu)化尋找路線.

具體地，可以將分析公園景觀特點(diǎn)上升為統(tǒng)計(jì)某時(shí)刻每段道路上經(jīng)過(guò)的人數(shù)，用數(shù)據(jù)說(shuō)話；將分析游客喜好上升為在公園內(nèi)進(jìn)行訪談，統(tǒng)計(jì)游客最有可能去的景點(diǎn).某時(shí)刻人數(shù)較多的路段和游客最有可能游覽景點(diǎn)周邊的道路，就是身份證最有可能丟失的道路.學(xué)生可以將每段道路的人數(shù)從多到少排序，以此來(lái)確定尋找優(yōu)先級(jí)，在少走重復(fù)道路的前提下，盡量先去人數(shù)多的道路尋找，以提高找到身份證的可能性.從問(wèn)題的解決過(guò)程可以看出，學(xué)生由小學(xué)中年段的直觀感受逐漸上升到小學(xué)高年段的理性分析.

2.初中階段

驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題3：45分鐘內(nèi)找到身份證的概率有多大？

在小學(xué)階段初步解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化解決方案，通過(guò)分析初步估計(jì)45分鐘內(nèi)找到身份證的概率.

子問(wèn)題1：如何確定尋找身份證的路線？

追問(wèn)1：根據(jù)各路段的游客人數(shù)確定尋找優(yōu)先級(jí)的方案能否進(jìn)一步優(yōu)化？

小學(xué)階段通過(guò)觀測(cè)某時(shí)刻各路段上的人數(shù)來(lái)確定尋找優(yōu)先級(jí)的方案的局限性在于未考慮每段道路長(zhǎng)度不同帶來(lái)的影響.初中生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維水平有所提高，可以通過(guò)進(jìn)一步分析，并經(jīng)歷探索和研究，更準(zhǔn)確地刻畫(huà)游客經(jīng)過(guò)道路的優(yōu)先級(jí).具體方案如下.

追問(wèn)2：應(yīng)該如何制訂尋找策略？

根據(jù)測(cè)量、統(tǒng)計(jì)，可得公園中第i段道路的長(zhǎng)度Li和某時(shí)刻第i段道路上的游客人數(shù)ni，并通過(guò)計(jì)算得到第i段道路的人流密度ρi.進(jìn)而根據(jù)尋找速度計(jì)算出45分鐘內(nèi)尋找的道路總長(zhǎng)度，并按照如下算法確定近似最優(yōu)尋找路線.

第1步：將公園中的所有道路按人流密度從大到小排序；

第2步：將人流密度最大的道路選定為尋找的第一條路；

第3步：依次選定人流密度較大的道路，直到選擇的道路總長(zhǎng)度接近45分鐘內(nèi)尋找的道路總長(zhǎng)度；

第4步：局部調(diào)整所選道路，確保所選道路連通且盡量不走重復(fù)道路.

實(shí)際問(wèn)題的解決往往是復(fù)雜的，因此很難做到最優(yōu)，比如第4步就需要反復(fù)地調(diào)整和優(yōu)化.結(jié)果是否最優(yōu)不是最重要的，重要的是抓住培養(yǎng)學(xué)生思考、探索和決策的契機(jī)，提高學(xué)生的思辨能力和解決問(wèn)題的能力.

追問(wèn)3：你能從追問(wèn)2的算法中得到什么啟示？

追問(wèn)2中的算法通俗理解就是盡可能優(yōu)先挑選“權(quán)重大的道路”，反過(guò)來(lái)，可以采用舍去“權(quán)重小的道路”的策略，即依次從地圖中去掉權(quán)重（人流密度）較小的道路，重復(fù)這個(gè)過(guò)程并保持道路連通，直到剩下的道路能在45分鐘內(nèi)走完，留下的道路組成的道路圖即為近似最優(yōu)尋找路線.問(wèn)題的解決過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)新意識(shí).

子問(wèn)題2：在45分鐘內(nèi)找到身份證的概率有多大？

根據(jù)上述追問(wèn)2的尋找策略，可以確定近似最優(yōu)尋找路線，此時(shí)學(xué)生可能好奇找到身份證的概率到底有多大，教師可以利用學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生自主探索和優(yōu)化.

子問(wèn)題3：子問(wèn)題2中找到身份證概率的表達(dá)式有何局限？應(yīng)該如何優(yōu)化？

方案的優(yōu)化和完善對(duì)學(xué)生而言具有較大的挑戰(zhàn)，完善的過(guò)程中伴隨著學(xué)生的不斷學(xué)習(xí)、思考、探索、研究、審視和實(shí)踐，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的契機(jī).

3.高中階段

驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題4：若公園各處景觀沒(méi)有太大差別，或者統(tǒng)計(jì)某時(shí)刻公園各路段人數(shù)的人力成本過(guò)高，你考慮如何確定尋找策略？

在上述條件下，公園各路段的人流密度無(wú)從得知，需要尋找新的指標(biāo)來(lái)確定各路段的權(quán)重，是否還有其他方法能夠確定各路段的權(quán)重呢？更進(jìn)一步，如何確定尋找策略？

子問(wèn)題1：如何確定公園中各路段的權(quán)重？

高中生除了了解基礎(chǔ)圖論的有限知識(shí)外，還可以了解有向圖、最小網(wǎng)絡(luò)等.圖2所示為公園局部的地圖，可以看到每條道路都由交叉點(diǎn)連接，每個(gè)交叉點(diǎn)連接的道路條數(shù)即為該交叉點(diǎn)的度.例如，交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào)1的度為3.根據(jù)地圖可以得到每個(gè)交叉點(diǎn)的度.交叉點(diǎn)的度越大，就意味著這個(gè)交叉點(diǎn)的中心性越高，表示該交叉點(diǎn)越重要.因此，可以將連接道路兩端的交叉點(diǎn)的度的均值作為該段道路的權(quán)重.例如，地圖中交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào)1與標(biāo)號(hào)2之間道路的權(quán)重為3，交叉點(diǎn)標(biāo)號(hào)2與標(biāo)號(hào)3之間道路的權(quán)重為3.5，按照此法依次可以確定公園中各路段的權(quán)重.

