解題思維路徑優化在中考數學備考中的應用研究

曹敏

【摘? 要】? 本文圍繞中考數學備考中學生面臨的解題挑戰展開，深入探討解題思維路徑的優化方法.研究指出，盡管傳統解題方法在數學學習中具有基礎性作用，但在某些情境下可能并不是最高效的.通過引入并深化逆向思維法、分析與分類思維法以及創新思維法，本文旨在為學生提供更多元、更靈活的解題策略.實踐證明，這些方法不僅有助于提高中考數學的得分率，還能培養學生的創新能力和批判性思維，為他們的長遠發展奠定堅實基礎.

【關鍵詞】初中數學；創新思維；解題教學

中考數學作為學生升高中的關鍵一關，不僅檢驗了學生的基本數學知識與技能，還在很大程度上體現了學生的解題思維和方法.隨著社會發展和教育體系的進步，傳統的解題方法在中考備考中的應用已呈現出一定的局限性[1].學生在備考階段往往面臨思維障礙，而這種思維障礙往往導致他們在考試中無法完全發揮自己的實力.因此，對于學生來說，掌握并優化解題思維路徑對其中考成績有著至關重要的影響.本文將深入探討學生在中考數學備考過程中的挑戰和解題思維路徑的優化方法，旨在為學生提供更為有效的備考策略，提高他們的中考數學成績.

1? 學生在中考數學備考的常見挑戰

1.1? 傳統解題方法在中考備考中的局限性

中考數學的題型和難度都在逐年調整，傳統的解題方法多年來為大部分學生提供了一套相對穩定的答題技巧和思維模式.然而，這些傳統的方法在應對現今的中考數學題目時，逐漸暴露出其固有的局限性[2].首先，傳統解題方法往往偏重于固定模式和步驟，缺乏針對性和靈活性.面對一些新型或變種題目，這種按部就班的方法可能不適用，甚至可能導致學生陷入解題的誤區.其次，現代的中考數學題目更加注重考查學生的實際應用能力和綜合分析能力.而傳統的解題方法主要集中在技巧訓練和公式運用上，難以滿足對學生綜合能力的考查[3].此外，傳統方法中很多答題技巧與公式可能會被混淆或遺忘，而過度依賴這些技巧和公式的學生，在考試中一旦面臨不熟悉的題型或忘記某一關鍵步驟，容易產生心理恐慌，影響整體的答題狀態.

1.2? 學生在備考中遇到的思維障礙

在備考過程中，學生常常遭遇多種思維障礙，限制了他們的學習效率和解題能力.首先，固化的思維模式是備考中的一個主要障礙.許多學生習慣于遵循固定的解題步驟和策略，當遇到不符合這些固有模式的題目時，便感到困惑和不知所措.其次，缺乏批判性思維和分析能力是另一大障礙[4].中考數學題目越來越注重對學生邏輯推理和分析能力的考查，而一部分學生在此方面的培訓較為薄弱，導致他們在面對需要深度分析的題目時顯得手足無措.再者，對于錯誤的過度焦慮也是影響學生備考的一個思維障礙.對錯誤的害怕和對失敗的畏懼，往往導致學生在備考中過于保守，害怕嘗試和創新，從而錯過了許多提高和完善自己的機會.此外，部分學生存在依賴性思維，過于依賴教材、習題集和教師的指導，缺乏自主學習和思考的能力，導致他們在獨立解題時常常感到力不從心[5].

1.3? 思維路徑對中考成績的影響

在中考數學中，題目不僅考查學生對知識點的掌握程度，更在深層次上考核學生的思維質量和解題策略.思維路徑，作為解題過程中的關鍵組成部分，對中考成績產生了深遠的影響.

首先，明確而合理的思維路徑能夠指導學生迅速并準確地理解題意.當學生面對復雜的題目時，一個清晰的思維路徑能夠幫助他們迅速定位關鍵信息，判斷題目的類型和解題的方向，從而提高解題的效率.

其次，有效的思維路徑能夠幫助學生避免陷入解題的誤區.一些題目可能設計有迷惑性，或是故意設置陷阱，一個合理的思維路徑可以為學生提供一個避免誤解的指引，減少不必要的計算錯誤.

再者，思維路徑的多樣性意味著學生具備多種解題策略.在面對不同類型的題目時，學生可以根據題目的特點選擇最適合的思維路徑，這種靈活性使學生在答題時更為自如，進一步提高答題的正確率.

最后，思維路徑的深度和廣度直接關系到學生對題目的深入理解.深入的思維路徑能夠幫助學生挖掘題目背后的深層次邏輯和規律，從而更好地把握題目的實質，達到事半功倍的效果.

2? 解題思維路徑的優化方法與應用

2.1? 逆向思維法

逆向思維，即從問題的答案或已知條件出發，倒推問題的其他信息或未知條件.逆向思維強調從已知答案或結果出發，回溯至題目的初始條件，這與傳統的從問題到答案的線性思維方式相反.逆向思維訓練學生打破固有的思維模式，培養靈活性和開放性.在逆向思維中，學生必須從整體上考慮問題，綜合利用已知信息，這有助于培養學生的宏觀思考和綜合分析能力.下面將結合例題1進行詳細說明.

