初中數學教科書中“幾何直觀”的設計類型、原則及應用

丁鵬

【摘要】教科書是初中數學學科體系建設和實施的重要依據，肩負著教育、傳播、創新的重要責任.幾何直觀是學生學習知識、認識世界不可缺少的方法，文章從“幾何直觀”的教學價值入手，分析教科書中“幾何直觀”的設計類型，如直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發現；結合教學實踐進一步探索初中數學教科書中“幾何直觀”的設計原則，如準確性、整體性、漸進性；從數形結合、建立模型、生活實踐、持續創新四個方面探究了初中數學教科書中“幾何直觀”的應用策略，力求為推動相關領域發展進行有益的嘗試及探索.

【關鍵詞】初中數學；教科書；幾何直觀；類型；原則；應用

引 言

“幾何直觀”是數學課程體系建設中的核心概念，教育工作者應將其納入學科核心素養體系之中，明確其在初中數學教育中的重要地位.“幾何直觀”是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，利用“幾何直觀”能夠使復雜問題簡單化、簡單問題直觀化、直觀問題效率化.目前，對“幾何直觀”研究的理論與實踐成果相對較多，大多與教師、學生教學實踐密切相關，而從教科書視角進行研究的相對較少，但教科書作為教學活動組織實施的重要依據，能夠為教學發展提供重要指引，幫助教學關聯群體樹立正確的價值觀.基于此，對初中數學教科書中“幾何直觀”的設計類型、原則及應用進行研究，對于推動理論與實踐發展有著極為重要的意義.

一、初中數學教科書中“幾何直觀”的教學實踐價值解析

“幾何直觀”的最大優勢在于“直觀”，能夠更好地幫助學生理解數學幾何圖形，在教學過程中發揮應有作用，而圖形類型也是極為廣泛的，如立體圖、平面圖、框架圖、坐標系、表格及其他直觀素材等.下面，筆者從其教學實踐價值進行解析：

（一）“幾何直觀”為教學提供認識世界的工具

初中數學教學內容大多具有雙重屬性，即包括“數”與“形”的特征，而上述特征是數學“認識世界的雙眼”，只有真正認識到其在實踐應用中的價值，才能夠更好地認識、理解、掌握和使用它們.從實踐視角分析，“幾何直觀”不僅是認識世界的基礎，也為認識世界提供支持工具，能夠幫助學生更好地理解數字和拓展思維；幫助學生依托圖形構建數形關系，掌握圖形轉化規律，提升知識綜合應用能力；能夠為學習帶來極大的益處，將抽象問題簡單化、直觀化、關聯化，既是提出問題也是解釋問題.

（二）“幾何直觀”是創造性思維的培養基礎

思維是學生認識世界和改造世界的意識能力，可分為形象思維和邏輯思維兩類，而形象思維是“幾何直觀”的認知之眼，邏輯思維則是其改造之眼，只有兩者兼具才是形象思維發展的高級階段，在形象思維領域中，“幾何直觀”能夠將抽象問題直觀化，更好地建立起具備創造屬性的思維體系.數學最大的魅力在于創新，而創新是人類社會發展的基石，所有數學先驅者都認為自己的探索永遠都是初級階段，因為數字本身更符合洋蔥理論，無論站在哪個層級都是下一階段的發展基礎.所以，“幾何直觀”能夠有效提升學習者的創造性思維.

（三）“幾何直觀”是認識、解決問題的方法體系

“幾何直觀”本身就是極為重要的方法論，為學生認識和改造世界提供載體或工具，能夠幫助學生更好地認識、發現和解決問題，充分調動學生的主觀能動性.相關理論概述認為“幾何直觀是思維的重要表現形態，是對客觀事物及其運行規律、內在聯系的猜想或直接識別的心理認知狀態”；“幾何直觀主要是依托認識工具猜想或見到圖形數量關系、圖形關系的直接感知”.從方法論視角分析，“幾何直觀”既是意識，也是能力，具備強大的思維發現功能，能夠幫助學生更好地構建認知體系，掌握認識、解決問題的方法.

