高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)的分析

摘 要：在社會發(fā)展過程當(dāng)中，數(shù)學(xué)在生活當(dāng)中應(yīng)用廣泛，大數(shù)據(jù)時代也為推動社會進(jìn)步起到了重要作用.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，統(tǒng)計應(yīng)用題的教學(xué)是學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)應(yīng)用的能力培養(yǎng)的重要載體.隨著課改的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力已成為教學(xué)的重要內(nèi)容，而統(tǒng)計應(yīng)用題就是要求學(xué)生將統(tǒng)計知識應(yīng)用于生活綜合性問題[1].本文對于統(tǒng)計應(yīng)用題分類進(jìn)行介紹，探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)策略，以供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；統(tǒng)計應(yīng)用題；教學(xué)策略

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）03-0030-03

統(tǒng)計知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密.當(dāng)前，學(xué)生在生活當(dāng)中接觸的數(shù)據(jù)量越來越大，為了了解數(shù)據(jù)背后的價值，需要利用有效的方式對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計和分析.高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計部分知識與生活現(xiàn)象息息相關(guān)，如商場促銷、財務(wù)報表、新聞聯(lián)播當(dāng)中的信息都涉及數(shù)據(jù)處理，統(tǒng)計知識的學(xué)習(xí)關(guān)系學(xué)生實踐能力的提升，也是影響學(xué)生素養(yǎng)關(guān)鍵所在.因此，研究統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)策略十分重要[2].

1 高中統(tǒng)計應(yīng)用題分類

1.1 數(shù)據(jù)處理

處理數(shù)據(jù)過程當(dāng)中，通常會利用算術(shù)平均值、方差、眾數(shù)和中位數(shù)等，要求學(xué)生思考數(shù)字之間的特點，找到事物關(guān)聯(lián)，通過頻率分布直方圖、散點圖和折線圖等方式將事物特性呈現(xiàn)出來.對于具體問題處理，通常要求先抽樣調(diào)查，然后篩選樣本，最后分析數(shù)據(jù)，總結(jié)數(shù)據(jù)分布情況，運用分析工具做出決策.

1.1.1 利用莖葉圖來分析平均數(shù)

所謂莖葉圖就是“枝葉圖”，按照位數(shù)對比，主干為變化量相對較小的位，分支位于主干之后，變化范圍相對較大.若數(shù)據(jù)為整數(shù)，葉上為個位數(shù)，莖上為其他位數(shù)；若數(shù)據(jù)為小數(shù)，莖上通常為整數(shù)，葉上為小數(shù).當(dāng)圖形當(dāng)中的數(shù)據(jù)分布于中位數(shù)附近，代表數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.不足之處是若數(shù)據(jù)樣本數(shù)量過大，圖中數(shù)據(jù)占據(jù)空間也相對較大.分析莖葉圖意義有助于比較中位數(shù)或者平均數(shù)數(shù)據(jù)特征.

例如，某工廠舉辦技術(shù)比賽，工人提出兩種全新生產(chǎn)方式，為了判斷哪種方式效率更高，將工人平均分成兩組，

兩組分別使用不同生產(chǎn)方式，按照工人完成任務(wù)所需時間（單位分鐘），繪制莖葉圖，如圖1所示.

根據(jù)莖葉圖，嘗試判斷哪種生產(chǎn)方式更為高效？說明理由？

解法一：按照莖葉圖所示，使用第1種方式生產(chǎn)，時間中位數(shù)是85.5分鐘，對比而言，第2種生產(chǎn)方式，時間中位數(shù)73.5分鐘.因此，第2種方式效率高.

解法二：根據(jù)任務(wù)完成平均時間進(jìn)行分析，第1種方式平均時長在80分鐘以上，第2種方式平均時長低于70分鐘.因此，第2種生產(chǎn)方式更為高效.

解法三：從分布特點進(jìn)行分析，第1種生產(chǎn)方式的任務(wù)完成時間分布于莖8位置上，并關(guān)于莖8對稱.第2種生產(chǎn)方式任務(wù)完成時間分布在7莖上，同樣呈對稱分布.使用兩種方式生產(chǎn)任務(wù)完成時間存在相同分布區(qū)間，但是第2種方式消耗時間更少，因此第2種方式效率高.

