難題引入，逐層化解

摘要：含參二次函數的最值問題，是近幾年數學中考的熱點問題，也是初中數學的難點問題。對此，設計一節微專題復習課，引導學生從簡單的情況入手，層層遞進（包括從不限制自變量的取值范圍到限制自變量的取值范圍，從確定的取值范圍到不確定的取值范圍，從確定的表達式到不確定的表達式，從正向的求最值到逆向的求參數）突破難點，同時，體會特殊與一般、數形結合、分類討論、方程等思想的意義與作用。

關鍵詞：初中數學；二次函數的最值問題；微專題復習課

近年來，為了進一步提升數學中考復習效果，教師通常會引導學生在第一輪的知識模塊復習、第二輪針對常見題目類型和解題策略的大專題復習的基礎上，展開第三輪針對更具體的題目類型和解題策略的微專題復習。［1］微專題復習課的教學不僅需要選擇恰當的主題，而且需要組織典型的題目（使它們相互關聯、層層遞進），同時需要設計合理的過程。本文主要呈現筆者對《含參二次函數的最值問題》微專題復習課的思考與設計。

一、 教前思考

含參二次函數的最值問題，是近幾年數學中考的熱點問題，也是初中數學的難點問題。學生在初中數學課程中學習過“二次函數的圖像和性質”，從特殊到一般地認識到：二次函數y=ax2+bx+c的圖像是一條拋物線，它的頂點坐標是-b2a，4ac-b24a，對稱軸是直線x=-b2a；若a＞0，則拋物線開口向上，當x＜-b2a時y隨x的增大而減小，當x＞-b2a時y隨x的增大而增大，當x=-b2a時y取最小值4ac-b24a；若a＜0，則拋物線開口向下，當x＜-b2a時y隨x的增大而增大，當x＞-b2a時y隨x的增大而減小，當x=-b2a時y取最大值4ac-b24a。

由此，在不限制自變量取值范圍的情況下，很容易求出確定（不含參數）的二次函數的最值，也不難求出不確定（含參數）的二次函數的最值（用含參數的式子表示即可）。但是，在限制自變量取值范圍的情況下，求確定（函數的表達式和自變量的取值范圍不含參數）的二次函數的最值就有一點難度了：需要考慮圖像頂點（或對稱軸與x軸交點）的橫坐標在自變量取值范圍的左側、右側還是內部，并且結合圖像的開口（二次項系數的正負）情況確定函數值隨自變量增大的增減情況（單調性）。求不確定（函數的表達式或自變量的取值范圍含參數）的二次函數的最值的難度就更大了：需要對參數的取值情況進行討論，從而確定圖像頂點的橫坐標在自變量取值范圍的左側、右側還是內部。此外，逆向設計，即“已知最值，要求二次函數（即求函數表達式或自變量取值范圍中的參數）”，也會增加問題的難度。可見，這類問題除了考查學生的二次函數圖像和性質知識，還能很好地考查學生的數形結合、分類討論等思想及數學運算、邏輯推理能力。

基于上述分析，筆者針對含參二次函數的最值問題，設計了一節微專題復習課，引導學生從簡單的情況入手，層層遞進（包括從不限制自變量的取值范圍到限制自變量的取值范圍，從確定的取值范圍到不確定的取值范圍，從確定的表達式到不確定的表達式，從正向的求最值到逆向的求參數）突破難點，同時，體會特殊與一般、數形結合、分類討論、方程等思想的意義與作用。

二、 教學設計

（一） 難題引入：激發動力，引導方向

教師出示問題：

已知二次函數y=x2-2mx-3（m為常數），若在自變量x的值滿足2m≤x≤2m+1的情況下，函數值y的最小值為-6，求二次函數的解析式。

課始便將問題的難度“拉滿”：限制自變量的取值范圍；函數的表達式和自變量的取值范圍都含參數；已知最值，要求二次函數。一方面，鼓勵學生正視困難、迎接挑戰，激發學生的學習動力；另一方面，啟發學生化難為易、化生為熟，引導學生的思考方向。

（二） 逐層化解：從易到難，解決問題

1. 取值范圍無限制、表達式確定的問題

教師出示問題：

求出二次函數y=x2-2x-3的頂點坐標、開口方向，說出其對稱軸、最值和增減性。

通過特殊化（不限制自變量x的取值范圍，設參數m=1）和正向化手段，將問題的難度降到最低，變成學生非常熟悉的具體二次函數性質的問題。全面考查二次函數的性質，一方面，可以激活學生數形結合的研究經驗，為后續探究打好方法基礎；另一方面，可以引導學生發現“頂點坐標蘊含對稱軸信息，結合開口方向可得最值和增減性”，為后續在限制自變量取值范圍的情況下考慮圖像頂點的橫坐標在取值范圍的左側、右側還是內部（從而確定自變量取值范圍內函數的增減性）做好鋪墊。