二、初中數學教科書中“幾何直觀”的類型分析

（一）直觀表征

直觀表征是指數學領域依托圖形進行“形”的描述與表達，是教科書教學內容和對象的直觀呈現，主要包括以下內容：一是依托圖形對形成素材進行直觀呈現；二是依托圖形對素材進行直觀表征.實踐分析發現，初中數學教科書中的部分概念是現實模型的解構與投影，同時兼具“數”“形”雙重特征，能夠在生活中找到大量可視化素材，讓學生能夠通過視覺去認識和感知.如初中數學教科書中利用溫度計解析數與數軸的關系，利用原點到點的距離導入絕對值概念等.

（二）直觀分析

分析是學習對象根據邏輯思維對事物的本質和內在規律進行探索的過程.直觀分析是指借助圖形進行數字問題解析的過程.某些問題由于數量關系相對復雜，無效表述可能會影響和干擾信息表達，因此需要選擇更加直觀的方式“去偽存真”，通過建立模型直觀表達數量關系，而圖表則是最有效的表達工具，能夠將復雜的語言轉化為圖形，有助于提升分析效率.直觀分析能夠優化解題思路，體現出知識結構與認知體系的有機結合，更具直觀性、邏輯性和靈活性.

（三）直觀解釋

直觀解釋是指利用圖形及各要素內在關系對問題結果或結論進行重點描述，根據已知結果進行“形”塑，加深學生對數學的想象力.從代數思維視角出發，通過代數運算得到相應的公式，選擇圖形方式進行解釋，可以讓代數公式變得更加直觀生動且具有形象性，便于學生理解與記憶，促進數學理論和技巧的多樣化融合.對于學生而言，圖形遠比文字更具辨識度，只有把其中的直觀內涵和證法思路弄清楚，才能夠更好地進行解析.

（四）直觀發現

直觀發現是指利用圖形直觀地解析研究對象并且找到結論.從教科書視角分析，獲取結論不是創造或創新過程，而是一個發現過程，所以直觀發現在教科書中的表達更具實效性.可區分兩類情況：一是根據需求構建問題模型，直接找到問題答案，提升問題解析的空間想象力和建構屬性.二是利用直觀圖形和逆向思維模式發現結論.

由上述分析可知，直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發現四位一體，彼此不是獨立的，其中直觀表征是基礎，相同數學問題呈現和要求不盡相同，但直觀類型的側重大同小異.

三、初中數學教科書中“幾何直觀”的設計原則

數學教科書設計符合邏輯思維習慣，一般分為明暗兩條線表述，以期能夠更加清晰地進行表達.其中，明線是指通過閱讀目錄可直接獲取的教學內容，而暗線大多需要通過明線間的內在邏輯關系找到“隱藏的表達”，只有明暗雙線共同印證才能夠發現結論.暗線一般體現的是方法論，能夠幫助學生更好地掌握數學要素間的邏輯關系，通過分析相互轉換關系達到解決問題的目的.需要遵循如下原則：

（一）準確性

邏輯思維關系是構成數學直觀表達的基礎，要求所有要素間必須做到關聯、精準、直觀，因而“準確”才是唯一要求，只有做到精準才能夠表達正確.對于數學而言，“幾何直觀”既是認識數學和挖掘內在規律的工具，也是學生綜合能力素質的表現.從教科書內容設計來看，幾何直觀有著普遍的應用.如借助圖形分析性質、依托數軸理解運算、應用線形圖區分關系等，要讓學生在學習過程中將其轉化為自主意識.事實上，教科書內容大多脫胎于“幾何直觀”，如函數性質借助圖形探索、絕對值概念源于兩點間距離等.為了讓學生更好地掌握教科書中的“幾何直觀”內容，教科書設計必須做到精準性，以此提升學生理解效率.

（二）整體性

“幾何直觀”是一種方法論，不僅僅包括直觀表征、直觀解釋、直觀分析、直觀發現等類型，還有概念生成、問題探究和問題解決等活動.教科書在構建內容體系時，大多會從整體視角出發，即所有問題具有遞進性，環環可扣，構建成立體的閉環；同時，所有內容具有內在關聯性，互為支撐，能夠從多個視角切入分析和解決問題；教科書設計能夠幫助學生更好地直觀發現，對問題有深刻的領悟，從而形成更加高效的數學直觀.從整體性視角分析，幾何直觀能夠確保內容類型和分布不出現偏差，除注重概念本身外，更注重其內在邏輯和關聯性，通過保證其邏輯關系的靈活性，更好地將所有的知識點凝結成一個整體.

