注重通法　建構模型　提升素養

[摘? 要] 代數教學中既要落實學生運算能力的培養，又要滲透整體觀念、代數結構. 幾何教學中既要關注基本圖形及結論，又要關注結論中所蘊含的數學思想和數學方法. 2022年杭州中考卷第23題完美體現了代數與幾何相結合.

[關鍵詞] 數學模型;運算能力;核心素養

近幾年杭州中考解答題的壓軸題都是代數幾何綜合題，代數幾何綜合題對學生數學運算、邏輯推理、數學建模、直觀想象等素養都提出了較高的要求. 這就要求大家平時要穩扎基礎、善于反思小結，注重符號運算，理解運算對象、探究運算意義、優化算法;注重基本圖形，善于從較復雜的綜合的圖形中分解出基本圖形;理解基本圖形所對應的數學結論，在探索數學結論的過程中體會蘊含著的數學方法和數學思想，注重圖形的聯想，關注知識鏈的形成，關注一題多解，以達到較完善的知識體系，形成良好的認知結構. 下面以2022年杭州中考卷第23題為例，談談自己的解題感悟.

試題呈現

（2022年杭州中考數學第23題）在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點F在邊BC上，且AE=2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內作正方形EFGH.

（1）如圖1，若AB=4，當點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積.

（2）如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K

①求證：EK=2EH;

②設∠AEK=α，△FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2. 求證：=4sin2α-1.

解法探究

本題以正方形為背景設置問題，圖形屬于比較常見的類型，題干精煉，層次清晰，將正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義等核心知識融合在一起. 各小問在知識點上互相連貫、相互關聯;在能力要求上逐步遞進，環環相扣，富有層次.

1. 關于第（1）問

第（1）問已知AB=4，點E與點M重合，可得AE=BE=2，又由AE=2BF，得BF=1，自然聯想到利用勾股定理可得EF2=12+22=5，最后得到正方形EFGH的面積為EF 2=5. 此題重基礎，低起點，大部分學生能輕松解答，切實回應了“雙減”政策的初衷，提高學生的學習自信心. 同時，此題又彰顯了數學學習的一般規律，先特殊后一般，而中點在初中幾何教學中又具有“舉足輕重”的特殊地位，對應著代數式教學中的特殊值.

2. 關于第（2）①問

方法1：如圖3，證出△AEK∽△BFE，所以==2，即EK=2FE=2EH.

方法2：如圖4，過點H作HN⊥AB交AB于點N，易證△HNE≌△EBF，得到NE=BF=AE，EH=EF. 又因為NH∥AK，所以==，即EK=2EH.

方法3：利用∠BEF=∠K，得到sin∠BEF=sin∠K，即=，所以有==，所以EK=2EF=2EH.

求證EK=2EH，EH又是正方形的其中一邊，較容易想到找到與EH相等的線段，再找出這條線段所在的三角形與線段EK所在的三角形是否相似，最后利用兩個三角形相似的對應邊之比求證，如方法1，這是大部分同學能首先想到的方法;還可以聯想到利用“平行線截分線段成比例”得到線段的比值，所以先通過添加輔助線構造平行，再根據已知條件證出=，如方法2;有時在沒有思路的情況下可以看看下一小題的結論中表示的是什么，如此題因sinα的提醒，還可以嘗試表示出相等的角的不同函數值，建立等式后再進行變形得到想要的線段的比值，如方法3.

3. 關于第（2）②問

第（2）②問中，在限定條件下，求證=4sin2α-1，難度較第①問有所提升. 要求學生具有一定的邏輯推理能力、幾何直觀能力和代數運算能力.

分析思路一：利用比值求證.

求圖形面積比，特別是出現三角形，首先考慮到的知識點是利用兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方. 圖中能快速鎖定△IHK≌△JGF，所以S1=S△KHI. 求，即求，自然會聯想到通過求而來. 這兩個三角形可證“斜A型”相似，于是可以用下面的方法求證.

方法1：如圖5，易證出△IHK≌△JGF. 由EK=2EH（（2）①已證），所以設EH=HK=1. 已知∠AEK=α，可以得到AK=EK·sinα=2sinα. 由△AEK∽△HIK得到==

這兩個方法都用了整體思想，解題過程簡潔明了，但對學生思維要求比較高，尤其是面積比恰好能轉化成某一個角的三角形函數，這對學生在復雜圖形中處理三角函數提出了更高的要求，導致很多同學在此出現了思維上的卡頓，造成了解題困難.

分析思路二：利用線段計算面積求證.

