碩博共選課程力學中的數學方法教學改革研究

楊志強　劉一志　郝志偉　于紅軍

摘? 要：力學中的數學方法是運用數學理論知識計算、分析力學在實際工程中的應用的課程，是對復雜、大型工程結構進行嚴密和精確的強度、剛度和穩定性分析必備的基礎理論，更是解決航空航天等領域求解更復雜的相關力學問題的重要研究前提。我國深入實施科教興國戰略、人才強國戰略，隨著時代進步，社會對人才的需求正在發生變化，人才培養要求不僅具備扎實的理論基礎，而且能夠解決實際工程問題。據此，該文針對力學中的數學方法課程進行一系列的教學改革，主要包括教材及課程內容改革、教學方法改革、教學手段改革等，旨在提升課程的應用性，理論與實際應用并重，切實提高學生綜合能力和創新能力。

關鍵詞：力學中的數學方法；教材；教學方法；教學內容；教學設計

中圖分類號：G642.0? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）13-0037-05

Abstract： Mathematical Methods in Mechanics is a course of using mathematical theory to calculate and analyze the application of mechanics in practical engineering. It is a basic theory for the accurate strength， stiffness and stability analysis of complex and large-scale engineering structures. And the course is also an important research premise for solving more complex mechanical problems in aerospace and other fields. China has deeply implemented the strategy of rejuvenating the country through science and education and the strategy of strengthening the country through talents. With the progress of the times， the demand for talents in society is changing. The requirements for talent training not only have a solid theoretical basis， but also can solve practical engineering problems. Therefore， this paper has carried out a series of teaching reforms for the course of Mathematical Methods in Mechanics， mainly including the teaching materials， course contents， teaching methods and teaching means. It aims to improve the application of the course and effectively improve students' comprehensive ability and innovation ability.

Keywords： Mathematical Methods in Mechanics; teaching material; teaching methods; course contents; teaching design

力學是基礎科學又是工程科學，描述自然現象、解決工程問題通常都需要運用力學。定量闡述與解決力學問題需要有效的數學手段，就是力學中的數學方法。力學中的數學方法課程目標是使學生掌握力學和計算數學的基本概念、原理和方法，使學生能夠正確利用力學和數學的基礎理論，解決簡單的工程力學實際問題，評定結構的安全性和可靠性。因此，力學中的數學方法及其相關課程是與工程實際聯系緊密的課程。

一? 國內外課程建設現狀

（一）? 國外高校力學課程建設情況

目前，美國高校力學中的數學方法課程主要針對計算力學方向[1]，已成為美國近代力學中極為活躍的一門新興學科，幾乎所有高校和研究單位，均開設了該方向的課程。計算力學作為力學學科中將宏觀、微觀相結合的前沿學科，為工業、能源、安全與國防服務提供了廣泛的途徑。俄羅斯高校以現代數學形式討論經典的力學問題，如莫斯科大學的經典力學的數學方法[2]課程等。盡管經典力學是數學或力學專業的學生學習力學等課程的基礎，但實際上它的范圍已經遠遠超越理論力學，是現代數學發展的一個重要方面。

（二）? 國內高校力學課程建設情況

我國高校力學課程建設相比國外高校起步較晚，存在課程設計相對固化、學科建設不夠全面、教學模式過于傳統等問題。對此，許多教師針對不同的力學課程進行了相應的教學改革。李俊峰[3]介紹了清華大學理論力學課程體系的改革情況; 韋成龍等[4]針對材料力學的教學改革提出了一種方法并介紹了該方法的運用效果；馬崇武等[5]以蘭州大學材料力學為例進行了課程教學體系的探索；浙江大學樓文娟等[6]針對彈性力學公式較多、理論難懂的特點對課程內容和考核方法等進行了改革；任軍[7]在對國內外調研的基礎上，針對高校混合式教學模式改革進行了研究。盡管教學改革研究百花齊放，但是，針對研究生課程力學中的數學方法課程內容建設很少有相關的研究。