（三）漸進性

教科書內容按照漸進關系進行設計，能夠快速幫助學生形成邏輯思維，更好地認識和理解幾何直觀.從成長視角分析，幾何直觀不會憑空產生，而是需要學生在實踐中不斷積累經驗，從基本圖形入手，按照層層遞進規律進行積淀，逐漸形成符合自己的“幾何直觀”.如一些簡單的圖形表達能夠引發相應的聯想，看到a（b+c）時，學生就會聯想到長方形的面積；看到 a2+b2后，學生就會聯想到直角三角形直角邊的平方和；看到|a-b|后，學生就能夠聯想到數軸上兩點間的距離，而這種認知是需要長期的培養和鍛煉才能夠形成的.因此，在進行教科書中的“幾何直觀”設計時，從圖形明晰度和問題表述類型等方面進行設計可以保證學生的學習漸進效果.

四、初中數學教科書中“幾何直觀”的應用策略

初中數學教學中，學生需要經歷從感性到理性、從一般到特殊的過程，才能形成“幾何直觀”，加深對理論和技巧的理解應用，從而提升整體學習效率.

（一）數形結合，優化直觀解析策略

將“幾何直觀”融于學生思維，首先進行圖形轉化，將“內在邏輯關系”轉換為“圖形關系”，而后將問題轉化為“圖形的數量和位置關系”，最后通過圖形觀察和思考解決問題.華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.數形結合才是解決數學難題的根本，才能夠讓學生產生良好的空間想象力，能夠隨時隨地構建“幾何直觀”，幫助學生掌握更多的方法、技巧，提升其分析問題和解決問題的效率.

（二）建立模型，強化直觀明理思維

初中生一般不懂得什么是模型，但實際上“幾何直觀”的形成過程就是模型構建過程，學生通過思維加工將問題場景化，在此場景中不僅有試題背景，還有各類計算因子的內在邏輯關系，“幾何直觀”就是計算模型搭建.對于學生而言，不同的“幾何直觀”思維會產生不同的模型，即相同題目可能會有無數道“門”，無論從哪個門進入都會到達同一個終點.所以，“幾何直觀”能夠持續強化明理思維，讓學生掌握更多自我成長的方法.意識是行為的先導，學生首先要樹立“幾何直觀”意識，而后才能夠在行為中得到實踐.

（三）生活實踐，增強問題解析效果

幾何直觀應建立在生活經驗基礎上，學生在解析題目時，必須從生活中提取關聯要素，利用生活中常見的人、事、物去搭建場景，從而更好地思考和解決問題.從教科書內容設計來看，幾乎所有的例子都是以生活中的場景為依據的，很容易讓學生產生聯想，幾乎所有的問題都能夠在生活中找到原型，有意識地進行解析，幫助學生強化“幾何直觀”素養和能力.所以，生活才是數學發展的源動力，因為大多數學知識都能在生活中找到“原版”，大多數學規律都能夠在生活中使用和完善.

（四）持續創新，強調學生參與體驗

隨著大數據、物聯網、智能AI的不斷融合滲透，初中數學教學時會有大量的載體輔助教師完成教學，如教學PPT、教學動漫、視頻、語音及在線互動等.所以，教科書也可以從數據發展視角進行創新，在教科書相應章節設計隱藏“彩蛋”，通過讀取設備檢索二維碼，能夠進入相應的教學場景，讓學生有更好的學習體驗；學生在下載軟件后，可以在家進行操作，增強學習興趣.數學“幾何直觀”絕對不是呆板的，而是在實踐探索中不斷總結、逐步完善的，在發展過程中會逐漸融合越來越多的創新理論和技能.

結 語

未來，隨著教育領域實踐探索不斷深化，“幾何直觀”將會有更多的創新與發展，教科書在國內有著不可替代的作用，但隨著在線教育不斷升級，教科書可以轉化為無數的研究方向，教師應對教科書中“幾何直觀”的設計類型進行研究與實踐，幫助學生更好地挖掘自身的成長優勢，堅持從小培養、從專業培養，讓每名學生都找到適合自己的領域，為國家和社會培養出更多的實踐型、創新型人才.

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