數(shù)學(xué)邏輯思維的作用與培養(yǎng)措施的研究

［摘" 要］ 邏輯思維是當(dāng)代社會人才不可或缺的一種思維能力，它的應(yīng)用涉及人類生產(chǎn)、生活與學(xué)習(xí)的方方面面. 數(shù)學(xué)是邏輯思維能力的源泉，推動著人類思想的邏輯化，數(shù)學(xué)邏輯思維屬于一種理性精神. 文章從概念教學(xué)、思維方向引導(dǎo)與適當(dāng)啟發(fā)三個角度具體談一談培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的措施，以饗讀者.

［關(guān)鍵詞］ 邏輯思維；培養(yǎng)措施；概念教學(xué)；思維方向；適當(dāng)啟發(fā)

隨著時代的發(fā)展，人們逐漸意識到邏輯思維的重要性. 高中生作為未來社會的建設(shè)者，其學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要落到實處，從真正意義上推動社會的進步與發(fā)展. 林崇德教授從思維層面提出概括、運算、邏輯思維、空間想象等屬于數(shù)學(xué)能力，這些能力各自具有批判性、靈活性、深刻性等特征，它們交叉在一起促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

數(shù)學(xué)邏輯思維在人類發(fā)展進程中的作用

1. 數(shù)學(xué)是邏輯思維能力的源泉

思維是人腦對客觀現(xiàn)實世界的間接反映，展現(xiàn)了事物間的規(guī)律性與本質(zhì)間的聯(lián)系. 大部分情況下，我們所說的思維為邏輯思維或抽象思維，是指根據(jù)人為制定的思維形式與規(guī)則實施思維活動的過程［1］. 正因為人類具備了良好的邏輯思維能力，我們的認識才能超越感覺體系，將日常的感性經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為理性理解. 人類不僅擁有豐富的物質(zhì)生活，還擁有多彩的精神生活，其主要原因就在于人類擁有獨特的邏輯思維能力.

人類邏輯思維能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)科密不可分，因為邏輯思維過程從本質(zhì)上來看，就是演繹推理過程，這就需要人基于自身意識形態(tài)抽象出數(shù)學(xué)概念. 人作為認知主體，無法直接反映出現(xiàn)實世界，而是借助感觀系統(tǒng)將所察覺到的事物用語言表述出來，形成一般性的概念. 因此，人類對世界的認識伴隨著具體事物的影像.

如對“數(shù)”的認識，起初源于現(xiàn)實世界，而后在邏輯思維的作用下，通過高度抽象與概括形成了相應(yīng)的概念. 當(dāng)人類在大腦中形成類似于1，2，3的概念時，就體現(xiàn)了一種高度抽象化的過程，這些數(shù)字不僅能夠用來表示1只羊、2頭牛，還能用來表示其他具體物體的量. 由此可見，邏輯思維源于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是邏輯思維能力的源泉.

2. 數(shù)學(xué)推動人類思想的邏輯化

邏輯思維源于數(shù)學(xué)，最具典型的是歐幾里得的幾何學(xué)，如《幾何原本》中就記載了人們用數(shù)學(xué)邏輯思維思考社會生活的相關(guān)內(nèi)容，具有促進人類思想邏輯化的作用. 古代思想家們開始用邏輯思維思考社會生活，最初將經(jīng)驗訴諸其他人，讓人們對事物的認識從感性逐漸上升到理性，而數(shù)學(xué)則是推動這一變化的主動力.

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，在東西方的思想文化上，都能看到數(shù)學(xué)思想的邏輯化進程. 在西方的思想文化上，拿歐幾里得的《幾何原本》來說，它應(yīng)用點、線、面、圓、平面等概念建構(gòu)了一套命題與公理，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)科實現(xiàn)了自身的邏輯化進程［2］. 在東方的思想文化上，我國魏晉時期到唐宋時期逐漸發(fā)展而來的“宋明理學(xué)”就是數(shù)學(xué)思想邏輯化進程的標(biāo)志，其中魏晉時期劉徽的《九章算術(shù)注》、南北朝時期祖沖之的圓周率、北宋時期楊輝的“剁積術(shù)”等，都具有典型性和代表性. 中國的數(shù)學(xué)思想文化和古希臘的數(shù)學(xué)思想文化具有一定的代表性，從某種程度而言，還得益于較高的數(shù)學(xué)發(fā)展水平.

3. 數(shù)學(xué)邏輯思維屬于理性精神

探究公理是數(shù)學(xué)的基本精神，如《幾何原本》中收錄了大量的定義、公理、公設(shè)，并推導(dǎo)出了48個較高深的定理. 基于數(shù)學(xué)文化的視角來分析，《幾何原本》解決了多少定理問題并不是重點，重點是它通過邏輯方法探求出公理，讓人們明確公理是人類智慧的結(jié)晶，探尋公理是最基本的數(shù)學(xué)精神.

