基于“懷特海三段論”的一元二次方程概念教學設計研究

[摘? 要] “教育三段論”是懷特海在《教育的目的》中提出的一種學習理論，他把個體智力發展節奏分為浪漫、精確與綜合運用三個階段，體現了基于個體智力發展特征的進階規律. 以教育節奏論為理論基礎對中學一元二次方程概念進行教學設計，能引導學生感受、獲得、應用概念，實現有效概念教學. 在教學中運用該理論時，教師還應積極轉變教育教學理念、靈活處理各個教學環節、注重理論與現實的關系.

[關鍵詞] 懷特海節奏論;概念教學;一元二次方程;教學設計

數學是一門以現實世界中數量關系和空間形式為研究對象的科學，由概念和命題等組成. 作為一門科學，嚴密的邏輯性和高度的抽象性使數學成為一門抽象性極強的學科，而數學概念正是表達這種思維的特殊語言. 在數學中，每個概念都有其存在的價值和意義，都能為問題的解決和應用提供堅實的理論依據和經驗. 因此，對數學概念的正確理解與把握是學習個體認識和學習數學的重要前提. 在數學概念教學時，教師要善于轉變教育教學觀念，積極探索合理的教學模式，通過情境創設將客觀實例引入教學，引導學生抽象出某類事物或某種關系的共性特點，歸納和推導出數學概念的本質屬性，讓學生在自我探究過程中感受數學與生活的密切聯系，提高應用觀念，為日后的數學學習奠定堅實的基礎.

懷特海關于“教育節奏”的思想

懷特海發現，當時英國教育界一直持有一種錯誤的觀點，即個體學習過程是步調一致、勻速前進的. 而產生這種錯誤觀點的主要原因是教育者不能正確把握學生個體智力發展的特點，教育過程過于注重速度. 懷特?；趥€體智力發展節奏的特點，創見性地提出了教育節奏循環理論，提倡教師應依據學生智力發展不同階段所呈現的不同需求，提供相應的教學內容和方法. 他指出，生命本質上是周期性的，而智力發展過程也同樣如此，只不過比較難以察覺而已，它們會循環往復地出現且有各自不同的特點. 這種特點是一種旋渦式的循環，每一循環由浪漫、精確和綜合運用三階段組成.

浪漫階段是個體開始領悟的階段. 在這一階段，知識不受系統程序的支配[1]. 學生對所接觸新事物的認識處于一種一知半解的模糊狀態，不可能有清晰的領會，有時也會進行一定的系統分析. 這樣，事實本身就具備種種聯系，同時以豐富的內容為學生提供了種種若隱若現的可能性，于是浪漫的情感油然而生. 而浪漫的情感本質上屬于這樣一種興奮，即事物通過一種不清晰的、混沌的狀態展示在個體眼前. 例如：通過現實情境引導學生模糊地感知一元二次方程在現實生活中的存在性，引發學生進行浪漫的遐想，這個階段就是浪漫階段.

精確階段是對浪漫階段所獲得的事實內容進行系統的分析和闡述，使事物間模糊的關系變得清晰化、明了化，并呈現在眼前. 在這一階段，教學應更加注重知識的系統性和精確性，而知識的廣泛性則處于次要地位. 此外，在這一階段，教師還應不斷著力，使學生逐漸形成一定的分析事實的能力. 由此，學生不僅獲得了更多、更新的事實，還可以將其納入分析之中. 例如，在精確階段教師引導學生對浪漫階段所獲得的感性內容進行系統分析，歸納一元二次方程的基本屬性：①等式兩邊都是整式;②未知數的最高次數為2;③只含有一個未知數. 并讓學生找到一元二次方程的一般形式（即ax2+bx+c=0），以及運用數學語言準確地描述出一元二次方程的概念，將此概念進行數學化.

綜合運用階段是舍棄細節而靈活使用原理的階段，此時的知識已經來到無意識的習慣之中[1]. 在這一階段，個體已經具備探索世界的體系化理論知識，且有了思考能力，此時的學生宛如一個個摩拳擦掌、躍躍欲試的戰士，他們迫切地希望拿起手中的武器重歸浪漫階段的自由冒險，此時新一輪的學習循環周期即將拉開序幕. 例如，學生已經理解與掌握了一元二次方程的相關概念，此階段教師需要帶領學生回歸到浪漫階段并靈活運用所學的知識解決實際問題.

依懷特海看（如圖1所示），浪漫、精確及綜合運用組成了一個完整的學習循環周期，每一次循環都始于浪漫，歷經精確，最終抵達綜合運用階段. 這是一種富有動態性和節奏性的教學進程，帶有一種周期性往復的“節奏”，并朝著和諧的目標前進. 懷特海指出，這個節奏性特點的一些主要規律可以在教育實踐中得到驗證，適用于大多數學生. 在教育實踐中，我們就可以根據這個節奏規律來進行教學，改變教學方式，提高教學質量，促進學生發展，從根本上啟發學生的心智[2].

