巧借數學思想 助力復習教學

王冠軍

［摘? 要］ 借助各種數學思想助力復習教學，能有效提高復習效率。文章以“認識更大的數”的單元復習教學為例，從五個方面展開分析：巧借分類思想，梳理復習脈絡；巧借類比思想，發現知識聯系；巧借化歸思想，提煉學習方法；巧借整體思想，設計題組練習；巧借數形結合思想，提升解題能力。

［關鍵詞］ 數學思想；復習；更大的數

小學數學復習課是指完成階段性教學后，教師帶領學生對這一階段所學內容實施系統性的總結、歸納，以幫助學生鞏固提升實際應用能力。復習課應從宏觀的角度出發厘清知識脈絡，建立知識內部聯系，“串珠成鏈”形成知識板塊，絕不可淺嘗輒止于碎片化的知識點。事實證明，教師巧借各種數學思想，能有效提升復習教學效率，幫助學生將零碎的知識點整合成“知識樹”。

一、巧借分類思想，梳理復習脈絡

分類思想既是一種數學思想，又是一種常用的解題方法。分類思想貫穿學生整個數學學習生涯，以積零為整或化整為零的形式呈現。分類思想在復習教學中對梳理知識脈絡具有重要意義。

單元復習內容比較雜、多，如果“眉毛胡子一把抓”，難以讓學生從根本上建構完整的知識架構和理解知識的本質。分類思想的介入能將單元知識按照一定的標準進行分類、整理，幫助學生更好地理解章節脈絡和建構完整的認知體系。

“認識更大的數”單元知識點多且雜，比如包括自然數、數位順序以及大數的讀寫法、比較、改寫、近似值等。如果教師帶領學生逐個回顧知識點的概念并進行配套練習，不僅需要耗費大量時間，而且取得的教學效果也不理想。學生在這種模式下進行復習，只是單純地重復記憶零碎的知識點，難以真正實現復習的過程性目標，更談不上提升學習能力。

究竟該如何將本章節零碎的知識點“串珠成鏈”，幫助學生建構完整、清晰的知識脈絡呢？實踐證明，分類思想的介入能幫助學生將孤立、分散的知識組織成清晰的脈絡圖。

比如，對于大數的認識主要涉及大數的讀寫、比較等內容，教師可引導學生將相應的知識羅列在一起制作成表格（見表1），讓學生應用分類思想完善對這部分知識的認識。這種教學模式遠遠比針對知識點逐個教學的效果好。

教師除了利用表格或思維導圖羅列知識框架，還可以應用分類思想對問題進行探索。比如本單元的復習，教師可以呈現如下材料，要求學生根據材料中涉及的數分析問題。

材料：聯合國人口基金會發布的2021年世界人口數量顯示，截至2021年12月21日，全球人口總數超過75億人，中國以1411780000人位居世界第一。其中，中國人口中有2.91億的學生，1844.37萬的專任教師……

問題1：材料中呈現了一些什么數？哪些數屬于自然數？（復習自然數）

問題2：可以將材料中呈現的數進行分類嗎？與同桌互相讀一讀、寫一寫各個數。（復習大數的讀法與寫法）

問題3：嘗試將材料中的數進行排隊，并說明這么排的理由。（復習大數大小的比較）

學生緊緊圍繞材料中的信息進行思考，不僅復習了自然數的概念、大數的讀與寫，還根據數位順序進行大小的比較等。自然數、數位順序、讀寫、大小比較等內容，教師均通過一則材料所提供的數據一氣呵成地完成了復習教學。

在學生順利完成以上三個環節后，教師要求學生將材料中所有的數進行統一書寫后再次分析，并說明如此分類的具體理由。學生經觀察提出：可根據整萬、整億、末尾是否為零等標準進行分類。

問題4：將“全球人口總數超過75億人”這里的75億寫成完整的數，該怎么寫？（大數改寫的復習）

問題5：生活中，若我們對數的要求不那么精確，該怎么進行簡便表示？說說你的做法與注意事項。（復習大數近似數）

一則人口信息材料就能將本章節的重點知識羅列到一起進分析，每一個問題都對應了一個復習重點。隨著問題的逐個突破，學生成功地將本單元知識點梳理成知識脈絡。知識間的聯系與脈絡梳理是本節課的“課眼”，學生緊扣“課眼”將各個問題分類整理、逐個擊破、總結歸納，使得整個復習教學過程流暢、簡約而又不簡單。