子問(wèn)題2：如何確定尋找身份證的近似最優(yōu)策略？

類似地，確定好各路段的權(quán)重后，利用初中階段解決問(wèn)題的步驟和方法，分別確定近似最優(yōu)尋找路線，并計(jì)算找到身份證的概率.初中階段解決問(wèn)題的步驟中，第4步“局部調(diào)整所選道路，確保所選道路連通且盡量不走重復(fù)道路”在操作中有較大的隨意性，導(dǎo)致確定的尋找路徑不一定是最優(yōu)的，會(huì)直接影響找到身份證的概率.對(duì)此，可以鼓勵(lì)高中階段的學(xué)生自學(xué)圖論中經(jīng)典的Dijkstra算法，來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化尋找策略，找到最佳策略并提高找到身份證的概率.

4.拓展研究階段

驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題5：若在公園中丟失的是一只寵物，你將如何制訂尋找策略？

若丟失的是一件物品，則丟失物品所在地點(diǎn)是固定的，但若丟失的是寵物，則其所在位置是隨時(shí)變化的.尋找目標(biāo)由靜止變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)，無(wú)疑會(huì)增加問(wèn)題解決的難度，問(wèn)題的真正解決是長(zhǎng)期探索的過(guò)程，不可能一帆風(fēng)順，這會(huì)激發(fā)學(xué)生深度探究的欲望并培養(yǎng)學(xué)生克服困難的品質(zhì)，同時(shí)在學(xué)生心中埋下不斷探索的種子，激勵(lì)學(xué)生不斷地學(xué)習(xí)和思考.

上述案例以“尋找公園中丟失的身份證”為主題，始終圍繞“尋找策略的確定”和“找到身份證概率的分析”這兩個(gè)任務(wù)展開(kāi)探究，通過(guò)設(shè)計(jì)符合學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)的5個(gè)驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題和進(jìn)階性任務(wù)，將小學(xué)中年段、小學(xué)高年段、初中階段、高中階段和拓展研究階段串聯(lián)起來(lái)，形成中小學(xué)各學(xué)段數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)在同一主題和任務(wù)下的整體構(gòu)建、一體設(shè)計(jì)及實(shí)施，實(shí)現(xiàn)了中小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)橫向?qū)W科融合、縱向主題貫通的目標(biāo).

四、總結(jié)反思

綜合實(shí)踐活動(dòng)案例的選擇最好是學(xué)生身邊常見(jiàn)的現(xiàn)象，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)解決問(wèn)題所用的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法要被大部分學(xué)生所了解，以提高學(xué)生的積極性.上述案例中的情境來(lái)自學(xué)生熟悉的公園，且盡量保持情境的真實(shí)性，體現(xiàn)了創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境的原則；各學(xué)段的任務(wù)均以制訂尋找身份證的策略這一相同任務(wù)展開(kāi)，背景主題和待解決的問(wèn)題始終貫穿于中小學(xué)各個(gè)學(xué)段，體現(xiàn)了一體貫通原則；各學(xué)段雖然均是以制訂尋找身份證的策略為任務(wù)，但是在具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，由于數(shù)學(xué)模型的選擇是開(kāi)放的，因此學(xué)生不同的思考方向和對(duì)不同數(shù)學(xué)工具的使用，都會(huì)使解決問(wèn)題的方案和策略有所差異，體現(xiàn)了開(kāi)放融通的原則；隨著學(xué)段的遞進(jìn)，在充分考慮學(xué)生特點(diǎn)和思維發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，子問(wèn)題的任務(wù)和目標(biāo)由易到難逐步進(jìn)階，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)原則；雖然各學(xué)段驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題均是以尋找身份證為目標(biāo)，但是各學(xué)段對(duì)解決問(wèn)題的準(zhǔn)確度要求不同，充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識(shí)儲(chǔ)備，體現(xiàn)了求同存異原則；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理、地理等學(xué)科知識(shí)和思維，具有跨學(xué)科綜合學(xué)習(xí)特征，學(xué)生還要經(jīng)歷實(shí)地考察、測(cè)量、調(diào)研等實(shí)踐活動(dòng)，充分體現(xiàn)了綜合實(shí)踐原則.

通過(guò)構(gòu)建同一主題、一體化設(shè)計(jì)中小學(xué)貫通式培養(yǎng)的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)案例，可以將創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育階段.中小學(xué)一體化數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)計(jì)和實(shí)施，是整體性、動(dòng)態(tài)性、時(shí)序性和層次性的統(tǒng)一.中小學(xué)各學(xué)段在同一主題、不同進(jìn)階性任務(wù)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題的驅(qū)使下，通過(guò)整體構(gòu)建跨學(xué)科并兼顧跨學(xué)段學(xué)習(xí)、實(shí)踐的活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)同一學(xué)習(xí)主題在各學(xué)段的一以貫之，學(xué)習(xí)內(nèi)容跨學(xué)段縱向銜接，中小學(xué)各學(xué)段融合聯(lián)動(dòng)、貫通培養(yǎng)，進(jìn)而達(dá)到跨學(xué)科、跨學(xué)段整體、協(xié)同育人的目標(biāo).

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