教學設計：以初中“一元二次

方程”的概念教學為例

1. 一元二次方程概念的相關內容及其解析

一元二次方程是學生在學習了一元一次方程、二元一次方程等內容的基礎上學習的內容. 作為初中階段重要的方程之一，一元二次方程在中學數學知識體系中有著承上啟下的關鍵作用——不但能為日后二次函數、不等式等內容的學習做好必要的準備，而且能成為日后學習其他學科知識（如物理、化學）的有力工具. 同時，“一元二次方程”模型的建立對我們處理日常實際問題也有重要的幫助.

本文以蘇科版初中數學教材為例. 蘇科版“一元二次方程”的概念安排于九年級上冊第21章. 下面以教育節奏論為理論基礎對一元二次方程概念進行教學設計：通過客觀實例的引入，引導學生探究問題中存在的數量關系及規律，概括一元二次方程的概念及一般形式，正確辨析各項系數，讓學生意識到一元二次方程是解決問題的有效模型，形成“方程模型”思想，提高應用觀念.

2. 教學過程

（1）浪漫階段：激活學生的原有經驗，引發浪漫遐想

問題1：請用方程描述以下問題中存在的數量關系.

①印度古算書中記載了這樣一道數學題：“一群猴子被分成兩組快樂地玩耍，八分之一再平方在森林里玩游戲，剩下的十二只在觀望，請說說一共有多少只猴子. ”如果設猴子的總數為x只，你能列出怎樣的方程？

②某中學要組織一場籃球比賽，參賽的每兩支球隊都要比賽一場，每天比賽4場，預計賽程為7天，則學校應邀請多少支球隊參加比賽？如果設學校應邀請x支球隊參加比賽，你能列出怎樣的方程？

③如圖2所示，一根長約10 m的木梯斜靠在墻上，工人師傅通過卷尺丈量出木梯的頂端與地面之間的距離約為8 m，則當工人師傅每將梯子的頂端向下移動1 m時，梯子的底端就會向右移動幾米？如果設梯子的底端向右移動x m，你能列出怎樣的方程？

設計意圖三個問題均由多媒體課件給出，其中第①題為數學史問題，第③題的模型通過播放動態圖加以展示，點燃學生探究數學的熱情. 列出方程后學生會發現他們所列的方程是他們不熟悉的，但又真實地存在，這既能觸發他們浪漫的遐想，又能為后續精確階段的探究埋下伏筆.

（2）精確階段：借助學生的探索經歷，誘發精確表達

問題2：請同學們觀察所列方程，思考以下問題.

①這三個方程是整式方程嗎？是分式方程嗎？是一元一次方程嗎？

②請類比一元一次方程的學習過程，從“式”“元”“次”三個維度探究這些新方程的異同點.

③類比一元一次方程的概念，猜想它們是什么方程.

師生互動：教師將所列方程展示在黑板上，引導學生觀察，讓學生充分感受所列方程的特點，接著讓學生小組合作，從“式”“元”“次”三個維度研究所列的方程. 通過逐層思考，學生歸納出了新方程的3個基本屬性，即都是整式，未知數的最高次數為2，只有一個未知數. 在此基礎上，教師給予此類方程一個新名稱——一元二次方程.

設計意圖在浪漫階段學生已初步形成了對一元二次方程的感性認識，在這一階段，教師的主要任務是引導學生對浪漫階段所獲得的相關內容進行系統化、精確化的分析. 在對比學習與研究一元一次方程的基礎上，學生初步感知到所列的方程是一元二次方程，并理性地分析出了一元二次方程的三個本質屬性.

問題3：你能用數學符號表示一元二次方程的一般形式嗎？

師生活動：教師引導學生回顧一元一次方程的一般形式，在此基礎上組織學生小組討論，讓他們通過觀察與分析一元二次方程的結構特征，概括出其一般形式——ax2+bx+c=0，其中ax2是二次項，a是二次項系數;bx是一次項，b是一次項系數;c是常數項. 在學生回答的基礎上，教師引導學生對ax2+bx+c=0中的a，b，c參量進行討論.

①a，b，c是已知數，還是未知數？

②二次項系數a能等于0嗎？請說明理由.

③一項系數b和常數項c能等于0嗎？請說明理由.

設計意圖探究數學問題就像日常生活剝洋蔥一樣，需要對問題的表面進行層層剖析，然后加以解決. 通過分析與思考以上問題串，學生能清晰地意識到ax2+bx+c=0中的a，b，c參量均為常數，且二次項系數a≠0. 若a=0，b≠0，c≠0，則方程變為bx+c=0，即一元一次方程;當b=0，a≠0，c≠0時，方程變為一元二次方程的特殊形式ax2+c=0;當a≠0，b≠0，c=0時，方程又變成另一種特殊形式ax2+bx=0. 在對問題進行不斷剖析的過程中，學生能加深對一元二次方程本質特征的認識，并在整個探討過程中體會從特殊到一般的思想.