（三）? 哈爾濱工業大學力學中的數學方法課程現狀

哈爾濱工業大學（以下簡稱“我校”）是一所多學科、開放式、研究型的國家重點大學，以培養研究型人才為主。哈爾濱工業大學在我國較早地開展了固體力學數學方法的研究和應用，在此期間承擔了與工程結構分析相關的許多課題，并取得了輝煌的成績，在國內外有著很大影響力。在總結研究工作成就和教學經驗的基礎上，蓋秉政教授帶領團隊率先在哈爾濱工業大學研究生教學中開設了力學中的數學方法課程，使哈爾濱工業大學成為較早開設此課程的高校之一，并在國內廣泛傳播其基礎知識。面對世界“新科技革命”競爭態勢，我國高等工程教育界面臨空前的機遇和挑戰。

哈爾濱工業大學力學中的數學方法課程開設較早，教學體系成熟，教學經驗豐富，但同時也存在教學模式固化、教學內容有待更新等問題。目前，哈爾濱工業大學碩士生和博士生的力學中的數學方法I和力學中的數學方法II課程，還采用傳統的“以教師為中心”的教學模式，教學內容理論性較強。導致學生將力學中的數學方法知識應用于工程實際的能力較差、內容過于數學理論化、對課程的學習興趣不濃，同時也錯失了培養學生動手能力的機會。實際教學中，學生才是課堂的主體，工程應用能力是學生培養的重要目的，這就需要對力學中的數學方法I和力學中的數學方法II課程從教學內容、教學手段和教學方法等方面進行改革，以適應培養創新型人才的需要。

目前我校碩士生和博士生的力學中的數學方法課程選用的教材是蓋秉政老師主編的《力學中的數學方法》講義。這本教材側重數學基本理論和基本概念，但近年來新的力學中的數學方法在復合材料（包括各向異性材料及非均勻材料等）領域的發展沒有體現。尤其對于以國防和航天為特色的高校來說，學生畢業后所從事的工作往往是科學前沿領域，他們理應盡可能在學校了解和掌握最近的學科發展動態和最新的專業知識。因此，編寫一本反映力學中的數學方法基礎理論與基本概念，同時兼顧這些理論在復合材料領域最新研究進展的教材是十分重要和必要的。

綜上所述，本文對于當前如何利用哈爾濱工業大學在國內的力學學科優勢，如何發揮教師在教學和科研中的最大作用，如何在課程中引導和促進研究生對知識的理解、培養其有效運用知識和技能解決實際工程問題的能力、使高等教育實現更好的教學效果和更高的質量水平，具有非常重要的研究意義。

二? 研究內容

（一）? 教材及課程內容改革

優秀的教材是保證教學質量的關鍵。早在2002年，哈爾濱工業大學蓋秉政教授秉承理論嚴謹、邏輯清晰、由淺入深及易懂易學的思想，編著了《力學中的數學方法》講義。從2010年開始，果立成教授接替蓋秉政教授講授力學中的數學方法碩士和博士課程，并在原有講義基礎上，針對國內外前沿力學研究領域的相關力學問題逐漸在課程中融入相關數學內容，在課程中加入了支撐固體力學核心領域斷裂力學和損傷力學等相關的數學方法。近年來，隨著各種新興復合材料和功能材料的發展，過去主要以均勻材料為研究對象的力學和數學理論正向以非均勻復合材料為研究對象的方向發展。為了反映新興材料的力學和數學問題，課題組將在最近幾年研究生力學中的數學方法課程中，不斷結合國內外發展動態，對課程內容進行創新和實踐，課程不僅反映彈性力學、斷裂力學等核心課程基礎理論與基本概念，同時兼顧近十幾年來固體力學數學方法研究最新進展，使得哈爾濱工業大學力學中的數學方法研究生教學一直緊密跟蹤固體力學的科學研究進展，與時俱進，不斷為課程教學增添新的活力。