1.1.2 頻率分布直方圖求中位數(shù)

對于頻率分布直方圖的識讀，要重點注意縱軸代表的含義為頻率/組距，則代表單個矩形面積即為“頻率”，所有矩形面積之和為1.當(dāng)樣本容量低于100的時候，可將其分成5～12組.頻率分布直方圖當(dāng)中，最高矩形中點就是眾數(shù)，中位數(shù)處于左右直方圖面積相等位置，所有小矩形面積與其底邊中點橫坐標(biāo)乘積之和即為平均數(shù).利用此類圖形的優(yōu)點在于能夠以簡單的方式表示出大量數(shù)據(jù)，還能將數(shù)據(jù)分布大體趨勢看出來，不足之處在于難以從圖形當(dāng)中將原始數(shù)據(jù)看出，若將數(shù)據(jù)使用直方圖進(jìn)行表示，就會導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)丟失.所以可以利用此類圖形求眾數(shù)、平均數(shù)或者中位數(shù).

1.2 相關(guān)關(guān)系

變量之間有兩個普遍關(guān)系，一是確定函數(shù)關(guān)系，二是隨機關(guān)系，也呈相關(guān)關(guān)系.對于兩個變量之間關(guān)系進(jìn)行判定、分析的方法是線性回歸.高中階段，相關(guān)關(guān)系求解主要是求解其線性回歸方程，對于變量關(guān)系進(jìn)行預(yù)測、解釋.在直角坐標(biāo)系當(dāng)中，散點圖是將收集的變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)當(dāng)作橫縱坐標(biāo)描點，此類圖形能夠?qū)?shù)據(jù)之間密切程度呈現(xiàn)出來，通過初步判斷，分析變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系.若點分布在一條直線周圍，就可認(rèn)為兩個變量有線性相關(guān)關(guān)系，也就是這條直線為回歸直線.散點圖中，若點分布情況為從左下至右上，則代表二者為正相關(guān)關(guān)系；若點分布情況為左上到右下，則稱為負(fù)相關(guān).通過散點圖能夠?qū)⒆兞肯嚓P(guān)關(guān)系直觀呈現(xiàn)，兩個變量線性相關(guān)也可利用相關(guān)

系數(shù)進(jìn)行判斷.

在求解應(yīng)用題的時候，第一類，借助散點圖分布在特定直線附近，使用最小二乘法將線性回歸方程求出來；第二類，利用所給數(shù)據(jù)，將其帶入公式，求出相關(guān)系數(shù)進(jìn)而進(jìn)行判斷，在計算過程要依照公式求解，準(zhǔn)確計算.

1.3 獨立性檢驗

獨立性檢驗和反證法類似，應(yīng)用目的是對兩個分類變量之間關(guān)系進(jìn)行確認(rèn)，判斷其成立可信度.在計算過程，可先假設(shè)結(jié)論不成立，假設(shè)兩個變量無關(guān)系，若通過計算觀察值較大，則代表假設(shè)不合理.應(yīng)用獨立性檢測可以輔助人們在日常生活當(dāng)中對于問題展開合理預(yù)測，兩個變量之間存在關(guān)系結(jié)論出錯概率

不同，對應(yīng)上界也各有不同.因此若計算結(jié)果得到觀察值較大，則代表假設(shè)不合理.

2 高中統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)策略

2.1 滲透數(shù)學(xué)思想

統(tǒng)計推斷思想的滲透是數(shù)學(xué)統(tǒng)計問題求解的核心思想之一，學(xué)生可以借助樣本數(shù)據(jù)整體特征對于數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，為決策制定提供依據(jù).

比如：某花店進(jìn)購一種鮮花，成本5元/枝，之后以10元/支單價售出，如果當(dāng)日未售出，則當(dāng)垃圾處理.

（1）若該花店某天進(jìn)購鮮花16枝，求當(dāng)天利潤（y）和需求量n之間的函數(shù)解析式，其中n∈N.

（2）花店對于100天鮮花每日需求量進(jìn)行記錄，頻數(shù)分布表如下：

根據(jù)花店100天鮮花需求量頻率來計算需求量發(fā)生概率.

問題一：假設(shè)花店每天進(jìn)購鮮花16支，x代表當(dāng)日利潤，求x分布列、數(shù)學(xué)期望、方差.

問題二：如果花店打算每天進(jìn)購鮮花16枝或者17枝，那么哪種方案更合理，說明理由.

