小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識培養(yǎng)常態(tài)化實施的研究

趙世龍

【摘 要】模型意識的培養(yǎng)以模型建構(gòu)教學(xué)為載體，貫穿于整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。深刻領(lǐng)悟模型意識培養(yǎng)的核心價值，科學(xué)劃分模型意識發(fā)展的基本階段，深入探索模型建構(gòu)的流程、模式及模型意識培養(yǎng)的有效策略，有助于實現(xiàn)模型意識培養(yǎng)的常態(tài)化實施，促進(jìn)核心素養(yǎng)的融合發(fā)展及數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的達(dá)成。

【關(guān)鍵詞】模型意識；模型建構(gòu)；核心素養(yǎng)；一般策略

核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性［1］7。模型意識作為小學(xué)階段核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，是溝通其他核心素養(yǎng)的橋梁和紐帶。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版新課標(biāo)”）依據(jù)學(xué)段將模型思想這一核心素養(yǎng)細(xì)化為模型意識和模型觀念兩個層級，為模型思想的科學(xué)培養(yǎng)指明了方向，也提出了亟待深入研究的實踐課題。本文從理論和實踐兩個層面提出模型意識培養(yǎng)常態(tài)化實施的理論架構(gòu)和可操作的教學(xué)技術(shù)路線，為廣大教師提供一些參考。

一、模型意識培養(yǎng)的核心價值

深刻領(lǐng)悟模型意識的內(nèi)涵及其培養(yǎng)價值是積極主動、科學(xué)有效開展模型意識培養(yǎng)的前提。任何脫離事物聯(lián)系的內(nèi)涵解讀和價值評判都是片面的。只有運用系統(tǒng)論的方法厘清數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模式、模型思想、模型意識的意義及相互關(guān)系，才能真正把握模型意識的本質(zhì)及培養(yǎng)價值。

（一）科學(xué)領(lǐng)悟模型意識的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。［2］廣義地講，數(shù)學(xué)模型就是為解決現(xiàn)實生活中的問題而建立的數(shù)學(xué)概念、公式、定義、定理、法則、規(guī)律、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖表、程序等。［3］從狹義上講，數(shù)學(xué)模型是指反映特定問題或事物關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如小學(xué)的植樹問題、烙餅問題、抽屜原理、雞兔同籠問題等。可以說，幾乎所有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)基本思想方法都是數(shù)學(xué)模型。

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)模式是按照某種理想化的要求來反映或概括地表現(xiàn)一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式［4］。數(shù)學(xué)模式與數(shù)學(xué)模型具有相似性。數(shù)學(xué)模式是對數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步抽象，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)模式的具體表達(dá)。

2022版新課標(biāo)明確了模型意識的內(nèi)涵，即模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。同時，要求學(xué)生知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。模型意識有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)。［1］10

（二）深刻把握模型意識的培養(yǎng)價值

數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)中兼具多重要素和角色。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)的基本知識，也是數(shù)學(xué)的語言，更是模型思想的基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)的本體所在。數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動都離不開模型建構(gòu)。因此，從本質(zhì)上講，每一節(jié)數(shù)學(xué)課都是模型建構(gòu)的教學(xué)。開展模型建構(gòu)教學(xué)可以有效整合“四基”，溝通“四能”，統(tǒng)整“三會”核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的提質(zhì)增效。

模型意識的提出不是淡化和虛化模型思想在小學(xué)階段核心素養(yǎng)中的地位和價值，而是進(jìn)一步使之走細(xì)、走深、走實，更好地發(fā)揮其在核心素養(yǎng)中的樞紐作用。因此，教師要高度重視模型意識的常態(tài)化和科學(xué)化培養(yǎng)，將其作為一個重要的課題進(jìn)行長期深入地探索、實踐、研究，不斷提高模型意識的教育水平，促進(jìn)模型意識與其他核心素養(yǎng)的融合發(fā)展。

二、模型意識發(fā)展的幾個基本階段

模型意識的發(fā)展遵循核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性規(guī)律。欲實現(xiàn)模型意識培養(yǎng)的常態(tài)化實施，必須科學(xué)劃分模型意識發(fā)展的階段。筆者依據(jù)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型普適性的粗獷式感知、精細(xì)化體驗、系統(tǒng)性整合、靈活性應(yīng)用的螺旋漸進(jìn)式進(jìn)階順序，將模型意識劃分為以下幾個發(fā)展階段。