問題4：你能否給一元二次方程下一個定義？

師生活動：在學生討論的基礎上，教師通過完整、精確的語言給出一元二次方程的定義，即等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的方程叫一元二次方程.

設計意圖語言對個體智力發展和形成概念有著不可忽視的作用. 語言是思維的載體，而數學語言為思維表達提供了有效工具. 教師引導學生通過簡潔、精確的數學語言給出一元二次方程的定義，能加深學生對一元二次方程的理性認識，能讓學生深刻地感受到數學語言的邏輯性及嚴謹性.

設計意圖經過浪漫和精確階段，學生已經掌握了一元二次方程的相關內容. 在此階段，教師需要帶領學生回歸到浪漫階段并靈活運用所學知識進行實際問題的解決. 通過問題辨析一元二次方程的定義、抓住一元二次方程的本質特征、明確一元二次方程的一般形式及二次項系數不為零，能幫助學生理清概念的形成過程，能促進學生對概念內涵和外延的認知[3].

問題8：請同學們說一說本節課你學到了什么.

設計意圖教師引導學生從知識、方法和思想三個角度歸納本節課所學習的內容，合理布置課后習題作業.

教學反思

從知識角度看，概念是知識組成的最小細胞單位，對每一個數學概念進行正確理解與掌握是學生學好數學的前提. 數學概念具有“對象—過程”的雙重性，即數學概念是邏輯分析的對象，過程也蘊含著現實背景與豐富寓意. 在“懷特海教育三段論”的指導下，一元二次方程概念的教學過程遵循由“浪漫”到“精確”再到“綜合運用”的三重過程，教學中教師引導學生感受、獲得、應用概念，從而實現有效的概念教學.

懷特海的教育節奏三段論對我國目前的數學教學很有啟發性，但在教學中要想運用好該理論，還需要注意以下三點.

1. 積極轉變教育教學理念

一名優秀的數學教師不但要具備扎實的學科知識和豐厚嚴謹的教學經驗，而且必須不斷地汲取先進的數學教育理論知識，讓理論與實踐相結合，這樣才能有效地把控課堂，達到教學相長的目的. 懷特海的教育節奏論提出從實踐到理論的教學思路，即從現實世界和學生的日?；顒映霭l，創設教學情境，激發學生的興趣點，讓學生迸發浪漫的遐想;接著，對浪漫階段半掩遮面的事物進行具體分析，使事物間模糊的關系變得清晰、明了化，使其呈現在眼前，最后，在綜合運用階段引導學生運用所掌握的知識去解決新的問題，內化能力，增強應用意識. 懷特海的教育三段論是以其過程哲學為基礎建立起來的一種新的理論模式，為我國當前數學教育理論注入了新鮮的血液. 因此，教師應當積極轉變教學理念，以這些優秀的教育思想作為價值引領指導自己的教學實踐，從而真正做到理論與實踐相結合.

2. 靈活處理各個教學環節

首先，懷特海的“教育節奏三段論”教學過程分為浪漫、精確及綜合運用階段. 在實際的教學過程中，教師需要正確掌握各個階段的具體內容，靈活處理各個教學環節. 例如，浪漫階段的任務主要是通過具體的客觀實例激發學生浪漫的遐想，此時教師需要在所教內容的基礎上選擇恰當的教學實例;其次，具體的教學環節還可以選擇靈活的形式推進進程;最后，在整個教學過程中，教師要充分調動學生的主觀能動性，讓學生在輕松、愉快的探究過程中收獲愉悅感、成就感.

3. 注重理論與現實的關系

以懷特海節奏論為基礎所構建的“三重節奏”教學模式是一種動態的、開放式的教學模式，對教師駕馭教育理論的能力提出了較高的要求. 這就要求教師不能簡單地停留在理論層面，而應以這些優秀的教育思想為價值引領，并將其內化到自己的教學實踐中. 因此，在具體的教學實施過程中，我們要根據教材內容，以現實問題為出發點，尋找學生的興趣點，點燃學生的興趣，讓整個課堂教學過程變得生動有趣，使教育過程從教師主動轉變為學生主動，不斷地提高課堂教學的實效性，實現理論與實踐的完美結合.

參考文獻：

[1]A.N.Whitehead. The Aim of Education[M]. New York：The Free Press，1929.

[2]阿爾弗雷德·諾斯·懷特海. 教育的目的（第一版）[M]. 靳玉樂，劉富利，譯. 北京：中國輕工業出版社，2017.

[3]張敏，李軍，孫迪. 基于APOS理論下數學史融入一元二次方程概念教學設計[J]. 數學教學通訊，2019（35）：12-14.

作者簡介：韓婧（1994—），碩士研究生，中學二級教師，從事初中數學教學工作.