此問題屬于利潤計算領(lǐng)域，問題設(shè)置包括函數(shù)解析式、隨機變量分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等求解，考查學(xué)生推斷思想的應(yīng)用.解題過程，經(jīng)過計算，將價值信息提煉出來，進(jìn)而制定合理策略.

2.2 注重素質(zhì)培育

數(shù)據(jù)分析主要指的是學(xué)生能夠針對研究對象完成數(shù)據(jù)收集，選擇統(tǒng)計方法，對于數(shù)據(jù)信息進(jìn)行推斷.統(tǒng)計應(yīng)用題的教學(xué)，教師可根據(jù)實際生活創(chuàng)設(shè)問題情境，通過數(shù)據(jù)收集和整理，提取出價值信息.同時，學(xué)生核心素養(yǎng)還表現(xiàn)在對統(tǒng)計模型的建立和分析能力，具備利用數(shù)據(jù)語言表達(dá)問題的能力.教師要根據(jù)課標(biāo)要求，對于教學(xué)資源加以整合，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升[3].

例如，某超市按月采購酸奶，每天進(jìn)貨量相同，一瓶酸奶進(jìn)價4元，售價6元，若酸奶當(dāng)日沒有銷售出去，要采取降價處理，以2元/瓶價格售出.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，酸奶日銷量和氣溫相關(guān)，當(dāng)氣溫在25 ℃以上時，日銷量500瓶；氣溫在［20，25）之間，日銷量300瓶；氣溫在20 ℃以下，日銷量200瓶.如果采購在6月份進(jìn)行，對6月份氣溫進(jìn)行統(tǒng)計，繪制頻數(shù)分布表2：

最高氣溫所處區(qū)間頻率表示最高氣溫在此區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)概率.

問題一：求六月份該品類酸奶一天銷量為x（瓶）分布列.

問題二：假設(shè)六月份每天銷售酸奶利潤為Y元，六月份酸奶每天進(jìn)貨量n（瓶）為多少，Y數(shù)學(xué)期望值最大？

此問題屬于典型的創(chuàng)新類統(tǒng)計應(yīng)用題，要求學(xué)生具備數(shù)據(jù)分析能力.合理運用數(shù)據(jù)，利用函數(shù)知識、分類思想進(jìn)行討論，考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析和處理能力.在求解過程，問題一要求學(xué)生對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合處理，整理之后得到產(chǎn)品需求量（x）概率分布列，為數(shù)據(jù)分析提供支持.在問題二求解過程中，要求學(xué)生根據(jù)自身對數(shù)據(jù)的理解，結(jié)合需求量差異，為進(jìn)貨量劃分區(qū)間，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出利潤解析式，在不同區(qū)間內(nèi)求得最值，綜合多種情況求出最大值，進(jìn)行討論.

理解題意是統(tǒng)計應(yīng)用題解題關(guān)鍵所在，按照數(shù)據(jù)需求進(jìn)行處理，通過分析得出統(tǒng)計問題解決策略，在明確信息含義的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)據(jù)特點，選擇計算方式.在教學(xué)過程，教師不但要為學(xué)生分析解題思路，而且還要給予其時間思考，以便學(xué)生處理數(shù)據(jù).

2.3 設(shè)計實踐活動

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，為了迎合素質(zhì)教育要求，教師要注重學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，組織實踐活動.因為統(tǒng)計領(lǐng)域應(yīng)用題內(nèi)容抽象，學(xué)生參與實踐活動能夠在真實的場景當(dāng)中，能將抽象知識、公式等變?yōu)榫唧w的學(xué)習(xí)體驗，通過實踐發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生對統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)興趣[4].

比如：“簡單隨機抽樣”內(nèi)容講解階段，教師可要求學(xué)生將名字寫在紙條上，隨機抽取5名學(xué)生參加活動.教師在課堂上隨機選擇5名學(xué)生抽紙條，被抽到的人獲得比賽資格.在此期間，教師要強調(diào)所有學(xué)生都有均等機會，學(xué)生參與動手實踐階段，對于隨機抽樣的過程有更為深刻的認(rèn)識.