2. 取值范圍有限制且確定、表達式確定的問題

教師出示問題：

已知二次函數y=x2-2x-3，在自變量相應的范圍內分別求出函數的最值。

（1） -2≤x≤0，當x=時，y最小值=；當x=時，y最大值=。

（2） 2≤x≤4，當x=時，y最小值=；當x=時，y最大值=。

（3） -2≤x≤2，當x=時，y最小值=；當x=時，y最大值=。

（4） -2≤x≤4，當x=時，y最小值=；當x=時，y最大值=。

（5） 0≤x≤4，當x=時，y最小值=；當x=時，y最大值=。

通過限制自變量的取值范圍，初步提升問題的難度。因為不含參數，學生不難作出函數的精確圖像（如圖1所示），在相應的范圍內找出圖像的最高點和最低點，從而得到函數的最大值和最小值。五個小題給出的五個范圍具有代表性，可以引導學生發現一般規律：圖像頂點的橫坐標在自變量取值范圍的左側或右側時，函數的兩個最值分別在自變量取值范圍的兩個臨界點處取得；圖像頂點的橫坐標在自變量取值范圍的內部時，函數的兩個最值分別在圖像的頂點處和自變量取值范圍的離圖像頂點更遠的臨界點處取得。

3. 取值范圍有限制、取值范圍或表達式不確定的問題

教師出示問題：

已知二次函數y=x2-2x-3，當x1≤x≤x2時，求函數的最大值和最小值。

通過讓自變量的取值范圍不確定（含參數），進一步提升問題的難度。有了上面的一般規律，學生能夠依據函數的精確圖像（圖1），先確定圖像頂點的橫坐標為1，然后分x2≤1、x1+x22≤1≤x2、x1+x22=1、x1≤1≤x1+x22、1≤x1這五種情況，求出函數的最大值和最小值分別為x21-2x1-3和x22-2x2-3、x21-2x1-3和-4、x21-2x1-3或x22-2x2-3和-4、x22-2x2-3和-4、x22-2x2-3和x21-2x1-3。教師可以適當引導。

教師出示問題：

已知二次函數y=x2-2mx-3（m為常數），當-1≤x≤2時，求函數的最大值和最小值。

通過讓函數的表達式不確定（為控制難度，只設了一個其實就是圖像頂點橫坐標的參數），進一步提升問題的難度。這時，教師可以引導學生畫出函數的草圖（如下頁圖2所示），即讓學生認識到：函數圖像開口方向和開口大小確定（由二次項系數決定，和之前的函數圖像一樣），但在坐標系中的位置（上下左右）不確定，為了不引起誤解，可以去掉坐標系。有了上面的一般規律，學生能夠依據函數的草圖，先確定圖像頂點的橫坐標為m，然后分2≤m、12≤m≤2、12=m、-1≤m≤12、m≤-1這五種情況，求出函數的最大值和最小值分別為2m-2和1-4m、2m-2和-m2-3、-1和-134、1-4m和-m2-3、1-4m和2m-2。

4. 取值范圍有限制、取值范圍和表達式不確定的問題

教師出示問題：

已知二次函數y=x2-2mx-3，當x1≤x≤x2時，求函數的最大值和最小值。

通過讓自變量的取值范圍和函數的表達式不確定，再提升問題的難度。有了上面的一般規律，學生能夠依據函數的草圖（圖2），先確定圖像頂點的橫坐標為m，然后分x2≤m、x1+x22≤m≤x2、x1+x22=m、x1≤m≤x1+x22、m≤x1這五種情況求出函數的最大值和最小值。這時，學生能感受到結果的煩瑣：表達式中一般含有三個字母，至少含有一個字母m。從而體會到問題的難度。

5. 逆向問題

教師提問：含參二次函數的最值問題還有什么可能？學生會想到圖像開口向下的情況。教師引導：這種情況和開口向上的情況沒有本質的不同，只是“小變大、大變小”而已。學生能再想到逆向問題。教師引導學生認識到這樣的問題難度可能進一步加大，從而設法適當控制難度，即將自變量取值范圍中的參數x1、x2都用函數表達式中的參數m表示，且只考慮一種最值，由此回到課始的問題：

已知二次函數y=x2-2mx-3（m為常數），若在自變量x的值滿足2m≤x≤2m+1的情況下，函數值y的最小值為-6，求二次函數的解析式。

有了前面的解題經驗及規律總結，在只考慮最小值的情況下，學生能夠分2m+1≤m（即m≤-1）、2m≤m≤2m+1（即-1≤m≤0）、m≤2m（即0≤m）這三種情況求出函數的最小值分別為2m-2、-m2-3、-3，然后分別令2m-2、-m2-3等于-6，結合取值范圍檢驗得到m=-2。由此，教師可以引導學生認識：解決逆向問題時，首先要帶著參數（有時可能要假設參數）解決正向問題，然后可根據已知的最值求出待定的參數，這其實是方程思想的體現。

最后，教師引導學生回顧上述問題解決過程，梳理出“將一般的問題特殊化，從簡單的情況入手，總結解題經驗，發現解題規律，進而解決更復雜的問題”的思路，并感悟其中蘊含的特殊與一般、數形結合、分類討論、方程等思想。

參考文獻：

［1］ 李庾南，劉東升.初中數學復習課的細分與教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2024（3）：4750.