（一）模型普適性的初步感知

模型普適性的初步感知是指學(xué)生在模型建構(gòu)之初形成的關(guān)于模型建構(gòu)過程及模型的抽象化、結(jié)構(gòu)化特征的初步印象。此階段中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷操作、實驗、探究、分析、歸納等模型建構(gòu)過程，初步掌握模型的意義和特征，并嘗試將其運用于同類實例之中，初步了解模型可以用于解決一類問題。

（二）模型普適性的精細(xì)化分類

模型普適性的精細(xì)化分類是指學(xué)生在模型普適性初步感知的基礎(chǔ)上，對各個模型進(jìn)行細(xì)化分類，提煉出具體模型類別，以此提高模型識別和解決問題的效率。如在乘法模型建構(gòu)之初，學(xué)生并未對其進(jìn)行細(xì)化分類。進(jìn)入第二學(xué)段，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，將乘法模型按照解決問題類型細(xì)化為購物問題、行程問題、工程問題等具體的乘法模型。這種精細(xì)化分類有助于學(xué)生快速識別問題類別，高效套用相關(guān)模型進(jìn)行分析解答，發(fā)展模型、推理及應(yīng)用意識。

（三）模型普適性的統(tǒng)整化提升

在模型精細(xì)化分類認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對其做進(jìn)一步的形式化抽象，得到一般化的數(shù)學(xué)模型，即模型普適性的統(tǒng)整化提升。如將乘法模型抽象為ab=c、用字母表示數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律等，這是從算術(shù)模型逐步向代數(shù)模型躍遷的階段。此時，學(xué)生對模型本質(zhì)的認(rèn)識更深，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級更高，分析、解決問題的洞察力和敏感度更強(qiáng)，符號、模型、推理、應(yīng)用等意識進(jìn)一步融合發(fā)展。

（四）模型觀念的萌芽

學(xué)生在參與綜合實踐活動過程中，有了自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的需要，在教師的引導(dǎo)下嘗試自主建模，綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，此時模型意識的發(fā)展進(jìn)入了最高階段——模型觀念的萌芽。

三、模型建構(gòu)的一般流程

模型意識的培養(yǎng)始于模型建構(gòu)。把握模型建構(gòu)的一般流程有助于高效開展模型建構(gòu)教學(xué)，實現(xiàn)模型意識的常態(tài)化培養(yǎng)。模型建構(gòu)遵循著科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。基于此，筆者歸納并提煉了模型建構(gòu)的一般流程，具體如圖1所示。

如對于“有余數(shù)除法”，教師可以依據(jù)上述數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的一般流程進(jìn)行教學(xué)。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生按照要求擺三角形，有兩種情況，一種是正好擺完，沒有剩余；另一種是不能正好擺完，有剩余。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生對拼擺過程和結(jié)果進(jìn)行描述、比較、分類、抽象、提煉，從而建立有余數(shù)除法的描述性概念模型（如圖2）。圖2右側(cè)拼擺結(jié)果記作：10[÷]3=3（個）……1（根）。我們將這樣的除法叫作有余數(shù)除法。最后，教師讓學(xué)生舉例說明有余數(shù)除法，以此鞏固這一模型。

上面的建模過程是操作描述式的歸納推理建構(gòu)過程，不涉及提出猜想及驗證和修改猜想，而在建構(gòu)余數(shù)模型中則要完整體現(xiàn)前述模型建構(gòu)的一般流程（如圖3）。