數(shù)學(xué)邏輯思維作為喚醒人們理性精神的基本動力，是人類超越可感知事物，形成理性認識的基礎(chǔ). 如從幾何的角度來談?wù)搱A，初始源于人們生活中可感知的圓形物品并不一定是嚴格意義上的圓，即使我們用圓規(guī)畫出來的圓，也難免存在微小的誤差. 因此，從某種意義上來說，圓僅僅是人類借助理性思維建立起來的一種數(shù)學(xué)對象. 由此也能看出，思想是對可感知物品的超越，數(shù)學(xué)邏輯思維屬于一種理性精神.

培養(yǎng)措施

1. 概念是發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)

概念是數(shù)學(xué)思維的起點，是知識與技能的基礎(chǔ)與核心，它對學(xué)生“四基”與“四能”的發(fā)展具有重要意義. 在教學(xué)中，教師應(yīng)從新課標(biāo)的要求出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生親歷概念形成與發(fā)展的過程，以揭露概念的內(nèi)涵與外延.

合理的情境創(chuàng)設(shè)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極地參與到概念的理解與應(yīng)用中來，深化學(xué)生對概念的掌握程度. 創(chuàng)設(shè)情境時，可將數(shù)學(xué)文化有機地融合在情境中，巧妙的處理方式既可以達到教書的目的，還能起到育人的重要作用. 如“方程曲線”的教學(xué)，就可以將費馬與笛卡爾的故事融入課堂；“數(shù)列”的教學(xué)，可將高斯求和的故事引進情境；“二項式定理”的教學(xué)，則可引入數(shù)學(xué)家楊輝的故事，等等.

引入這些具有時代意義的數(shù)學(xué)家的故事，不僅能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生形成勇于探索的精神. 在概念教學(xué)中，促進學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維發(fā)展的措施，可從以下幾方面著手.

（1）注重關(guān)鍵詞.

在教科書上的每一個精準(zhǔn)、簡潔的概念都是經(jīng)過歲月的洗禮，多次抽象而來的. 在概念教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生圈出概念中的關(guān)鍵詞，如“函數(shù)”概念中的“任何”“唯一”兩個詞就是關(guān)鍵詞，需要引起重視. 同時還可以通過反例的應(yīng)用，讓學(xué)生切身體會關(guān)鍵詞的重要性，從而深化學(xué)生對概念的理解程度.

（2）關(guān)注數(shù)學(xué)語言.

數(shù)學(xué)語言包含文字語言、符號語言與圖形語言. 其中，符號語言具有高概括性特征，它能凸顯概念的本質(zhì). 比如我們所熟悉的“等差數(shù)列”的概念，就可以用符號語言a-a=d（n∈N*，d為常數(shù)）來表達. 圖形語言能夠形象地將概念展示出來，比如“交集”的概念，則可以用Venn圖來表達.

（3）加強類比分析.

在教學(xué)中，應(yīng)用類比法常能凸顯概念間的差別與聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地區(qū)分相似的概念. 如“分步計數(shù)原理”和“分類計數(shù)原理”，利用實例進行類比分析，可以深化學(xué)生的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力.

2. 思維方向是發(fā)展邏輯思維能力的前提

邏輯思維具有多向性特征，把握好思維方向是發(fā)展邏輯思維的前提. 如正向思維、逆向思維以及橫向思維，都是從不同方向喚醒學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)，開拓學(xué)生的思維，從而使學(xué)生從不同角度理解不同類型的問題. 當(dāng)然，邏輯思維能力的發(fā)展，除了有正確的思維方向外，還要有正確的學(xué)習(xí)方法，兩者缺一不可.

為了讓學(xué)生探尋出正確的思維方向，在教學(xué)設(shè)計與實施時需要注意以下幾點：

（1）設(shè)計感觀材料.

邏輯思維能力的培養(yǎng)離不開豐富的感觀材料的支撐，這就要求教師進行篩選、設(shè)計，將學(xué)生感興趣的一些感觀材料巧妙地融入教學(xué)內(nèi)容中，讓學(xué)生通過直觀想象發(fā)展理性思維，順利實現(xiàn)從直觀向抽象的轉(zhuǎn)化.

（2）新舊知識類比.

從認知心理學(xué)來看，學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)是新知建構(gòu)的思維基礎(chǔ). 因此，通過新舊知識的聯(lián)系與類比，可以讓學(xué)生探尋到正確的思維方向. 如常用的聯(lián)想、類比，就是通過對比分析相似或相近的內(nèi)容，探尋出其聯(lián)系與區(qū)別的過程.

（3）重復(fù)訓(xùn)練思維.

思維的形成需要經(jīng)歷一個漫長的過程，想要發(fā)展學(xué)生思維的多向化，僅靠一兩次練習(xí)難以達到效果，只有經(jīng)過多次重復(fù)訓(xùn)練，才能有所突破. 鑒于學(xué)生習(xí)慣用單一的思維分析問題，導(dǎo)致思維定式的發(fā)生，教師應(yīng)注意帶領(lǐng)學(xué)生從不同的角度去分析問題，訓(xùn)練思維的發(fā)散性與靈活性.

