三角函數(shù)圖象與性質(zhì)促核心素養(yǎng)生成

楊薈琳 葉明露

摘要：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)既是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是應(yīng)用于物理與工程技術(shù)領(lǐng)域的知識(shí)基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以“學(xué)生本位”的立場，推動(dòng)學(xué)生品格與能力發(fā)展.因此，本文中著重探究如何透過學(xué)生視角，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)小組合作學(xué)習(xí)中的體驗(yàn)與興趣以及生活問題與數(shù)學(xué)問題鏈接的能力，鼓勵(lì)學(xué)生多維度去理解與應(yīng)用數(shù)學(xué)，以提高數(shù)學(xué)思維能力、問題解決能力、溝通能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；學(xué)生視角；小組合作；問題解決

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》修訂稿中提出了六大核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.六大核心素養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活相聯(lián)系，培養(yǎng)其探究合作能力、問題解決能力，以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，為未來的學(xué)習(xí)、工作與生活奠定基礎(chǔ).高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求較高，不同于義務(wù)教育階段內(nèi)容的淺易，更是接受高等教育的過渡.因此，在高中階段，學(xué)生如何通過小組合作學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法以提高效率是極為關(guān)鍵的.三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可追溯到初中已學(xué)過的三角函數(shù)sin x，cos x，tan x，高中階段設(shè)置一個(gè)單元繼續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)基本概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過圖象來研究三角函數(shù)的性質(zhì).本文中著重研究學(xué)生如何通過探究與合作來解決問題，提高學(xué)習(xí)動(dòng)力，從而觸發(fā)他們深入探究三角函數(shù)在物理與工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用的興趣.

1 訪談內(nèi)容及分析

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)后，為了更好地了解學(xué)情與核心素養(yǎng)的落實(shí)情況，作者運(yùn)用訪談法抽取高一年級(jí)50名學(xué)生作為訪談對(duì)象，訪談內(nèi)容如下：

（1）你如何學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)？

這個(gè)問題既能幫助筆者了解學(xué)生平常學(xué)習(xí)的一般方式，又能了解到學(xué)生個(gè)人的學(xué)習(xí)方法和體驗(yàn).訪談結(jié)果顯示，75%的學(xué)生是通過教師課堂教授和教師繪圖展示進(jìn)行學(xué)習(xí).學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解主要集中在圖象的形狀與周期性方面，可做一些常見的基本題型.

（2）自己的數(shù)學(xué)思維能力是否得到提升？

60%的學(xué)生認(rèn)為自己只是進(jìn)一步學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的內(nèi)容，是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充，跟著老師的步伐會(huì)做該部分的練習(xí)，并未明顯感覺到自己的思維能力與問題解決的能力有所提高.

（3）你了解有什么途徑可以幫助你學(xué)習(xí)？

70%的學(xué)生主要依靠教科書與教師提供的示意圖和解釋來明晰這部分的內(nèi)容.學(xué)習(xí)中有不清晰內(nèi)容，50%的學(xué)生知道借助在線教育平臺(tái)與老師輔導(dǎo)的方式來鞏固相關(guān)知識(shí).少數(shù)學(xué)生是通過數(shù)學(xué)軟件作圖以及小組合作學(xué)習(xí)的方式來進(jìn)行學(xué)習(xí)體驗(yàn).因此學(xué)生抽象理解較困難，學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)力不足.

2 在小組學(xué)習(xí)過程中滲透核心素養(yǎng)

為促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的生成，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式需要從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)學(xué)習(xí).小組合作學(xué)習(xí)作為一種教學(xué)組織形式和學(xué)習(xí)策略，堅(jiān)持以學(xué)生發(fā)展為本的理念，在強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的同時(shí)發(fā)展合作學(xué)習(xí)的積極效應(yīng)＼，在探究與合作的過程中，提高自身合作與探究以及解決問題的能力.小組合作學(xué)習(xí)的流程如圖1所示.

小組組建明確任務(wù)合作討論任務(wù)分工

圖象繪制解釋性報(bào)告拓展與延伸展示與匯報(bào)

反思與評(píng)價(jià)應(yīng)用練習(xí)互相學(xué)習(xí)

2.1 在思考與討論中深化目標(biāo)

學(xué)習(xí)小組由3～5名成員組成，分組確保每個(gè)小組的成員具有不同的學(xué)習(xí)風(fēng)格與能力水平，使小組能順利地完成指定的學(xué)習(xí)任務(wù).每個(gè)小組領(lǐng)取學(xué)歷案后，帶著明確的學(xué)習(xí)任務(wù)提前通過微課進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，這樣才能高效推動(dòng)活動(dòng)學(xué)習(xí)的深化.組員分享各自的觀點(diǎn)和理解，一起討論圖象的特點(diǎn)、周期、振幅、相位以及相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，每個(gè)人都能把握好任務(wù)的解決進(jìn)程，在理解他人的基礎(chǔ)上提供當(dāng)前階段所需要的觀點(diǎn)或行動(dòng).