求圖形的面積比，還可以利用條件計算出圖形的面積，再求比值. 求圖形的面積，常規思路是用公式求出規則圖形的面積或用割補法求出不規則圖形的面積. 此題中關鍵線段的長度沒有給出，不妨設未知數. 為了計算方便且因相等的線段較多，還可以設單位“1”. 根據已設關鍵線段的長度，用勾股定理或三角形相似可求出其他線段的長度.

方法3：如圖6，因為△AEK∽△BFE，所以設BF=1，BE=x，則AE=2，AK=2x. 由此得到FG=EF=，S△AEK=2x，S△BEF=x，于是得到=

2=，所以S1=. 易證出△IHK≌△JGF，得到==-1=-1=-1，由sin∠EFB=sinα=，得到4sin2α-1=-1. 最后得到=4sin2α-1.

分析思路三：利用三角函數計算面積求證.

此題給出一個銳角α的條件，且要證的結論中涉及三角函數，所以考慮用三角函數值來表示線段的長度，進而求出圖形的面積.

方法5： 設正方形EFGH的邊長為1. 利用∠FJG=∠KIH=∠AEK=α，可得GJ=HI=，所以S1=. 因為tanα=，所以S1=. 又因為AE=2cosα，AK=2sinα，所以S△AEK=2sinαcosα，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

方法6：如圖8，設BF=1，則AE=2. 得到AK=2tanα，所以S△AEK=2tanα. 又因為EB= tanα，所以得到FG=EF=，GJ=. 所以S1===，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

用三角函數表示線段的長度，若出現在選擇題、填空題或較簡單的解答題中，學生一般都會表示. 但在較復雜的題目中，當需要表示的線段較多時，很多學生可能會因為對這種形式不熟悉而不會使用這樣的方法，這種方法顯然對學生的要求更高.

上述方法中不管是怎樣的思路，最后求時都會轉化為求=-1.

分析思路四：對于幾何題，添加輔助線是常見的解題途徑. 當遇到不規則四邊形時常用的方法是割補法，所以可以嘗試連接IE，之后有△IEH和△IKH全等，還能得到IE=IK. 不規則四邊形AEHI被分割成△AEI和△IEH，再去挖掘這兩個三角形之間的聯系.

方法7：如圖9，連接IE，設∠K=β. 因為∠AEK+∠K=90°，∠AEK=α，所以sinα=cosβ. 易證△IEH≌△IKH≌△JFG. 利用△AEI和△KEI等高，得到=，即=，所以==2×=2cos∠AIE=2cos2β= 2（2cos2β-1）=4cos2β-2=4sin2α-2. 所以===+1=4sin2α-2+1=4sin2α-1.

方法7用到了余弦二倍角公式，對于初中的學生來說顯然要求過高，但對于少數已在研究高中數學的學生則可以嘗試進行思考.

當然，連接IE后也可以用思路一和思路二進行求證，這里就不一一分享了.

1. 關注基本圖形，突出數學模型意識

基本圖形一般具有典型性、抽象性、綜合性等特征，當遇到較復雜或綜合性較強的幾何圖形時，首先要從復雜的幾何圖形中剝離出解決此問所需要的基本圖形和基本數學模型，化繁為簡，化陌生為熟悉，化未知為已知. 本題第二問中，我們可以根據已知圖形識別出平時解題過程中常用到的模型：等高模型（△AEI和△KEI等高）、“A型”或“反A型”模型（△AEK與△HIK相似）、“8型”或“反8型”模型、一線三垂直模型（△AEK與△BFE相似）、中位線模型（NH是△AEK的中位線）等. 能想到什么數學模型，對于模型的熟悉和掌握程度都源于平時學習經驗的積累. 教學中教師要善于總結基本圖形，歸納數學模型，加強基本圖形和基本結論之間的聯系，從而提高學生的解題能力和學習興趣，培養學生的分析能力和學科素養.

2. 注重運算習慣，突出數學運算素養

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養. 主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果[1]. 此題第一問求面積，利用勾股定理絕大部分學生可以正確解出答案. 最后一問求證面積比值，很多學生看到4sin2α-1就已信心不足，出現畏難情緒. 此題的多種解法中多次利用三角函數表示一條線段、一個圖形的面積，有些學生解題思路清晰，但是算到后來由于運算煩瑣而造成計算出錯. 在平時的教學中，有些教師往往只要求學生列出算式或者方程，計算這部分就直接省略了，認為計算不是此問題解決的重點，最后口頭說一句“同學們課后去計算”. 顯然，這樣忽視了運算方法和運算結果的聯系，不利于發展學生的運算素養. 所以教師要高度重視培養學生的運算能力，引導學生樹立科學的運算觀念，幫助學生形成良好的運算習慣，發展學生的數學思維[2].