（二）? 教學方法改革

教學方法是指為了達到教學目的而組織的一種有秩序的教師工作方式和學生活動方式的總稱，包括了教師的教法和學生的學法。教學方法改革需要緊緊圍繞課程培養目標和教學內容，更多關注與學生的互動，把學生作為課堂中心，把實際應用能力作為重要的教學目標。

由于課程部分內容難度系數較高，概念太過抽象，非常不易掌握，純粹的黑板板書講解無法促進學生對該部分內容的掌握和靈活運用。因此，為了進行“國際化、創新型”人才的培養，課程組擬采用“研究型教學”“啟發討論式教學”“課程思政”等教學方法。

（三）? 教學手段改革

以課堂、教師、學生為核心的傳統教育模式中，以教材為藍本的課堂面授成為教學的主要形式，這種信息傳遞方式很大程度上受到時間和空間的限制，在溝通形式上缺乏靈活性，同時也不利于教學資源的共享。因此，需要在教學手段上進行改革。

三? 具體實施計劃

（一）? 教材及課程內容改革

課程內容改革主要體現在以下幾個方面。

1）傳統的力學中的數學方法教材研究對象主要針對彈性力學的數學方法和理論，而目前課程研究已經發展到針對包括彈性力學、斷裂力學、損傷力學和計算力學等核心課程，并延伸到非均勻、多相、各向異性材料領域。

2）張量初步的內容引入了細觀力學、斷裂力學相關的J積分、交互作用積分內容。相關研究以“洪堡學者”、日本學術振興會研究員于紅軍教授等的研究成果為支撐。

3）傳統課程主要關注材料的宏觀數學和力學理論，而目前課程緊跟國家力學領域的重大需求且在已有內容的基礎上適當加入最新的數學力學理論。因此，本課程適當地增加了多尺度力學及數學方法近年研究進展。這部分內容以楊志強老師在計算力學頂級期刊發表多篇成果作為支撐，包括與國際計算力學領域著名學者、美國哥倫比亞大學Fish教授在多尺度領域的合作成果。

4）由于過去計算機水平及模擬手段的限制，傳統課程過多敘述理論而缺少靈活的、更具有工程意義的數值模擬。因此，本課程系統地講解了力學中的數學方法包括有限元、不同多尺度模擬方法的基本理論及數值實現，通過實踐讓學生們能夠還原材料或結構的開裂過程。增加趣味性，激發學生的學習及研究熱情。

課程教材改革將在哈爾濱工業大學蓋秉政教授編著的《力學中的數學方法》講義的基礎上，并選用哈爾濱工業大學程靳教授編寫的教材《斷裂力學》，該教材為科學出版社重點教材。同時，加入多尺度相關的數學方法最新的研究進展，使得哈爾濱工業大學力學中的數學方法研究生教學緊跟固體力學的科學研究進展。這些改革使得研究生力學中的數學方法課程授課緊跟國內國際研究現狀，課程內容建設與時俱進，多種教學手段使得本課程充滿趣味性。研究生力學中的數學方法課程建設使包括力學學科在內的多個專業的研究生受益。

（二）? 教學方法改革

1? 研究型教學方法

研究型教學致力于引導學生“在學習中研究，在研究中學習”，鼓勵學生不要滿足于書本上知識，要研究和掌握書本沒有的東西。在課程講授過程中，首先針對抽象概念解釋分析，深入淺出，針對學生思維難點剖析講解，為學生搭建全面系統的知識體系，幫助學生夯實專業基礎；同時，在授課過程中應把當前的研究熱點與所講授內容緊密結合起來，讓學生了解本學科研究熱點與前沿問題。課程幾任主講教師的主要科研方向涉及斷裂力學、計算力學和應用數學，能夠時時掌握固體力學領域的研究動態，將之穿插于教學中，將基本理論與實際工程案例及前沿問題相結合，激發學生科研興趣。同時，將科研思想滲透到每一次的課堂授課之中，提高學生的科研能力。