在教學(xué)過程，由于學(xué)生存在個體差異，不同學(xué)生在學(xué)習(xí)過程應(yīng)用的解題思路各不相同，其思維能力發(fā)展也各有不同.教師應(yīng)充分考慮學(xué)生個體差異，根據(jù)其興趣愛好，引領(lǐng)其選擇合適方法對于數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、分析和整理，并對結(jié)果做出預(yù)測，培養(yǎng)學(xué)生運用統(tǒng)計知識的能力.

比如，教師可以根據(jù)班級學(xué)生對于歌曲類型的喜好展開問卷調(diào)查.第一步，設(shè)計問卷，為學(xué)生提供喜愛的歌曲選項，包括古典、流行、爵士、鄉(xiāng)村、搖滾等；第二步，發(fā)放問卷并回收；第三步，匯總調(diào)查數(shù)據(jù)，可以獲得哪些結(jié)論？根據(jù)收集數(shù)據(jù)回答問題：

問題一：將每一類歌曲占據(jù)百分比計算出來.

問題二：將獲得數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計表表示出來，怎樣選擇統(tǒng)計表更合適，嘗試說明理由.

問題三：通過以上數(shù)據(jù)可以獲得哪些結(jié)論.

根據(jù)此問題，設(shè)置實踐活動，要求學(xué)生思考如何設(shè)計問題，采集數(shù)據(jù)信息，對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工和整理，最后分析數(shù)據(jù).學(xué)生經(jīng)歷實踐學(xué)習(xí)之后，對于統(tǒng)計知識的應(yīng)用價值有更為深刻的體會.

2.4 運用信息技術(shù)

在科技發(fā)展過程當(dāng)中，教育信息化的應(yīng)用逐漸普遍.在不同教育領(lǐng)域，科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用為教育過程增添了諸多優(yōu)勢.在大數(shù)據(jù)時代，教師要樹立信息化教學(xué)觀念，在統(tǒng)計應(yīng)用題講解過程當(dāng)中，應(yīng)用信息化技術(shù)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.將信息技術(shù)合同及教學(xué)深度融合，彰顯技術(shù)應(yīng)用優(yōu)勢，為學(xué)生打造多元化學(xué)習(xí)環(huán)境.部分教師錯誤認(rèn)為，信息化教學(xué)就是在課堂上應(yīng)用多媒體課件，然而，多媒體應(yīng)用范圍較廣，但是在統(tǒng)計應(yīng)用題講解方面，信息技術(shù)的應(yīng)用不局限于多媒體.在信息技術(shù)的支持下，教師能夠準(zhǔn)確繪制圖表，完成相關(guān)計算，利用人為方式對于數(shù)據(jù)信息進(jìn)行處理.在統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)過程，引入信息技術(shù)能夠促進(jìn)統(tǒng)計工作發(fā)展.

在教學(xué)過程，教師還要注意學(xué)生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，要求學(xué)生用技術(shù)手段處理數(shù)據(jù).在信息技術(shù)的應(yīng)用之下，能夠通過隨機模擬，將樣本、總體之間關(guān)系明確，使用計算機對于數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，避免出現(xiàn)繁瑣運算，輔助學(xué)生積累經(jīng)驗，感受統(tǒng)計思想.統(tǒng)計分析軟件是統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)的重要工具之一，在授課期間，教師可以向?qū)W生講解Spss和Excel等統(tǒng)計軟件功能.比如，利用Spss軟件繪制分布直方圖，計算方差；利用Excel軟件求一組數(shù)字平均數(shù)、中位數(shù)等.3 結(jié)束語

綜上分析，高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生處理信息、解決問題的能力，調(diào)動其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情.教師要不斷學(xué)習(xí)統(tǒng)計應(yīng)用題教學(xué)理論，在問題講解階段滲透數(shù)學(xué)思想，運用信息化手段輔助教學(xué)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)價值.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張世靜，欒慶芳.初、高中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”教學(xué)銜接的研究[J].理科考試研究，2022，29（21）：11-15.

[2] 馮文雅.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)新教材統(tǒng)計單元教學(xué)探究[J].青海教育，2022（05）：44-45.

[3] 林晴嵐，鄭達(dá)藝，陳柳娟.核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計單元的教與學(xué)[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2022（05）：56-58.

[4] 童旗軍.從數(shù)學(xué)運算視角談高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計概率教學(xué)[J].高中數(shù)理化，2021（S1）：82.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-10-25

作者簡介：曾慧（1984.11-），女，江蘇省南京人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.