一圖一課：對(duì)簡單問題做深度思考*

摘要：《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》復(fù)習(xí)課可以基于初學(xué)時(shí)“以形助數(shù)”的研究方法，圍繞二次函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生從“根據(jù)圖像回憶性質(zhì)”這一簡單問題出發(fā)，發(fā)散關(guān)聯(lián)內(nèi)容，拓展變化問題，從而在連續(xù)不斷地思考中，梳理二次函數(shù)的基本性質(zhì)，形成性質(zhì)運(yùn)用的有關(guān)問題，并且體會(huì)數(shù)學(xué)思考的基本方法，感悟知識(shí)遷移的關(guān)鍵路徑。即以“一圖一課”的方式實(shí)現(xiàn)“簡單問題，深度思考”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“思維之道”。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；復(fù)習(xí)課；數(shù)學(xué)思維

一、 從數(shù)學(xué)的“思維之道”說起

著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生說過：數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在知何由以知其所以然”，由此才能實(shí)現(xiàn)“啟發(fā)學(xué)者，示以思維之道”的教學(xué)。［1］那么，數(shù)學(xué)的“思維之道”是什么呢？人教版高中數(shù)學(xué)主編劉紹學(xué)先生說過：數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的。也就是說，數(shù)學(xué)是合情理的、能夠想到的，講道理的、連續(xù)漸進(jìn)的。［2］高考數(shù)學(xué)命題專家葛軍教授進(jìn)一步說：簡單問題，深度思考。［3］即從簡單的問題入手，以“玩”（非功利）的心態(tài)，按照一定（不失靈活性）的邏輯（標(biāo)準(zhǔn)），不斷拓展變化，走向深廣。這是一個(gè)極好的概括。眾多數(shù)學(xué)家的思維過程都表現(xiàn)出這樣的特點(diǎn)，尤其體現(xiàn)在很多經(jīng)典科普作品中，比如伽莫夫的《從一到無窮大》、華羅庚的《從楊輝三角談起》《從祖沖之的圓周率談起》《從孫子的“神奇妙算”談起》、張景中的《從2談起》……很多數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)思維過程（如何“想得到”）也有類似的體會(huì)：基于已有知識(shí)（認(rèn)識(shí)），運(yùn)用一般觀念（思想）。［4］這樣的思維過程不僅能展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維之道（體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性精神），而且能串聯(lián)起數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)（如公理化體系），同時(shí)，有助于提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極信念。因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的思維過程。

二、 《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》復(fù)習(xí)教學(xué)如何實(shí)現(xiàn)“簡單問題，深度思考”

（一） 教前思考

蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊第5章《二次函數(shù)》的核心內(nèi)容是“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”和“建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題”。該章的第一節(jié)復(fù)習(xí)課可以重點(diǎn)復(fù)習(xí)“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”。

通常的復(fù)習(xí)課分為兩個(gè)部分：回憶有關(guān)知識(shí)，建立知識(shí)體系；解決綜合問題，鞏固知識(shí)體系。這樣的復(fù)習(xí)課常常是片段式的，缺少思維的連貫性：學(xué)生在教師的要求下完成一個(gè)個(gè)梳理知識(shí)、解決問題的任務(wù)，但不知道這些任務(wù)之間的聯(lián)系。

而《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》復(fù)習(xí)課可以基于初學(xué)時(shí)“以形助數(shù)”的研究方法，圍繞二次函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生從“根據(jù)圖像回憶性質(zhì)”這一簡單問題出發(fā)，發(fā)散關(guān)聯(lián)內(nèi)容，拓展變化問題，從而在連續(xù)不斷地思考中，梳理二次函數(shù)的基本性質(zhì)（自然地得到拓展的性質(zhì)），形成性質(zhì)運(yùn)用的有關(guān)問題（自然地得到解題的思路），并且體會(huì)數(shù)學(xué)思考的基本方法，感悟知識(shí)遷移的關(guān)鍵路徑。即以“一圖一課”的方式實(shí)現(xiàn)“簡單問題，深度思考”。

（二） 教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課預(yù)設(shè)以下問題（解答），引導(dǎo)學(xué)生展開連續(xù)不斷的思考：

問題1：觀察圖1，你能發(fā)現(xiàn)什么？想到什么？

思路或回答：這是二次函數(shù)的圖像，可以設(shè)該二次函數(shù)的表示式為y=ax2+bx+c（a≠0）；圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，頂點(diǎn)在x軸下方，所以a＞0，-b2a＜0，4ac-b24a＜0，可得b＞0，b2-4ac＞0，并且當(dāng)x≤-b2a時(shí)y隨x的增大而減小，當(dāng)x≥-b2a時(shí)y隨x的增大而增大，當(dāng)x=-b2a時(shí)，y取最小值4ac-b24a；與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在正半軸和負(fù)半軸上，所以

c＜0，且當(dāng)-b-b2-4ac2a＜x＜-b+b2-4ac2a

時(shí)y＜0，當(dāng)x＜-b-b2-4ac2a或x＞-b+b2-4ac2a時(shí)y＞0，當(dāng)x=-b±b2-4ac2a時(shí)y=0。