例1? 如圖1，已知拋物線y=x-3x-1.75的頂點為D，并與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．

（1）求點A，B，C，D的坐標．

（2）取點E（-1.5，0）和點F（0，-0.75），直線l經過E，F兩點，點G是線段BD的中點．

①判斷點G是否在直線l上，請說明理由．

②在拋物線上是否存在點M，使點M關于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

解? （1）令Y=0，

則，

整理得，

解得，

所以A （），B （），

令 X=0，則Y=，

所以C，，

.

（2）①

解得

所以直線L的解析式為，

所以線段BD的中點G的坐標為（），

當X=時，

所以點G在直線l上.

②在拋物線上存在點M，設拋物線的對稱軸與X軸的交點為H，則H的坐標為（）

直線L是線段BD的垂直平分線，

點D關于直線1的對稱點就是點B，

點M就是直線DE與拋物線的交點，

設直線DE的解析式為，

解得

所以直線DE的解析式為

聯立，

解得，

符合條件的點M有兩個，是（）或（）

2.2? 分類思維法

分類思維法是一種將問題進行分解、分類的思維策略.通過對問題的細致分析，識別問題中的關鍵要素，并根據不同的條件或特點將其分類，以便分別求解.這種方法的優勢在于，它能幫助學生對復雜問題有條不紊地進行思考，進而找到解決問題的方法或策略.下面，將結合例題進行詳細說明.

例2? 在△ABC中，C=90，AC=3，BC=4.若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是___.

（1）利用勾股定理計算斜邊AB的長度：

，

，

.

（2）為了找到與斜邊AB只有一個公共點的圓的半徑r的范圍，需要找到從C點垂直到斜邊AB的距離.由直角三角形的性質，面積也可以表示為：

，

斜邊AB上到點C的垂直距離（設為h）可以使用以下公式得出：

，

，

.

（3）分析與分類

分類1? 考慮當圓恰好與AB相切的情況.此時，半徑r的最大值為h = .

分類2? 考慮當圓完全位于△ABC內并且與AB不相交的情況.此時，半徑r的最小值是0.

綜合? 因此，當圓與斜邊AB只有一個公共點時，r的取值范圍為[0，）.

2.3? 創新思維法

創新思維法是一種不拘泥于傳統解題方法，而是通過獨特的觀點、新的分析角度或利用不常用的數學工具來尋找解題的方法.它鼓勵學生摒棄固有思維模式，勇于嘗試新的解題途徑，從而在復雜或新型問題面前找到答案.這種方法有助于培養學生的創新能力、邏輯思維和深入思考問題的能力.下面，將結合例題進行詳細說明.

例3? 定義：有一組對相等另一組對邊不相等的凸四邊形叫做“對等四邊形”，如圖2，在△PBC中，ZPCB=90°，點A在邊BP上，點D在邊CP上，如果BC=11，=12，AB=13，四邊形ABCD為“對等四邊形”，那么CD的長為? ? ? .

解? 點D的位置如圖3所示.

①CD=AB，

此時點D在D的位置，

CD=AB-13.

②若AD=BC-11，此時點D在D、D的位置，

AD=AD=BC-11，過點A分別作AELBC，AFLPC，垂足為E，F，

設，，

，

即，

解得：（舍去），

由四邊形AECF為矩形，可得AF-CE-6，CP-AE=12，

在中，，

，

綜上所述，CD的長度為13、或.

4? 結語

在眾多備考挑戰中，解題思維路徑的優化顯得尤為關鍵，它涉及學生如何以更高效、準確的方式理解和解決問題.傳統的解題方法雖然穩固，但并不總是最高效的.逆向思維法、分析與分類思維法以及創新思維法為學生提供了不同的思考框架，使他們在面對復雜或不熟悉的問題時仍然能夠穩健前行.在中考的數學備考中，鼓勵學生嘗試這些新的解題方法將有助于培養他們的思維敏捷性和創新能力，不僅對中考，更對他們未來的學術和職業生涯都有深遠的影響.

參考文獻：

[1]汪洪潮，孔維華.漁在哪里 如何授之——以2019年安徽省中考數學試題為例談解題教學[J].中學數學教學，2020（03）：19-21.

[2]鄭小芬.活用解題策略方入思維勝境——例談數學中考壓軸題的解題策略[J].數學之友，2023，37（05）：94-97.

[3]楊新蕓，王超.指向高階思維的初中數學解題教學——以2021年蘇州中考第18題為例[J].中學數學月刊，2022（09）：20-23.

[4]鄭樂.中考數學壓軸題的解題策略和技巧淺析[J].試題與研究，2020（07）：21.

[5]陳躍剛.淺議初中生中考數學解題思維的培養[J].試題與研究，2019（22）：98.