在拼擺的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生操作并思考。首先，用8根小棒擺正方形，每4根擺1個，可以擺2個，猜想用9根小棒擺正方形可以擺幾個？學(xué)生操作后得出9根小棒可以擺2個正方形還余1根（研究事例）。接著，依次用10根、11根小棒擺正方形并猜測余數(shù)（提出猜想）。當(dāng)學(xué)生形成類推——余數(shù)會依次增加1之后（建立初步的猜想模型——當(dāng)然這是一個錯誤的模型），重點讓學(xué)生直接猜想用12根和13根小棒擺正方形的余數(shù)。大多數(shù)學(xué)生可能會猜測余數(shù)分別為4、5（初步運用模型）。然后，學(xué)生通過實際拼擺驗證，發(fā)現(xiàn)余數(shù)并非4和5，而是沒有余數(shù)和余數(shù)是1（發(fā)現(xiàn)矛盾）。此時，教師可以讓學(xué)生思考：余數(shù)為什么沒有繼續(xù)增加，而是重新經(jīng)歷沒有余數(shù)及余數(shù)分別為1、2、3呢？從而建立起“余數(shù)必須小于除數(shù)”的余數(shù)模型（重新提出猜想）。最后，教師讓學(xué)生依次用14根、15根、16根、17根小棒進(jìn)行拼擺，驗證余數(shù)會隨著被除數(shù)的遞增或遞減而發(fā)生變化，但是余數(shù)始終在1、2、3（比除數(shù)小1的數(shù)）之間依次循環(huán)（檢驗并論證猜想），這樣就建立了正確的余數(shù)模型。有了余數(shù)模型，可以判斷除法運算中每一步運算是否正確，這就是余數(shù)模型的基礎(chǔ)應(yīng)用。在建模的過程中，學(xué)生的推理意識、符號意識、科學(xué)精神都得到相應(yīng)地發(fā)展，模型意識也得到很好地落實。

四、模型建構(gòu)的一般模式

模型建構(gòu)的過程即觀察、操作、計算、分析、綜合、抽象、推理、驗證、論證的過程。模型建構(gòu)過程的核心是推理，推理有兩種基本形式，因此，模型建構(gòu)也相應(yīng)地有兩種基本模式。

（一）歸納推理建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)的大多數(shù)模型均遵循模型建構(gòu)的一般流程，通過操作、描述、抽象、歸納的方式進(jìn)行歸納推理建構(gòu)，如數(shù)與運算的意義、運算法則、數(shù)量關(guān)系、探索規(guī)律等。

（二）演繹推理建構(gòu)

有了上位模型，要建立同級或者下位模型時多會采用轉(zhuǎn)化、類比方式，進(jìn)行演繹推理建構(gòu)。如依據(jù)三角形面積公式推導(dǎo)方法類推梯形面積公式，依據(jù)圓的面積公式推導(dǎo)方法類推圓柱的體積公式，依據(jù)正比例模型類推反比例等。

五、模型意識培養(yǎng)的一般策略

模型意識的四個發(fā)展階段及模型建構(gòu)的一般流程和一般模式，向我們揭示了模型意識培養(yǎng)的實踐路徑：在模型建構(gòu)中感知模型的抽象性、遷移性，體驗?zāi)Ｐ团c現(xiàn)實世界的內(nèi)在聯(lián)系；在解決問題的數(shù)學(xué)實踐中感悟模型的普適性，學(xué)習(xí)用模型的眼光觀察現(xiàn)實生活，用模型的思維解決現(xiàn)實問題；在主題活動、項目學(xué)習(xí)等綜合建模實踐中，積累建模經(jīng)驗，認(rèn)識模型應(yīng)用的廣泛性。模型意識的培養(yǎng)需要遵循科學(xué)的實踐路徑，更需要有效的教學(xué)策略做支撐。教師要善于選擇和恰當(dāng)運用模型意識培養(yǎng)的有效策略，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

（一）情境創(chuàng)設(shè)策略

數(shù)學(xué)情境是從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，是一種優(yōu)化了的學(xué)科教學(xué)環(huán)境。它包含相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，同時也是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景。［5］數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。模型的建構(gòu)與應(yīng)用和現(xiàn)實情境密切相關(guān)，因此，情境創(chuàng)設(shè)策略是模型意識培養(yǎng)的首要策略。

1.創(chuàng)設(shè)真實情境，感知概念模型的抽象過程

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)需在與現(xiàn)實情況基本一致的情境中發(fā)生。真實情況不僅擁有認(rèn)知意義，而且更在于真實情境最接近學(xué)生生活體驗，最易從中發(fā)現(xiàn)問題，也最能調(diào)動學(xué)生全部的感受力及已有的認(rèn)知經(jīng)驗來探討問題。因此，教學(xué)有必要向?qū)W生呈現(xiàn)與當(dāng)前學(xué)習(xí)主題相關(guān)的真實情境。［6］

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的原型多來自現(xiàn)實情境。現(xiàn)行教材為概念模型的建構(gòu)提供了生活化、結(jié)構(gòu)化的情境。如何有效利用這些情境，是成功建模的關(guān)鍵。首先，教師要用模型的眼光觀察、研究教材的情境資源，深透把握知識結(jié)構(gòu)及模型本質(zhì)。其次，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計體現(xiàn)教材意圖的建模活動，采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到表象再到抽象的“真探索、真研究”的建模過程。最后，把已建模型遷移到其他情境之中，感悟模型的普適性。