［設(shè)計(jì)意圖：濃縮初學(xué)時(shí)“以形助數(shù)”研究二次函數(shù)性質(zhì)的過程，提出簡單的“看圖說話”問題，幫助學(xué)生激活記憶，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散關(guān)聯(lián)，梳理二次函數(shù)的性質(zhì)。二次函數(shù)的性質(zhì)比較多，引導(dǎo)學(xué)生梳理的基本脈絡(luò)是：從開口、頂點(diǎn)（包含對(duì)稱軸、最值信息）到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從對(duì)稱性到增減性，從函數(shù)到方程與不等式。］

問題2：根據(jù)圖2，你能得到什么？

思路或回答：根據(jù)二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A（-3，0）、B（2，0）、C（0，-6），利用待定系數(shù)法，設(shè)出一般式或兩根式，求得二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+x-6［即y=（x+3）（x-2）］；進(jìn)而，得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)-12，-254、對(duì)稱軸方程x=-12、最小值y=-254以及增減性、對(duì)應(yīng)二次方程和不等式的解。

［設(shè)計(jì)意圖：從一般到特殊，引導(dǎo)學(xué)生具體給出圖像上一些特殊點(diǎn)的信息，繼續(xù)提出“看圖說話”的問題，從而復(fù)習(xí)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；同時(shí)，從以形助數(shù)到以數(shù)定形，引導(dǎo)學(xué)生感受二次函數(shù)一般性質(zhì)最簡單的應(yīng)用，即代入特殊值計(jì)算。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，解決二次函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用問題，關(guān)鍵是確定特殊點(diǎn)（如頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），觀察圖形，得到相應(yīng)的式子。這里，也可引導(dǎo)學(xué)生給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)的特別之處，即“一個(gè)頂倆”：只需要再給出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出二次函數(shù)的解析式。由此可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式。］

問題3：（1） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若-2≤x≤3，求y的取值范圍；

（2） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若m≤x≤m+1，求y的取值范圍；

（3） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若m≤x≤n，求y的取值范圍。

思路或回答：（1） 作出二次函數(shù)的圖像和直線x=-2、直線x=3，如圖3所示；圖像的對(duì)稱軸方程為x=-12，因?yàn)?2≤-12≤3，3到-12的距離比-2到-12的距離大（對(duì)應(yīng)的y值也大），所以，當(dāng)x=-12時(shí)y取最小值-254，當(dāng)x=3時(shí)y取最大值6，當(dāng)-2≤x≤3時(shí)-254≤y≤6。（2） 作出二次函數(shù)的圖像，整體移動(dòng)圖像上的點(diǎn)M（m，y1）、N（m+1，y2），作出它們在對(duì)稱軸的左側(cè)、兩邊、右側(cè)這三種可能的情況，如圖4所示；第一種情況下，當(dāng)x最小時(shí)y最大，當(dāng)x最大時(shí)y最小；第三種情況，與第一種情況相反；第二種情況，當(dāng)x=-12時(shí)y取最小值-254，當(dāng)x取m、m+1中到-12的距離大的時(shí)y取最大值。（3） 作圖后類似（2）進(jìn)行討論……

［設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)是自變量與函數(shù)值之間關(guān)系的表達(dá)，其最基本的功能是由自變量的值求函數(shù)的值以及反過來由函數(shù)的值求自變量的值。從一般到特殊復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的基本性質(zhì)后，從“學(xué)”到“用”，針對(duì)具體二次函數(shù)（可以降低題目難度），引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)的基本功能，跳過過于簡單（已經(jīng)涉及）的求值問題，提出正向的求范圍問題（由自變量的范圍求函數(shù)值的范圍）。同時(shí)，為讓難度漸進(jìn)，從特殊到一般，提出三個(gè)問題。這是研究二次函數(shù)已有思維的連續(xù)發(fā)展。對(duì)此，教師要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：基于二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性（有兩個(gè)相反的增減性范圍），在觀察圖像的基礎(chǔ)上，確定圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與自變量可取的臨界值之間的大小關(guān)系，計(jì)算圖像頂點(diǎn)橫坐標(biāo)處和自變量可取的臨界值處的函數(shù)值，是解決這一類問題的關(guān)鍵。這里，還要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題過程中蘊(yùn)含的比較函數(shù)值大小的問題，發(fā)現(xiàn)有關(guān)的結(jié)論：開口向上時(shí)，自變量的取值離圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)越遠(yuǎn)，相應(yīng)的函數(shù)值越大；開口向下時(shí)，反之。］

