HPM視角下構建符合學生認知規律的概念教學

［摘" 要］ 在HPM視角下的教學中，教師應基于“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，準確把握數學史料的“深度”，構建符合學生認知規律、適合學生認知結構的教學活動，讓學生體會和感悟數系擴充的原則，實現數集的再一次擴充. 同時，設置合適的問題串，使學生在新概念生成的過程中，提高自己的理性思維能力，實現對概念的自主探究.

［關鍵詞］ HPM；數系擴充；復數概念；概念教學；大觀念

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，即數學史與數學教育. HPM領域中有一項非常重要的工作，即在數學教學中融入數學史，通過直接展現歷史、間接借鑒歷史或者深度挖掘歷史背景（數學生活、數學文化等），體現數學知識自然產生和發展的過程，強調合理地發現問題、分析問題和解決問題. 在HPM視角下的數學教學可以給學生還原數學知識產生和發展的過程，還原歷史“真相”. 但是，有的數學概念產生的歷史過程漫長且思維難度很大，對于高中生而言，如果處理不好，會讓他們的思維在歷史問題中輾轉而無法自拔，造成喧賓奪主，達不到預期的教學效果. 這個時候，就需要教師深入了解數學史，挖掘其本質，構建符合學生認知規律、適合學生認知結構的教學情境展開教學活動［1］.

“數系的擴充和復數的概念”是人教A版必修第二冊7.1節的內容. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：“復數是一類重要的運算對象，有廣泛的運用. 本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義.”下面，筆者對本節課教學進行分析，供同行參考指正.

教學現狀及分析

1. 問題情境的創設沒有體現引入復數的必要性

概念的產生要么是生活、生產的需要，要么是數學內部解決問題的需要. 在引入復數的過程中，部分教師從解方程的角度用如下幾個問題去引導學生：①在自然數集內求關于x的方程x+1=0的解；②在整數集內求關于x的方程2x+1=0的解；③在有理數集內求關于x的方程x2=2的解；④在實數集內求關于x的方程x2=-1的解. 這些問題看似十分符合學生的認知規律——讓學生一步一步認識到如果在原數集范圍內方程無解，那么就需要對數集進行擴充，使方程在新的數集范圍內有解——但是根據學生的認知基礎，學生為什么會考慮方程如何才能有解，且學生會認為關于x的方程x2=-1在實數集內無解是再正常不過的一件事，為什么還要對它們進行研究. 整個情境不僅不符合復數發生和發展的過程，也沒有體現引入復數的必要性，這只是教師為了情境而創設情境.

還有部分教師采用的是意大利數學家卡爾丹提出的一個問題：將10分為兩部分，使兩部分的乘積等于40，這兩部分分別是多少？在實際課堂中，學生是這樣解答的：設這兩部分分別為x，y，則x+y=10，

xy=40，對其進行化簡可得x2-10x+40=0. 因為Δlt;0，所以一元二次方程x2-10x+40=0無實數解，也就是不存在實數滿足方程x2-10x+40=0. 這個時候，教師話鋒一轉：為什么這樣的方程無實數解呢？更有教師提出：函數y=x2-10x+40的圖象表明方程x2-10x+40=0的兩根之和為函數圖象對稱軸上點的橫坐標的2倍，兩根之積為函數圖象與y軸交點的縱坐標，我們可以清楚地看到兩根之和與積所在的位置，卻找不到這兩根……它們都去哪兒了呢？眾所周知，在初中，學生學習根與系數的關系時，教師都會強調利用根與系數的關系無法說明根的存在性；同時，像x2-10x+40=0這樣的方程沒有實數解在學生的心中已是定論，那么還有討論的必要嗎？教師在這個時候提出這樣的問題，對學生而言，其實就是多此一舉，沒有繼續研究的必要，也就是說這樣的問題情境是不符合學生認知規律的.

2. 數系擴充的學習過程缺少方法論的研究

在實際教學中，部分教師采用一系列解方程的問題情境，因為沒有更深入的研究，所以講授的僅僅是數集的擴充，而不是數系的擴充.即講解時，只關心有沒有擴充到復數集，而不關心為什么要擴充到復數集，擴充的數是哪些數，擴充的原則是什么. 使得整個講授過程缺少了思想，失去了靈魂，學生學習完本節課內容后，沒有獲得研究此類問題的經驗和方法，以及可持續學習的能力.