2.創(chuàng)設(shè)操作情境，領(lǐng)悟運算模型的提煉過程

直觀操作普遍應(yīng)用于加減法的算法探究。教師可以讓學(xué)生借助小棒、圓片等學(xué)具，依據(jù)運算意義，對運算對象進(jìn)行有序地分或合的操作（推理）活動，引導(dǎo)學(xué)生對有序推理過程做進(jìn)一步的提煉概括，得到可供遷移的算法模型。如在學(xué)習(xí)長方形面積、圓的周長、圓錐體積等內(nèi)容時，教師可以創(chuàng)設(shè)實驗操作情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察想象、設(shè)計操作、計算推理，探索相關(guān)因素間的數(shù)量關(guān)系，從而成功建構(gòu)相應(yīng)的計算公式模型。

3.創(chuàng)設(shè)典型情境，體驗原型啟發(fā)的抽象策略

原型啟發(fā)指的是人們在解決問題的過程中，從某種事物與待解決問題之間的某些共同點或相似處看出解決問題的途徑的思維方法。［7］原型事物與待解決的問題雖然情境不同，但是有著相同的關(guān)系結(jié)構(gòu)，這是原型啟發(fā)的必備條件。

創(chuàng)設(shè)與模型結(jié)構(gòu)特征相同的典型情境，有助于啟發(fā)學(xué)生依據(jù)情境結(jié)構(gòu)快速發(fā)現(xiàn)和抽提模型結(jié)構(gòu)。如借助付整找零的典型情境建構(gòu)加減法速算模型，借助工人師傅用繩子畫圓的原型情境探索圓規(guī)畫圓的作法。教師要善于將數(shù)學(xué)教學(xué)與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，發(fā)掘典型的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生將生活原型上升為數(shù)學(xué)模型，以此提升學(xué)生對模型的理解與運用能力，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察和研究現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，獲得建模的成功體驗，積累建模活動經(jīng)驗。

4.創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科綜合實踐情境，增強(qiáng)應(yīng)用意識

開展跨學(xué)科綜合實踐活動，有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，奠定模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)。教師要結(jié)合教材提供的綜合實踐活動主題或項目，科學(xué)設(shè)計，大膽放手，引導(dǎo)學(xué)生開展建模活動，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。同時，教師要做好必要的指導(dǎo)，讓學(xué)生積極參與跨學(xué)科解決問題的全過程，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。另外，教師要恰當(dāng)選取具有一定開放性的主題，對于任務(wù)設(shè)置要突出問題意識，對于問題設(shè)置要做到指向明確、范圍適宜、難易適中。［8］

（二）挖掘本質(zhì)策略

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式。通過數(shù)學(xué)的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系。［1］6挖掘本質(zhì)策略旨在引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)現(xiàn)象的根源所在，研深悟透模型本質(zhì)，提升模型遷移能力。

1.叩問本質(zhì)，探尋模型遷移之源

提問是思維的開關(guān)，好的提問能夠激發(fā)學(xué)生快速進(jìn)入積極的思考狀態(tài)。抓住本質(zhì)的提問能直擊事物關(guān)鍵，提高思維的效率。例如，在教學(xué)加法交換律時，教師可以先提問：“交換加數(shù)的位置，為什么和不變？”再引導(dǎo)學(xué)生通過深度探究，明確加數(shù)交換前后合并的對象沒有改變，只改變了合并的順序，也就是僅僅改變計數(shù)單位的累加順序，因此和不變。

2.勘誤糾偏，筑牢模型遷移之基

由于經(jīng)驗誤導(dǎo)或認(rèn)識不足，學(xué)生對概念的認(rèn)知往往存在某種錯誤或偏差，從而影響模型的遷移，因此，教師要能對此進(jìn)行有效預(yù)判并相機(jī)勘校。例如，學(xué)習(xí)有余數(shù)除法簡算時，學(xué)生由于盲目類推，誤認(rèn)為商不變余數(shù)也不變。這時，教師有必要引領(lǐng)學(xué)生探明余數(shù)之來源，對其進(jìn)行倍數(shù)還原。