問題4：（1） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若y≥m，求x的取值范圍；

（2） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若m≤y≤n，求x的取值范圍；

（3） 已知二次函數(shù)y=x2+x-6，若當(dāng)m≤x≤m+1時(shí)y的最小值為6，求m的值。

思路或回答：（1） 作出二次函數(shù)的圖像以及直線y=m在頂點(diǎn)的上方、經(jīng)過頂點(diǎn)和在頂點(diǎn)的下方這三種可能的情況，如圖5所示；第一種情況，求出方程x2+x-6=m的兩根（用m表示），則x的取值范圍在兩根之外；第二、第三種情況，x的取值范圍為整個(gè)實(shí)數(shù)集。（2） 作出二次函數(shù)的圖像以及直線y=m、y=n都在頂點(diǎn)的上方、分別在頂點(diǎn)的上下方、都在頂點(diǎn)的下方這三種可能的情況，如圖6所示；第一種情況，分別求出方程x2+x-6=m和x2+x-6=n的兩根（分別用m、n表示），則x的取值范圍在前一個(gè)方程的兩根之外、后一個(gè)方程的兩根之內(nèi)；第二種情況，求出方程x2+x-6=n的兩根（用n表示），則x的取值范圍在兩根之內(nèi)；第三種情況，x的取值范圍不存在。（3） 利用問題3（2）的結(jié)果，令最大值為6，解方程得到m的值。

［設(shè)計(jì)意圖：由正到反，繼續(xù)針對(duì)具體二次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)的基本功能，提出逆向的求范圍問題（由函數(shù)值的范圍求自變量的范圍）。同時(shí)，為了提高教學(xué)效率，略去最具特殊性的問題，提出兩個(gè)一般性漸進(jìn)的問題；并且提出一個(gè)稍作變化的問題，即函數(shù)值的范圍由最值給出，自變量的范圍用參數(shù)約束，通過求出參數(shù)的值，得到自變量的取值范圍，由此凸顯正向問題與逆向問題之間的聯(lián)系。對(duì)此，教師要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：這類問題實(shí)際上是解不等式的問題，與解方程的問題緊密聯(lián)系（方程是不等式的臨界情況），是代入求值問題的逆問題；解決這類問題的關(guān)鍵依然是借助圖像進(jìn)行分析，要注意圖像頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與函數(shù)值所在范圍的臨界值之間的大小關(guān)系。］

問題5：（1） 已知二次函數(shù)y1=x2+x-6，一次函數(shù)y2=-2x-2，若y1≤y2，求x的取值范圍；

（2） 已知二次函數(shù)y1=x2+x-6，一次函數(shù)y2=-2x-2，兩函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖像下方的二次函數(shù)圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），求△PAB面積的最大值。

思路或回答：（1） 作出已知二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像，如圖7所示；求出方程x2+x-6=-2x-2的兩根（即圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），則x的取值范圍在兩根之內(nèi)。或者：由x2+x-6≤-2x-2得x2+3x-4≤0，從而將原問題轉(zhuǎn)化為“已知二次函數(shù)y=x2+3x-4，若y≤0，求x的取值范圍”，即由二次函數(shù)函數(shù)值的范圍求自變量的范圍的問題。（2） 在已知二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上作出△PAB，如圖8所示；因?yàn)锳B是固定的，所以P到AB的距離最大時(shí)△PAB的面積最大；向下平移AB可以發(fā)現(xiàn)，平移到恰好在二次函數(shù)圖像下方，即與二次函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為到AB的距離最大的點(diǎn)P的位置；設(shè)AB平行線的函數(shù)表達(dá)式為y3=-2x+m，令y1=y3，即x2+x-6=-2x+m，由Δ=0求出m的值，易得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出△PAB面積的最大值。或者：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q，

可得S△PAB=S△PAQ+S△PBQ=12PQ|xB-

xA|=52PQ；設(shè)P（m，m2+m-6）（-4≤m≤1），則Q（m，-2m-2），PQ=-m2-3m+4，S△PAB=52（-m2-3m+4），不難求出S△PAB的最大值。

［設(shè)計(jì)意圖：從單一到綜合，先在具體二次函數(shù)的基礎(chǔ)上引入具體一次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生變一個(gè)函數(shù)值的范圍為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，繼續(xù)求自變量的范圍；再在固定的特殊點(diǎn)基礎(chǔ)上（也可設(shè)特殊點(diǎn)為二次函數(shù)圖

像與x軸的交點(diǎn)，以增設(shè)鋪墊性問題）引入

運(yùn)動(dòng)的非

特殊點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生變變量的取值范圍（代數(shù)問題）為動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（幾何問題），求三角形面積的最值。這里，學(xué)生的思維依然是連續(xù)發(fā)展的。對(duì)此，教師要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：解決問題的關(guān)鍵還是借助圖像進(jìn)行分析，只不過要關(guān)注兩個(gè)圖像，要注意圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)和圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)這種特殊情況。］

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