二、巧借類比思想，發現知識聯系

類比思想是指對兩個或多個對象的內部屬性或關系的相似面進行分析，推導出它們之間存在的共性特征，或由一個事物類比出另一事物特征的思維活動。類比思想是由已知推測出未知，它是猜想的前提，而猜想又是發現的前提。因此，將類比思想應用在復習教學中，不僅能強化學生對原有知識的認識，還能讓學生自主發現知識間的聯系與區別。

“認識更大的數”單元的復習，大數改寫和求近似數的目的與方法具有相似之處，但又是完全獨立的兩個知識點，怎樣讓學生自主精準辨析出其中的聯系與區別呢？教師可引導學生進行如下思考：改寫大數和求大數的近似數都是為了將數據變成以萬（億）為單位的數，那兩者一樣嗎？哪里不一樣？

通過對這個問題的思考與交流，學生明確：大數的改寫，其大小不會發生變化，只有單位發生變化。這就相當于與別人換零錢，最終換回來的錢數是相等的，改寫前后的數用“=”號相連；求大數的近似數是將該數進行四舍五入，即使結果與原數據接近，卻不能用“=”號連結，只能用“≈”。

將這兩者放在一起進行類比，讓學生對這兩個概念有了明晰的認識。由此可見，類比思想是數學學習的一大法寶，在復習教學中巧借類比思想，能讓學生主動發現知識間的聯系，為建立清晰的認知結構奠定基礎。

三、巧借化歸思想，提煉學習方法

在復習過程中，學生常常會遇到一些無法直接求解的問題，想要突破這些問題的辦法就是將這些陌生的問題轉化成學生認知范疇內的問題來分析，這就是化歸思想的應用。巧借化歸思想，可以對問題條件或結論進行變更，也可以變更問題的形式，同時借助數形結合思想化繁為簡，促進問題的解決。

化歸思想應用方法多樣，但不論怎樣轉化，都是為了將復雜的問題變得簡單、通透，便于學生理解。化歸思想在復習教學中的應用，一般要遵循以下幾個原則：

①熟悉化，即將陌生的內容轉化成學生熟悉的知識或經驗；②簡單化，指將問題的解決方案或處理方式變得簡單；③和諧化，通過對問題條件或結論的化歸，讓其形式變得統一，更符合常規思維；④直觀化，即將一些抽象的問題直觀具體化；⑤正難則反，若從正面難以處理的問題，可從反面去探索。

“認識更大的數”單元的復習，初看毫無章法可言，并且單純的知識梳理確實比較棘手。若細細琢磨，會發現各個知識點之間有一定的邏輯關系：這些數大都為自然數，從數位順序出發，都能準確地讀寫與比較；想要讓大數讀、寫起來更加便捷一些，可將它們改寫為以億或萬為單位的數；求大數的近似數與改寫大數存在類似的目的等。從化歸思想的角度來分析，識別數的方法則自然形成。

改寫大數和求大數的近似數的具體目的是什么呢？目的就是讓這些冗長的大數變得更加簡捷和便于讀寫、記憶。如圖1，本節課的復習內容通過化歸思想可以羅列成一個簡單的結構圖。

化歸思想的介入，讓學生對大數改寫與求近似值有了更進一步的認識，并在大腦中建構了一個完整的方法結構圖，為后續研究類似問題奠定了方法基礎。化歸思想不僅幫助學生簡化復習結構，還貫穿數學解題的始終，解題是將問題從未知向已知不斷轉化的過程。

四、巧借整體思想，設計題組練習

練習是復習課的重要組成部分，是促使學生從更深層次理解知識與掌握技能以及發展數學能力的途徑。練習對于復習課來說，就像新課的總結一樣，具有“點睛”的功效。對于“認識更大的數”復習課的題組練習，一般情況下教師會做如下設計：