3. 適當(dāng)啟發(fā)是發(fā)展邏輯思維能力的關(guān)鍵

一些教師習(xí)慣利用直接講授法授課，他們認為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、時間緊、任務(wù)重，直接授課法能確保完成教學(xué)任務(wù). 但直接授課法往往達不到理想的教學(xué)效果，真實情況是“教師講得起勁，學(xué)生卻聽得稀里糊涂”.

現(xiàn)代教育理論下的高中數(shù)學(xué)課堂，并不是教師講得越多越好，學(xué)習(xí)成效取決于學(xué)生的接受能力，而不是教師的傳授數(shù)量. 因此，教師應(yīng)摒棄傳統(tǒng)的“輸入式”教學(xué)方式，而應(yīng)利用“啟發(fā)式”教學(xué)方式喚醒學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生主動思考，為學(xué)生創(chuàng)造意識的形成奠定基礎(chǔ).

作為教師，應(yīng)信任學(xué)生，相信每一個學(xué)生都有獨立思考的能力，課堂中盡可能地為學(xué)生搭建展示自我的平臺，讓學(xué)生體驗到獨立思考與自主解決問題所帶來的成就感，建立學(xué)習(xí)信心［3］. 想要達到這一目的，最好的辦法就是將問題拋給學(xué)生，鼓勵學(xué)生自主思考、合作交流，必要時給予點撥與啟發(fā)，共同探索出解決問題的辦法.

例如，已知S是等差數(shù)列｛a｝中的前n項和，若agt;0，S=S，當(dāng)S取最大值時，n等于（" ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

筆者借助多媒體展示例題后并沒有立即講解，而是要求學(xué)生從自身已有的認知經(jīng)驗出發(fā)，獨立思考本題，嘗試自主完成，鼓勵先完成的學(xué)生將自己的解題方法分享給大家. 片刻后，有幾位學(xué)生就呈現(xiàn)出了以下解題過程.

生1：若d為等差數(shù)列｛a｝的公差，根據(jù)S=S可知9a+d=17a+d，可得d=-a，代入S=na+d中，化簡得S=-a（n2-26n）=-a［（n-13）2-169］. 因為 -alt;0，所以當(dāng)n=13時S取最大值. 所以，本題的正確選項為C.

師：非常好！生1從已知條件出發(fā)，應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)解題，條理清晰！但這種解題方法的運算量比較大，還有其他運算量小一點的解法嗎？

生2：與生1一樣，獲得d=-alt;0，將其代入a=a+（n-1）d中，化簡得a=（27-2n）a. 由于agt;0，因此等差數(shù)列｛a｝的前13項都是正數(shù)，往后的項都是負數(shù)，這就可以確定前13項的和是最大的.

師：不錯，從已知條件出發(fā)獲得等差數(shù)列｛a｝的通項公式，再由此判斷該數(shù)列的哪些項為正數(shù)，哪些項為負數(shù). 這種方法的運算量確實小了一些.

生3：我還有更簡單的方法，根據(jù)agt;0，S=S能夠推斷出等差數(shù)列｛a｝的公差dlt;0. 根據(jù)S=S可知a+a+…+a=0，a+a=a+a=0.因為dlt;0，所以agt;a，因此agt;0，alt;0. 通過以上步驟同樣可得等差數(shù)列｛a｝的前13項是正數(shù)，往后的項是負數(shù). 所以，本題選C.

師：很好，等差數(shù)列的性質(zhì)被你掌握得很到位，這種方法顯然比前兩種方法簡潔多了. 還有其他意見嗎？

生4：根據(jù)agt;0，S=S能夠推斷出等差數(shù)列｛a｝的公差dlt;0，同時將S視為關(guān)于n的二次函數(shù)，由dlt;0可知該函數(shù)圖象開口向下，再根據(jù)S=S可知該函數(shù)圖象具有對稱性，對稱軸為n=13. 綜上可知，當(dāng)n=13時S取最大值.

在師生的互動與啟發(fā)下，學(xué)生的思維越來越清晰，解題方法也越來越精練. 尤其是生4的解法，形象、直觀、簡潔、精準(zhǔn)，凸顯學(xué)生邏輯思維發(fā)展的歷程. 這種開放式授課模式，不僅活躍課堂氣氛，還有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，收效頗豐.

總之，數(shù)學(xué)邏輯思維對人類發(fā)展進程具有重要推動作用. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有計劃、有目的啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在獨立思考、主動探索與合作交流中開闊視野、激活思維，提升邏輯思維能力，為形成終身可持續(xù)發(fā)展的能力奠定基礎(chǔ).

參考文獻：

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作者簡介：楊帆（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.