3.辨析概念，厘清相近模型之別

有些概念的內(nèi)涵相近或外延交叉，只有辨析其異同，在概念遷移時才不會犯錯。如奇數(shù)與質(zhì)數(shù)、數(shù)位與位數(shù)、分?jǐn)?shù)與比等。概念辨析時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從概念的內(nèi)涵和外延兩個層面比較它們的異同。例如，分?jǐn)?shù)可以表示具體的數(shù)，還可以表示兩個量之間的倍比關(guān)系、除法關(guān)系、除的結(jié)果、比或比值。兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比，比同樣可以表示數(shù)量之間的倍比關(guān)系。從內(nèi)涵的表述上看，比的意義包含在分?jǐn)?shù)的意義之中。但是從外延看，二者又有所不同，比可以表示多個量之間的倍比關(guān)系，分?jǐn)?shù)則不能。

（三）變式運用策略

變式運用是通過改變問題的非本質(zhì)屬性，以突出其本質(zhì)規(guī)律，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三、觸類旁通的模型遷移能力。常用的變式運用策略有三種。一是變情境。教師通過一個模型多種情境的變式，讓學(xué)生在變與不變中掌握模型的結(jié)構(gòu)特征，提升模型的運用能力。如將相遇模型用于不同的行走、工程問題情境之中。二是變問題。同樣是相遇模型，教師可以編制求相遇時間、相遇距離、行駛速度等問題，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，使學(xué)生體驗?zāi)Ｐ妥冃蔚暮愕刃约澳Ｐ蛻?yīng)用的靈活性和普適性。三是變條件。教師可以通過條件變式設(shè)置練習(xí)，讓學(xué)生鞏固舊模、建構(gòu)新模，發(fā)展學(xué)生的建模能力、創(chuàng)新能力和實踐能力。如在學(xué)習(xí)了長方體、正方體的表面積之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對長方體或正方體進(jìn)行切（橫切、平切、縱切）、拼（兩拼、多拼）、挖（挖透、不挖透）等操作，建構(gòu)表面積增量模型。

（四）循序漸進(jìn)策略

循序漸進(jìn)既是教學(xué)原則，也是模型意識培養(yǎng)的重要策略。在模型意識的培養(yǎng)中，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，采取感知滲透、體驗積累、頓悟提煉的暗線操作方式，促進(jìn)學(xué)生模型意識的潛在積累和自然生長。

1.循序滲透，促模型意識自然生長

教師應(yīng)遵循教材體系，注重模型意識的漸進(jìn)式培養(yǎng)。例如，加法交換律模型的建構(gòu)經(jīng)歷了一、二年級的初步感知，三年級加法驗算的實踐運用，到四年級才水到渠成地提煉出形式化的加法交換律模型a+b=b+a。在此期間，學(xué)生對其普適性的認(rèn)識于積累中自然生長，在運用中逐步走向成熟。

2.遞次歸納，助模型意識統(tǒng)整提升

計數(shù)單位模型從整數(shù)擴(kuò)展到小數(shù)，形成了完整的十進(jìn)模型。四則運算以計數(shù)單位為操作對象，以“分與合”為操作理據(jù)，實現(xiàn)了算理的統(tǒng)一。模型在建構(gòu)中發(fā)展，由特殊到一般，由單一到復(fù)合；在發(fā)展中統(tǒng)整，由低級到高級，由分散到整合，漸次實現(xiàn)了系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。學(xué)生的模型意識也隨之統(tǒng)整提升，模型觀念在提升中萌芽。

總而言之，模型意識的培養(yǎng)是一個循序漸進(jìn)、長期滲透的過程，切忌急于求成。教師要重視創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，使數(shù)學(xué)與學(xué)生的實際生活密切聯(lián)系，充分調(diào)動學(xué)生參與模型建構(gòu)的積極性；重視模型建構(gòu)的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷模型的抽象、建構(gòu)、運用、反思的全過程；采取明暗雙線并行策略，把模型意識的培養(yǎng)滲透在建模、用模、創(chuàng)模的過程之中。教學(xué)中，教師要努力淡化模型痕跡，不要急于固化和機(jī)械套用模型，而是讓學(xué)生在感悟中理解模型，在理解中運用模型，在運用中把握模型的本質(zhì)。同時，教師要注重采用循序漸進(jìn)策略，讓模型及模型意識自然生長、自然成熟，適時提出和定義模型，使學(xué)生豁然頓悟、柳暗花明，既收到“無模勝有模”的教學(xué)效果，又實現(xiàn)整體育人的目標(biāo)。

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