“雙減”背景下初中數學開放型作業設計

摘 要： 數學開放型作業具有內容豐富、策略靈活、評價多元等優勢，高度契合了“雙減”政策對作業減負增效的要求，是數學學科核心素養培育的重要載體。開放型作業分為條件開放型、結論開放型、策略開放型、綜合開放型和項目實踐型5 種類型。基于此，文章呈現了數學開放型作業設計的5 個案例。課例實踐證明，教師應該在控量的原則下，設計數學開放型作業，進而真正實現“雙減”后的“增效”，更好地促進學生的全面發展。

關鍵詞：“ 雙減”；初中數學；開放型作業設計

2021 年7 月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳頒布了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），明確要求減輕義務教育階段學生的作業負擔，并提出要提高作業設計質量，鼓勵布置分層、彈性和個性化作業，以促進學生全面發展，落實立德樹人的根本任務。作業作為教學過程的重要環節，是課堂教學的延伸和拓展，是促進學生理解和掌握數學知識的重要手段，是落實數學學科核心素養的重要載體，也是優化評價、改進教與學的重要依據。但是，傳統的數學作業往往都是封閉性的問題，題目的結構、條件與結論呈現封閉的特征：條件正好，方法固定，答案確定。學生在解答時思維固化，方法機械重復，實踐能力和創新精神得不到有效發展。如何科學、合理設計數學作業，從而真正實現減負增效，這是一個需要廣大教師深入思考與研究的重要問題。

一、數學開放型作業的概念及設計原則

1. 數學開放型作業的概念

初中數學開放型作業是以富有實踐性、創造性的學生活動為主要形式，以學生積極探索、合作交流為主要特征，以培養能力、提升素養為目的的一種作業模式。學生可以在不同的條件組合下，探索問題形成的多種可能性；形成自己的思考方式和解題策略，擁有更大的選擇權；作業答案指向合理性要求，不規定標準答案，答案可以多樣化。戴再平等根據命題的要素，將開放型作業的問題類型分為以下四種：條件開放、結論開放、策略開放和綜合開放。筆者在此基礎上，增加了項目實踐型作業。

2. 數學開放型作業的設計原則

作業的設計原則是確保作業內容科學、有效的重要保障。通過實踐，筆者認為在設計數學開放型作業時，應遵循以下原則。

（1）主體性與目標性原則

學生是學習的主體。因此，“雙減”背景下的數學開放型作業，必須堅持以學生為主體的原則。教師應綜合考慮學生的能力發展水平和學習規律的差異，設計分層次的作業供學生自主選擇。通過設計豐富的作業形式和內容，給予學生多樣的學習體驗，從而滿足不同學生的發展需求。為了調動學生的積極性，開放型作業的評價方式應該是多元化的，并且鼓勵學生之間互相評價，促進彼此交流與學習。作業目標是開展作業設計的基礎。設計開放型作業時，應立足課程標準，以教材為依據，明確作業的教學目標，把握重點和難點，有針對性和實效性地幫助學生達成學習目標。

（2）可控性與系統性原則

“雙減”背景下的數學開放型作業設計必須滿足可控性原則，即作業量和作業難度的可控。教師需對各層次的學生完成作業的用時進行較為準確的預估，避免因作業量安排不合理而加重學生作業負擔。同時，還需根據學生的能力來衡量作業的難度，設計既有挑戰性又可達成的問題，避免設計“拔苗助長”的作業，導致學生產生“望題生畏”的情緒。另外，不同課時中的數學知識并不是獨立分散的，尤其是同一單元的數學知識，它們往往相互關聯、相輔相成。所以，在設計數學開放型作業時，應重視對相關知識進行系統化整合，按照知識之間的邏輯順序和學生的認知順序，逐步遞進地進行設計，以便學生在完成作業的同時構建起完整的知識體系。

（3）實踐性與科學性原則

“雙減”政策的減負增效僅體現在書面作業上是不夠的，為了培養學生的核心素養，數學開放型作業的設計需與真實情境相結合，引導學生在真實生活中，運用所學數學知識解決實際問題，讓學生切實體會到數學在社會生活中的廣泛應用。數學是一門嚴謹的科學，因此，開放型作業所設計的內容和情境必須真實、準確。

二、數學開放型作業的設計案例

1. 條件開放型作業，激活學生的逆向思維

條件開放型作業要求學生在已知問題結論的情況下，逆向探查原因，思考可能導致這個結論的條件。條件開放型作業往往起點較低，學生完成作業時容易獲得成就感，并能激活其逆向思維。教師可以依據作業目標，精選教材中的題目，隱去題目的條件，就可得到條件開放型作業。以下是筆者對教材中的題目重新設計而成的條件開放型作業。