2.2 在分工與合作中找到歸屬

高中三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)屬于高階思維內(nèi)容，問題的復(fù)雜性為不同成員提供個(gè)人見解與質(zhì)疑的可能，也為分工協(xié)作提供了更廣闊的空間，每個(gè)人都能夠在合作中展示自己，實(shí)現(xiàn)自我提升＼.合作討論后，組員根據(jù)同伴的風(fēng)格與能力進(jìn)行任務(wù)分工，選善于使用數(shù)學(xué)繪圖工具的同學(xué)繪制圖象，并且將繪圖過程記錄下來.其中，善于歸納總結(jié)的同學(xué)根據(jù)小組成員對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，書寫一個(gè)包含圖象、性質(zhì)、特點(diǎn)的解釋性報(bào)告.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的同學(xué)可以對(duì)三角函數(shù)在物理與工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行拓展延伸.最后由表達(dá)能力較好的同學(xué)負(fù)責(zé)整理小組成果，在全班進(jìn)行展示與匯報(bào).在展示最終成果的同時(shí)也要將群策群力的學(xué)習(xí)過程作為成果的組成部分進(jìn)行呈現(xiàn).

2.3 在分享與完善中得到收獲

在小組展示和討論的過程中，學(xué)生盡可能多地提出問題、辯論和質(zhì)疑，豐富自己的知識(shí)面，多維度思考問題，充分展示與生成自身的批判性思維和分析能力.接著，小組成員完整地梳理探究過程，通過思維導(dǎo)圖，呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，幫助同伴理解它們是如何演化的，并且按照該模式促使學(xué)生類比學(xué)習(xí)同類的知識(shí)點(diǎn)，以達(dá)到舉一反三地目的.小組成員可以一起精選三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的經(jīng)典練習(xí)題并完成解答，鞏固所學(xué)內(nèi)容，然后再解決各小組收集的不同例題，分類并整理到自己的錯(cuò)題集上.對(duì)于每個(gè)例題和錯(cuò)題，整理出詳細(xì)的解析和說明，以幫助理解解題思路和方法以及錯(cuò)誤的原因和糾正方法.整理錯(cuò)題是一個(gè)系統(tǒng)性、有針對(duì)性的學(xué)習(xí)方法，有助于學(xué)生更深入地理解知識(shí)，提高解題能力，發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，從而取得更好的學(xué)習(xí)效果.

2.4 在反思與評(píng)價(jià)中凸顯進(jìn)步

“反思自我評(píng)價(jià)”從心理學(xué)層面理解是指個(gè)體對(duì)于他人如何看待自己的知覺，它對(duì)自我概念、自我認(rèn)同的形成起著重要作用.小組學(xué)習(xí)結(jié)束后，組員對(duì)自身經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思與評(píng)價(jià).元認(rèn)知策略強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的反思和回顧是對(duì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)以及有關(guān)結(jié)果進(jìn)行的監(jiān)控和體會(huì).學(xué)生圍繞自我評(píng)價(jià)進(jìn)行反思：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我有什么收獲？在這個(gè)過程中，我的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題能力有所提高嗎？在今后的學(xué)習(xí)中，自己有哪些方面需要改進(jìn)？這樣的反思過程將進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，及時(shí)調(diào)整相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略，優(yōu)化相應(yīng)的學(xué)習(xí)過程，從而提升自身的學(xué)習(xí)能力.除了對(duì)自我的評(píng)價(jià)，在小組合作中，對(duì)他人的評(píng)價(jià)也是促進(jìn)合作、提高團(tuán)隊(duì)效能以及個(gè)人成長的重要環(huán)節(jié).在提供評(píng)價(jià)的同時(shí)，鼓勵(lì)被評(píng)價(jià)者提出自己的看法和感受，促進(jìn)雙向交流，共同進(jìn)步.他人評(píng)價(jià)也可以促使個(gè)人進(jìn)行更加深入的自我反思，二者相輔相成，在小組合作中起著推動(dòng)、引導(dǎo)和提升作用，有助于團(tuán)隊(duì)的強(qiáng)大與個(gè)人的進(jìn)步.

為促進(jìn)小組合作高效完成學(xué)習(xí)任務(wù)，教師可將操作流程分成7個(gè)任務(wù)模塊，從小組組建、明確任務(wù)、合作討論，再到任務(wù)分工、互相學(xué)習(xí)、應(yīng)用練習(xí)，最后對(duì)自己與他人在合作過程中進(jìn)行反思與評(píng)價(jià).各個(gè)環(huán)節(jié)存在著密切的聯(lián)系，彼此相互影響，共同構(gòu)建了一個(gè)完整的合作過程，使得小組合作可以在高效、協(xié)調(diào)和有序的環(huán)境下進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的目標(biāo)和成果.