3. 重視符號和概念，培育數學抽象思維

本題的最大亮點是最后一問=4sin2α-1：用三角函數值來表示一個四邊形與一個三角形的面積比. 這樣的一種表示方式，讓很多學生一下子不能理解. 如果比值是一個具體的數值，那學生的心理上會接受很多. 但細想，有關兩個圖形的面積比的問題我們遇到過很多：如2018年杭州中考卷23題第3小題求四邊形和三角形面積比的最大值，如圖10，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，設=k. （1）求證：AE=BF;（2）連接BE，DF，設∠EDF=α，∠EBF=β，求證：tanα=ktanβ;（3）設線段AG與對角線BD交于點H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求的最大值. 學生無法熟練運用三角函數進行表達的主要原因是教師在教學銳角三角函數時對其概念沒有進一步地鞏固和應用. 學生只停留在牢記銳角三角函數的概念及特殊角的銳角三角函數值，對于銳角三角函數的計算，主要還是已知三角函數值和其中一邊的長，求出其他邊長或角. 仰角俯角問題中出現的角度往往也是30°、45°、60°居多，即使出現的不是特殊角，題后都會備注這些角的正弦值、余弦值、正切值，進而求出近似值. 學生平時更能接受數的表示，對于用符號表示的意識不夠強烈. 所以，這就要求教師在平時的教學中不能一味地為了考試而教學，要重視符號意識的培養和數學概念的深入.

4. 開展變式教學，發展數學核心素養

學生的學習任務不只是記憶大量的學科知識與方法，還需要通過對題目進行適當的變式或拓展，把握知識的本質，即透過現象看本質. 經常進行變式訓練，可以使學生的思維達到舉一反三、觸類旁通的效果，進而減輕學生對學習幾何的畏懼心理.

在講解例題前，為了降低知識點之間的梯度，讓更多的學生能理解題意，可以先設計一道引題.

變式1（引題）：如圖11，在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點F在邊BC上，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內作正方形EFGH.直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K. △FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2，BF=1，AE=2.

（1）若∠AEK=60°，你能得到哪些線段的長度和哪些圖形的面積？你能求出S1和S2嗎？

（2）若∠AEK=α，你能表示出哪些線段的長度和哪些圖形的面積？你能表示出S1和S2嗎？

在直角三角形中，第一小題先給出具體的角度，特別是特殊角度30°、45°、60°，這是學生最能接受且最喜歡的度數. 利用直角三角形中特殊角度的三邊關系或銳角三角函數等知識可以求出另外兩條線段的長度及簡單圖形的面積. 第二小題用α表示角度，學生思考后用銳角三角函數來求線段的長度和圖形的面積. 如此安排，體現了從特殊到一般的數學思想，符合學生認知的一般規律. 在這樣的鋪墊下再出示例題，由淺入深，思路更順.

待例題分析講解之后，教師還可以準備類似的或略有提高的題目，幫助學生再次梳理相關的數學方法和數學思想.

變式2（引申）：如圖12，點E，F在正方形ABCD的邊上，且AE=2ED，DF=2FC，AF交BE于點G，則=_____.

此題一看就是正方形中的“十字架”圖形，首先能夠得到AF⊥BE，要求兩條線段的比值，入手角度不同，則方法不同. ①聯想到證明勾股定理的弦圖（如圖13），再巧設數字，特別適用于選擇題和填空題，能夠快速得到答案. ②聯想到“8型”相似（如圖14），可巧設求比值. ③聯想到三角形面積共邊（如圖15），可巧設求值. ④由于直角三角形的出現，還可以聯想到用三角函數作答（如圖16）.

開展變式教學對教師的要求較高，課前需精心備課，精選例題，用一道題及多個變式把所有要復習的知識點都串聯在一起. 因此，作為數學教師，我們要不斷地加強自身的研究能力和創新能力.

參考文獻：

[1]鮑建生，章建躍. 數學核心素養在初中階段的主要表現之二：運算能力[J]. 中學數學教育，2022（11）：3-8

[2]胡歧曦. 基于核心素養? 培養運算能力[J]. 中學數學教學參考，2020（Z2）：36-38.

作者簡介：沈曉音（1981—），中學一級教師，從事初中數學教育教學工作.