案例1 已知：如圖1，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分線，過點D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F。請你再添加一個條件___________，使△DBE ≌ △DCF。

本題是根據教材八年級第一學期第114 頁的課后練習1 改編所得。這是一道考查角平分線定理和全等三角形判定方法的問題，屬于條件開放型作業。學生可以先利用角平分線定理，推導出DE=DF，∠DEB=∠DFC，再從邊或角的角度逆向考慮全等所需要的條件。

2. 結論開放型作業，開拓學生思維的廣度與深度

結論開放型作業的答案不唯一，讓學生在已知條件下探索多種可能的答案。這樣的作業既能提高學生的興趣，又能幫助學生多維度、更深入地掌握數學知識，領悟知識之間的關聯性，進而開拓思維的廣度與深度。教師可以弱化條件，使題目的結論多樣化。以下是筆者將教材中的一道封閉題的固定條件弱化為具有選擇性的條件，從而使題目的結論具有開放性。

案例2 已知：如圖2，點B、C 分別在∠EAF 的邊AE、AF 上，過B、C 兩點作BN ⊥ AC、CM ⊥ AB，垂足分別為N、M，BN 與CM 相交于點P，連結AP。

請從①AB=AC，②BP=CP，③PM=PN 中選取兩個為題設，第三個為結論，為真命題的有___種，請選取其中一個真命題加以證明。

案例2 是由教材改編的，筆者將命題、角平分線定理和逆定理、全等三角形的判定和性質等知識點有效結合，屬于結論開放。學生需要運用分類討論的思想，得到3 種命題，隨后推理論證其真假，并用嚴謹的數學語言表達論證的過程。本題突出了數學知識之間的聯系，引導學生善用數學思想方法，能夠將陌生的數學問題轉化為已學的數學知識。

3. 策略開放型作業，發展學生的邏輯推理能力

策略開放型作業是指思維策略和解題方法不唯一，鼓勵學生以適當的方式進行探究，只要言之有理，所得到的結論和策略都能成立。以案例3 為例，學生可以更自由地構建條件和關系，并從多角度、多途徑尋找解題思路，進一步完善知識結構。鑒于該作業所涉及思維量的特點，時間上可設定為長期作業，難度應符合學生的認知水平。筆者以教材中平行四邊形判定方法的研究為背景，設計以下作業：

案例3 關于平行四邊形的判定，其依據有平行四邊形的定義和四個判定定理，它們都是從邊、內角、對角線三個視角揭示了平行四邊形的本質屬性。小麗在學習完本章節內容后，聯想到能否把邊、角、對角線的條件進行其他組合，推出這個四邊形是平行四邊形。于是，她猜想：“一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形。”

①請你判斷小麗的猜想是否正確？如果正確，請加以證明；如果不正確，請說明理由。

②你能模仿小麗，獲得其他猜想嗎？

③你能判斷所得猜想是否正確，并說明理由嗎？然后以小組為單位進行歸納與整理。

以上作業是定理的延伸和拓展，靈活銜接了課堂學習和課后作業，也能激發起學生的好奇心和探究欲。以小麗的猜想為例，每一小問都在為學生搭建起探究的“腳手架”，層層深入，引導學生經歷猜想、論證、類比、歸納的過程，體會數學問題中“變”與“不變”的內涵以及分類討論的思想，同時鼓勵學生進行數學表達，促進學生從不同角度，運用不同策略來解決問題，以推動知識的內化與創新。

4. 綜合開放型作業，提升學生的遷移能力

綜合開放型作業至少應具備兩個元素顯示出開放性的特征，能夠促進基本思想的形成、關鍵能力的發展和思維品質的提升。教師應立足單元，合理組織作業內容，科學設計具有典型性、漸進性、層次性的綜合開放型作業。如案例4，學生感悟公式的形成與發展，提升抽象能力和遷移能力。

案例4 在“圓的面積（1）”這一課時的學習中，我們通過把圓等分成若干份，再按圖3 中的方法拼起來，以此推導出圓的面積公式。可以發現，圓等分的份數越多，拼成的圖形越接近于一個長方形，這個長方形的面積也越接近于圓的面積。