1. 猜數游戲

（1）比最小的六位數少1的數是什么？

（2）一個由3個百萬、4個十萬、3個千組成的數是什么？

（3）一個八位數，最高位上是5，百萬位上是4，百位上是8，其余各位上為0，這個數是多少？

2. 數字組合

將3個0與3個7組合成符合如下要求的數：①最小的六位數；②最大的六位數；③讀數只有一個零的數。

3. 猜價格

若一輛電瓶汽車的價格經過四舍五入后約13萬元，那么這輛車的最高與最低價格分別是多少？

此練習題組雖能兼顧到各個知識點，但知識過于零散，學生很難從整體上把握這部分內容。為此，筆者結合學情，巧借整體思想做了如下改進：

（1）3400006讀作（? ），若去掉其中1個數字，讓該數成為1個零都不讀的六位數是（? ），將3400006四舍五入，改寫為以萬為單位的數是（? ）；

（2）比3400006多2萬的數是（? ），將3400006去掉1個數字，變成1個最大的六位數為（? ），四舍五入到萬位約為（? ）；

（3）將一個數四舍五入到萬位約為34萬，該數最大與最小分別是多少？

改進后的題組練習，既兼顧到基礎知識，又強調了大數中“零”的特殊性。一數多用的方法不僅突破了教學難點，還讓學生從整體的角度對“大數”有了一個完整的認識。尤其是最后一個問題，對學生來說具有一定的挑戰性，這對提升學生的數學思維與創新意識具有重要的促進作用。

五、巧借數形結合思想，提升解題能力

數形結合思想是指根據數學問題的條件與結論間存在的內在關聯，從代數意義與幾何直觀兩個角度分別進行分析，使其數量關系和空間形式有機融合并呈現出來。

數形結合思想在復習教學中的應用，主要分為以下幾種類型：①由形化數，即觀察直觀的圖形，從其特征中挖掘出數量關系，將數學事物的本質特征展現出來；②由數化形，即從題意出發，繪制出與之匹配的圖形，以反映出圖中所傳遞的數量關系，具有化繁為簡、化抽象為直觀的效果；③數形轉換，即將數形靈活轉換，起到揭示數形關系的作用。

單元復習中的練習訓練，基本都是典型例題與變式訓練相結合的方式。如果沒有數學思想方法的介入，學生很難順利解決所有問題。復習過程中的問題比新知教學時的問題難度要大一些，對學生的思維要求更高，數形結合思想對解決這些問題有一定的幫助。數形結合思想能將復雜的問題變得簡捷、直觀，為學生解決綜合性的問題服務。

例1? 已知一個數，通過四舍五入的辦法到萬位大約是23萬，那么這個數最小是多少？最大是多少？

僅從這一段文字來看，這個問題雖然題干簡單，卻難以讓學生快速探尋出準確的答案。

如圖2，若將23萬左右的數用圖示表達，則能讓學生快速發現23萬到24萬之間，中點左側接近23萬處，哪些數能夠“四舍”到23萬；22萬到23萬之間，中點右側接近23萬處，哪些數是可以“五入”至23萬。

通過畫圖、讀圖、分析圖，學生很快就解決了這個抽象的數學問題。由此可見，將直觀的“數軸”應用在此題中，不僅彰顯出數形結合思想對復習教學的優勢，還有機滲透了數集和直線上點集一一對應的數學思想，為學生后續學習夯實了基礎。

數學家拉格朗日提出：若幾何與代數“分道揚鑣”，那么它們的應用都會變得狹窄，進展會變得異常緩慢；而將它們組成搭檔時，兩者則會互相吸取對方的優點，彰顯出數學學科的魅力，加快發展進程。雖然小學階段尚未涉及高深的數學內容，但教師應盡早滲透與應用數形結合思想，讓學生形成良好的數形結合習慣，這對學生長遠的發展具有重要促進作用。

總之，學生在課堂中掌握的知識隨著時間的遷移會逐漸出現遺忘，但受教育過程中獲得的數學思想方法、嚴謹的學習習慣、研究問題的基本途徑等不會隨時間的流逝而淡化，這些將是促進學生可持續發展的基礎。