3. 相關數學符號的引入邏輯的表述不準確

有些教師在引入虛數單位“i”之前，在“自然數集→整數集→有理數集→實數集”的擴充過程中，逐步滲透分數線“—”和根號“”的由來，類比引入虛數單位“i”，看起來似乎合情合理，但是仔細思考后就會發現，分數線“—”和根號“”代表的都是一種運算，而虛數單位“i”則不是，它僅僅是一個單位符號.

鑒于上述課堂教學的不足之處，結合學生的認知結構和認知規律，筆者在HPM視角下，基于“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，提煉數學史中相關內容的思想方法，把不符合學生認知結構和認知規律的內容加工成為能被學生接受且不失發現數學問題本質的教學情境，重新組織本節課教學過程.

我的教學過程

1. 教學目標

（1）了解引入復數的必要性.

（2）了解數系擴充的一般規則，了解從實數系擴充到復數系的過程，感受數系擴充過程中理性思維的作用，提升數學抽象、邏輯推理等素養.

（3）理解復數的代數形式，理解復數的概念，理解復數相等的含義.

2. 教學重點和難點

重點：實數系擴充到復數系的一般規則，理解復數的概念.

難點：對數系擴充的基本原則以及虛數單位i的理解.

關于這節課的幾點思考

1. 準確把握數學史料中的“深度”，依據學生認知規律重建適合學生認知結構的問題情境

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.”創設符合學生認知規律的問題情境，是提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的有效通道.

本節課中，筆者沒有從復雜的解三次方程公式的產生過程說起，而是利用學生可接受的對方程x3-15x-4=0的求解，分析學生因式分解的解法和在學生認知能力范圍內的數學家的求解過程，發現解是一樣，但是求解過程中出現了現有知識結構中無法解釋的一個問題，引發學生思考，誘發學生提出問題，讓學生體會到了引入復數集的必要性.在數系擴充過程中，筆者沿著數學家們的足跡，引導學生進行“自然數集→整數集→有理數集→實數集”的擴充，在擴充過程中體會數學家們的數學思想，正是這樣一個符合學生認知規律、適合學生認知結構的問題情境的創設，讓學生感受到了探究的樂趣，也實現了學生主動積極積累從實數集擴充到復數集所需要的基本活動經驗.

2. 結合概念的生成過程，培養學生的理性思維能力

理性思維是人類思維的一種高級形式，它是建立在證據和邏輯推理上的一種思維能力. 在培養人的理性思維、科學精神，促進個人智力發展的過程中，數學發揮著不可替代的作用，而這正是學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界必須具備的思維品格.

本節課中，筆者通過解三次方程提出疑問，啟發學生大膽猜想、理性思考疑問，帶領學生進行合作探究，回顧已知的數系發展的基本知識，反思數系發展涉及的基本思想、基本活動經驗和基本技能，讓學生理性思考必須無中生有一些“新數”以及引入“新數”的原則，體會數學理性思考所帶來的魅力. 合理引入虛數單位，整體認識復數的代數形式以及復數的分類標準，這些正是學生對數系擴充進行理性思考的結果. 這樣一個認知過程，也是培養學生理性思維能力的一個過程.

3. 設置合適的問題串，實現學生對概念的自主研究

有的教師在概念教學中常常采用“一個定義、三項注意”的形式，課堂結束后，自我感覺概念講得很清楚，學生聽得很明白. 但這樣的教學方式沒有讓學生感受到數學的魅力，更沒有給學生帶來繼續探究下去的動力. 長此以往，學生就會感覺數學學習枯燥且乏味. 因此，教師在概念教學中，要努力探索概念背后的深層次的數學問題，讓學生成為問題探究的主體；提出的有價值的問題要符合學生的認知規律，體現層次性，讓學生在發現、提出、分析和解決問題的過程中，親身經歷概念生成和生長的過程，實現學生對概念的自主研究.