類比上述方法，接下來，我們一起動手試一試，剪下圖4 中的圓環，把圓環平均分成9 等份，嘗試把它們拼成我們已學過的圖形。

①在這一過程中，可以將這個圓環轉化為近似的________形。

②可以把圓環的面積近似看成________的面積。

③把圓環等分的份數越多，拼成的圖形越接近于一個________，圓環的面積也就越接近于________的面積。

④設大圓和小圓的周長分別為C1、C2，環寬為d，那么我們可以猜想圓環的面積公式等于________。

⑤（選做題）閱讀材料∶

兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方的差。

例如，（a + b）（a - b） = a2 - b2。

結合閱讀材料和圓面積的推導過程，思考你的猜想正確嗎？如果正確，請寫出推導過程；如果不正確，請說明理由。

綜合開放型作業是利用教材中圓面積公式的推導方法進行圓環面積公式的研究。以裁剪圓環的實踐活動得到猜想，再論證猜想，學生不僅實現了知識的遷移，還增強了知識生成過程的體驗感。另外，教師可以根據學生的需求設計分層作業，供學有余力的學生選做。

5. 項目實踐型作業，加強學生的應用與創新意識

項目實踐型作業為學生提供了運用數學知識解決實際問題的契機，同時讓學生感受到數學在實際生活中的價值。項目實踐型作業指完成時間不受課時約束，以探索規律、拓寬視野、實踐應用等為主要目標的數學作業。它能夠給予學生更多的選擇權，進而開發學習潛能，拓寬視野，形成應用與創新的意識。設計項目實踐型作業時，教師應基于學情，預設實施要求，注重反饋學生在實踐過程中運用數學知識的表現，鼓勵學生采取小組合作的學習方式，引導學生分項目、分階段地完成作業，并適時給予建議和幫助。

案例5 環城河步道面積測算

嘉定環城河是上海保存完好且仍在發揮功能的古代護城河河道，通過統籌兩岸的步道、綠化、駁岸、燈光和配套設施等布局，借水造景、依水建綠，使城市生態環境和沿岸空間功能得到整體提升。貫通后的環城河步道內圈工程總長度約6.5 公里，共串聯起嘉定的十余個公園綠地，古城墻、水關與環城綠帶連成一體，形成一個完整的閉環。

任務①測量：以環城河步道全局規劃圖為依據，以小組為單位，自主設計方案，選用適當工具測量環城河步道內圈周長和外圈周長。簡要說明測量環城河步道內圈、外圈周長的方法，完成一份測量活動報告（見表1）。建議嘗試不同的測量方法，在組內交流并開展分析比較。

任務②計算：根據你學過的知識，試求環城河步道規劃區域的占地面積。

任務③展示：以小組為單位，設計一份PPT 電子簡報，選派代表為全班同學進行演示和講解。

學生在完成項目實踐型作業的過程中，結合嘉定區環城河步道建設規劃，綜合運用本單元所學知識，以小組為單位實地測量和計算環城河步道建設面積。內容包含調查統計、實踐操作、分組合作、反思總結、交流展示等活動。本項作業可以從多維度進行評價，建議區分個人評價和團隊評價，分別設置個人和團隊獎項。可以從三個方面進行評價：對每位學生提交的“測算活動報告”的內容進行評價，小組成員進行組內互評，班級全體學生對小組匯報進行評價。評價指標、評價要點及各項比重可參考表2。

開放型作業的評價不僅要關注學生學習的結果，還應重視對學習過程的評價。為了更全面科學地實施過程性評價，教師可以設計有效可行的評價工具，如學習過程評價量表等。多元評價機制的建立，讓每一位學生都能獲得成就感，激發其全面發展。

三、體會與反思

“雙減”政策的目的并非簡單地減少學生的學業負擔，而是為了更好地促進學生的全面發展。因此，在“雙減”政策和新課程標準的背景下，教師需轉變對數學作業的傳統觀念，加強開放型作業的設計已成為應然之舉。具體來說，教師應充分了解數學開放型作業的類型與功能。條件開放型作業能夠激活學生的逆向思維；結論開放型作業能夠開拓學生思維的廣度與深度；策略開放型作業能夠發展學生的邏輯推理能力；綜合開放型作業能夠提升學生的知識遷移能力；項目實踐型作業能夠加強學生的應用與創新意識。此外，數學開放型作業設計也應該是綜合性的作業設計，在控量的原則下，豐富開放型作業的形式和內容，提高開放型作業設計的質量。在開放型作業實施的過程中，筆者認識到，教師需要根據學生的反饋對作業進行調整和優化，從而更加精準地支持學生的學習，真正做到減負增效。