2? 啟發討論式教學方法

課堂教學需要在授課教師的啟發引導下，由學生完成自主思考、知識內化，而討論式、互動式等教學方法，可以讓學生更好地參與到課堂教學中，能夠進一步激發學生的熱情和積極性。因此，課程改變傳統的教學模式，將灌輸式改為啟發討論式。在授課過程中加強課堂啟發和討論，發揮教師的主導作用，充分調動學生學習的主觀能動性與積極性。過程如下。

1）提出問題，引起思考。啟發討論式教學中新課的引進，往往是從一些具體問題開始的。

2）抓住要害，深入討論。當新課課題提出之后，老師并不急于進行系統的講授，而是抓住要點，組織學生自己去進行探索。

3）畫龍點睛，引出結論。

4）繼續深入，提高認識。在學生通過自己的探索得到了新的知識以后，又組織一些新的問題，引導他們進一步深入討論，提高認識。

啟發討論式教學方法包括課堂討論法、五“讓”教學法、案例教學法等，用于轉變教學模式，引導學生成為課堂的主體。運用課堂討論教學法，以小組或班級整體形式討論重點難點，幫助學生提高表達能力和邏輯思維能力，便于教師發現學生思維誤區、及時調整教學方法；結合教學內容，選擇性運用五“讓”教學法，即書本讓學生讀、見解讓學生講、重點難點讓學生議、規律讓學生找和總結讓學生寫，通過自主學習，提高學生對知識的系統理解和概括能力；使用案例教學法，將理論學習與實際相聯系，提升學生學習興趣和分析能力。

3? 課程思政教學方法

本課程思政教育教學主要以“堅持理論性和實踐性相統一、堅持價值型和知識性相統一、堅持主導性和主體性相統一、堅持灌輸性和啟發性相統一”為原則，將思想政治教育貫穿于教學全過程，啟發學生思考，旨在立德樹人、潤物無聲。方法如下。

1）以知識點講解為依托，實現價值觀的同頻共振。以專業技能知識為載體進行思政教育，具有強大的說服力和感染力。本課程在知識點講解過程中，將以相關背景知識、著名科學家等為切入點，結合思政元素開展教學，進行愛國主義教育，樹立遠大理想，為學生構建正確的道德觀和價值觀。

2）以厚植信仰為根基，激發學生自信心和自豪感。我校扎根東北、艱苦創業，打造了一大批國之重器，培養了一大批杰出人才。以他們為榜樣，介紹我校在航天領域的卓越貢獻，能夠激發學生的自信心和自豪感。杰出校友的事跡更能夠引起學生共鳴，更能充分闡釋哈工大精神，并激勵學生以此為榜樣，以愛國奉獻為信仰，樹立遠大理想。

3）兼顧學生心理健康，全方位進行人才培養。大學時期是學生的世界觀、人生觀、價值觀形成的重要時期。對學生的培養不僅僅是知識講授，為學生構建正確的“三觀”同樣重要。本課程在授課過程中，針對如何進行團隊協作、艱苦奮斗，怎樣面對困難等學生成長過程中可能面臨的困惑和問題，進行解答，旨在為學生樹立正確“三觀”，注重人才培養全面性。

4）運用新媒體，豐富授課方式。本課程除了PPT及板書講解，還通過視頻、圖片、互聯網等新媒體，豐富課程表現形式，增加課堂的趣味性，有利于學生提高注意力，加深印象，提升學習效果。