本節課中，筆者深入探索復數產生的過程，精心設置了11個問題，組成問題串. 通過問題“在實數范圍內解關于x的方程x3-15x-4=0”“對于這樣的解法你有什么疑惑嗎”，引導學生進行理性思辨，自主探索問題產生的原因.當學生發現問題的本質后，筆者又提出問題“那我們如何來研究它呢”，引導學生大膽猜想“我們認知范圍內的數不夠用了，該怎么辦呢”，促使學生積極思考要對數集進行擴充. 問題“在數集的每一次擴充過程中，我們都是在原來數集的基礎上添加一些‘新數’，這些‘新數’需要滿足什么樣的條件才會被引入”的提出，帶領學生理性思考數系擴充的目的和原則. 而問題6、問題7、問題8、問題9、問題10、問題11的提出與解決，正是學生應用已掌握的基本活動經驗進行自主探究并完成了實數集到復數集的擴充.這樣一個問題串的設置，實現了學生對概念的自主探究.

4. 深度把握“大觀念、大主題、大單元”的教學理念，促進數學學科整體性、系統性和聯系性的發展

數學是一門邏輯性很強的系統性學科，大家總是想從不斷變化的問題中找到不變的、永恒的規律. 這就要求教師站在更高的角度來思考和理解知識，通盤考慮整個學段的知識，突破單元知識的壁壘，認清單元知識的內在聯系，重組、整合單元知識，形成完整的知識鏈，并在平時的教學中主動帶領學生構建具有“大觀念”的“大主題”和“大單元”的知識體系［3］，讓學生在學習過程中，不僅僅能學到知識，還能提煉思想方法，更重要的是促進數學學科整體性、系統性和聯系性的發展.

本節課中，學生提出負數無法開平方后，筆者并沒有馬上給出復數的相關定義，而是提出“之前我們有沒有遇到過類似這樣的問題”，引導學生回顧以前學習過程中有無相關聯的問題，這些問題的研究思路和解決方法是什么.比如學生學習完指數函數后，又會對對數函數、冪函數以及三角函數等基本函數進行研究，教師在引導中要主動提出：我們研究一個新函數時，都會研究函數的哪些內容呢？以此幫助學生建立“大觀念、大主題、大單元”下的探索方向. 學生在這樣的引導下，能很快回憶到研究函數的“兩域四性一圖”（即定義域、值域、單調性、對稱性、周期性、有界性和圖象）. 引導學生從“自然數集→整數集→有理數集→實數集”進行擴充后，學生不會自覺提出“要研究運算律”這樣的問題，此時筆者提出“在數集的每一次擴充過程中，我們都是在原來數集的基礎上添加一些‘新數’，這些‘新數’需要滿足什么樣的條件才會被引入”這個問題，引導學生回顧剛學習的向量的研究過程，即“定義→表示→關注特殊元→兩元關系及分類→構造運算（運算律）及性質→應用”——這是我們研究新定義的一個基本研究思路，從而讓學生明確本節課的研究對象和內容. 在課堂小結中，筆者帶領學生回顧研究思路：“數學家發現問題→探究問題的本質→回顧數學發展史中有沒有類似問題的出現，是如何解決的→對研究方法進行類比，得到新的數集，完成數系的再一次擴充.”對研究思路的明確是教師對基于“大觀念”的“大主題”和“大單元”的理解，對新舊知識進行合理融合、逐漸滲透，讓學生在一次又一次的探究過程中，感受到數學知識的整體性、系統性和聯系性的重要.

結束語

HPM視角下問題情境的創設是引導學生經歷知識發生和發展的重要途徑.在實際教學中，教師要對數學史進行合理的梳理和取舍，使數學史能真正融入課堂. 教師在“大觀念、大主題、大單元”的教學理念的指導下，主動引導學生經歷數學概念和數學思想方法發生和發展的過程，促使學生積極主動地進行理性思考，積累基本的數學思維和實踐的經驗，為學生可持續學習、終身學習打下良好的知識和能力基礎.

參考文獻：

［1］ 呂天璽，王光明. 基于數學核心素養的“復數”教學設計［J］. 數學通報，2018（06）：39-43.

［2］ 宋金棟. 有價值的問題促成新知的探究與構建——“數系的擴充與復數的概念”教學探索［J］. 中學數學教學參考（上旬），2021（06）：39-41.

［3］ 王佳，蔣曉東. 從“復數”發展史角度探究“數系擴充及復數的概念”一課的教學［J］. 中學數學教學參考（上旬），2022（01）：35-37.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度青年教師專項課題“新課程標準下的初高中數學銜接的過渡研究”（C-c/2021/02/91）.

作者簡介：呂兆勇（1978—），中小學高級教師，張家港市學科帶頭人，從事數學教育教學研究工作.