從心理學(xué)的角度來看，“獨(dú)學(xué)而無友，則孤陋而寡聞”.在班級(jí)授課制的條件下，個(gè)體間的學(xué)習(xí)競爭關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖M內(nèi)合作”“組際競爭”關(guān)系，有利于促進(jìn)生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)局面，從而促進(jìn)學(xué)生之間的共同成長＼.

3 “三會(huì)”核心理念在小組合作學(xué)習(xí)中的體會(huì)

史寧中教授提出“三會(huì)”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在小組合作學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的過程中，“三會(huì)”的數(shù)學(xué)核心理念協(xié)同作用，促使學(xué)生問題解決能力、實(shí)際應(yīng)用能力、合作協(xié)調(diào)能力、分析推理能力不斷提升.

3.1 用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，提高問題解決能力

問題解決能力作為一種高階思維能力，是個(gè)體適應(yīng)社會(huì)與生活的必備特質(zhì)，也是個(gè)體勝任未來工作的核心能力之一.換句話說，具有高水平問題解決能力的人才是促進(jìn)新時(shí)代社會(huì)進(jìn)步的主要?jiǎng)恿Γ?三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)為學(xué)生提供了分析周期性變化的工具.通過繪制圖象，掌握它們的周期、振幅、相位差等特征，以便分析不同參數(shù)（周期、振幅、相位差）對(duì)三角函數(shù)圖象的影響，并且結(jié)合圖象理解函數(shù)間的關(guān)系，從而使用三角函數(shù)解決多領(lǐng)域的問題.在研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程中，小組組員會(huì)遇到各種問題和挑戰(zhàn).他們需要?jiǎng)佑脝栴}解決的能力，從多個(gè)角度思考、嘗試不同方法，找到解決方案.

3.2 用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，提高實(shí)際應(yīng)用能力

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是指正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等三角函數(shù)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形特點(diǎn)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)性質(zhì).學(xué)生在物理學(xué)中可以通過分析三角函數(shù)的周期性變化，理解波動(dòng)的特點(diǎn)，計(jì)算振動(dòng)的頻率和幅度，從而解釋聲音、光線等現(xiàn)象.在工程與建筑領(lǐng)域，學(xué)生可通過三角函數(shù)可以計(jì)算建筑物的高度、斜坡的角度，幫助工程師進(jìn)行設(shè)計(jì)與規(guī)劃.在信號(hào)處理領(lǐng)域，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可用于分析和處理波形，如音頻、圖象等.學(xué)生可以應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行濾波、變換等處理，改善信號(hào)質(zhì)量.在生物學(xué)研究中，學(xué)生可通過分析生物體的周期性行為，如心率、呼吸率等，解釋和預(yù)測生物體的生理現(xiàn)象.不同的學(xué)生對(duì)于不同知識(shí)領(lǐng)域的興趣有所差異，但正是三角函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用的多樣性，可為學(xué)生提供深入研究的契機(jī).學(xué)生將數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活相鏈接，從中找尋自己的興趣與好奇所在，不斷提升實(shí)際應(yīng)用能力.

3.3 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，提高協(xié)調(diào)溝通能力

為了實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)的教育價(jià)值，使三角函數(shù)成為學(xué)生研究函數(shù)一般方法與過程的典型案例，成為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的有效載體，讓學(xué)生在小組學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中體驗(yàn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界、感悟數(shù)學(xué)與自然的緊密聯(lián)系＼.在小組合作中，團(tuán)隊(duì)成員相互合作和協(xié)調(diào)，共同分工并互相支持.他們能夠有效地協(xié)商任務(wù)分配、資源利用和實(shí)踐安排，充分發(fā)揮每個(gè)成員的特長，從而實(shí)現(xiàn)集體智慧和協(xié)同合作.通過運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生可以傳達(dá)信息，提高協(xié)調(diào)與溝通效果，同時(shí)也能培養(yǎng)更強(qiáng)的邏輯思維和能力.

總之，將數(shù)學(xué)語言與現(xiàn)實(shí)情境相結(jié)合，有助于學(xué)生溝通更清晰，更有說服力，以取得更強(qiáng)的自我成就感.

在新課改背景下，高中數(shù)學(xué)教師需認(rèn)識(shí)到傳統(tǒng)的教學(xué)模式所存在的局限性，自身要不斷學(xué)習(xí)和實(shí)踐，形成開闊的視野，掌握學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.部分學(xué)習(xí)內(nèi)容，借助小組合作學(xué)習(xí)方式構(gòu)建學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境，提升學(xué)生的問題解決能力、實(shí)際應(yīng)用能力、溝通合作能力與評(píng)價(jià)反思能力.未來，學(xué)生運(yùn)用學(xué)習(xí)生涯中所掌握的方法與形成的能力以滿足終身發(fā)展與社會(huì)發(fā)展的需要.

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