（三）? 教學手段改革

實現板書與多媒體的結合，學術與教學的結合，課堂內容與思政內容的有機結合。增加了斷裂力學、多尺度力學等反映國內外近十幾年研究進展的教學模塊，極大地增加了課程的信息量，豐富了學生的學術眼界，顯著提高了學習興趣。力學中的數學方法課程內容與時俱進，解決固體力學理論與應用數學理論闡述的有機銜接問題，有選擇地納入近年來涌現的代表性固體力學數值模擬方法中典型成果，適當拓展非均勻材料多尺度新問題，實現與宏觀力學方法的合理銜接。將傳統基本理論與新材料數學、力學問題合理銜接，以最為合理的方式為學生傳遞科研思想。這些內容的成功引入為推動其他研究生課程內容改革提供了寶貴經驗。

針對力學中的數學方法具有顯著的學術研討特性，專門設置了自由討論課堂，主講教師提出教材以外的力學和數學問題，引發學生廣泛深入討論；同時，學生可以自由提出教材以外的任意斷裂力學相關問題，由教師與學生共同討論，培養學生基于斷裂力學的思想去發現問題和解決問題的能力。將知識點講授與思政內容相融合，不僅向學生傳授了知識，同時為學生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀，引導學生厚植愛國之情，砥礪強國之志，實踐報國之行。另外，充分利用騰訊會議、QQ課堂等平臺，結合課件進行授課。

四? 授課與考核方式與方法

博士生考核以學生課堂討論和提交報告的形式進行，提交報告主要結合自己的科研方向和課上內容，探討并分析一些開放性未解決的課題。碩士研究生主要以平時成績和期末成績組成（平時成績30%，期末成績70%）的形式進行考核，平時成績包括課堂發言和算例討論，期末考試中增加開放性問題的考核比重，將學生分析問題和解決問題的能力、思維能力與創造能力融入考核范疇。

哈爾濱工業大學研究生課程力學中的數學方法包括力學中的數學方法I和力學中的數學方法II，授課對象為全校碩士研究生和博士研究生，每年包括機械、土木、交通和力學等相關專業學生100多人。課程受到學生廣泛歡迎并給出較高評價，見表1。課程主講教師果立成老師研究生網上評教全部為“A+”和“A”，楊志強老師2022年研究生課程學生評教97.62分，評級為優。針對哈爾濱工業大學研究生課程力學中的數學方法近兩年的實踐（碩士研究生90人，博士研究生25人），從圖1中可以看出，學生普遍認為在學習課程的過程中，課程內容比較豐富，對學生利用學到的力學知識解決實際的工程問題有積極作用，認為課程對解決實際工程有用的比例達到92%。

五? 結束語

本文通過哈爾濱工業大學研究生力學中的數學方法課程改革，以培養創新型人才為目標，融合課堂教學、多媒體、課程思政等教學方式，培養學生的自主學習、獨立思考、科研創新及實驗動手能力。主要包括以下三方面創新。

1）將教學內容從傳統的針對均勻材料的數學理論擴展至最近十余年受到普遍關注的針對非均勻材料屬性及多相復合材料力學問題的數學方法，與時俱進，引導學生關注科學前沿問題，根據培養目標縱向挖掘，適當提升了課程的深度。

2）本課程適當引入損傷力學、斷裂力學、多尺度力學、多尺度模擬算法的內容，更系統全面地架構知識體系，顯著提升了課程的信息量、學術內涵和實用性，橫向拓展課程廣度及學生知識面。

3）充分利用主講教師在力學、數學領域的多年研究積累，不預設問題，鼓勵學生自由提問，并有效地把思政內容和教學內容融合在一起，引導學生思考，培養學術思維，同時對學生進行思想教育，關注學生心理健康。做到傳道授業解惑，培養全面的創新型人才。

參考文獻：

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基金項目：哈爾濱工業大學研究生教育教學改革研究項目“碩博共選課程《力學中的數學方法》教學改革研究”（22MS001）；哈爾濱工業大學研究生課程思政教學改革項目“力學中的數學方法”（XYSZ2022033）；黑龍江省自然科學基金項目優秀青年基金“非均質復合材料熱-力耦合問題的非線性跨尺度方法研究”（YQ2021A005）

第一作者簡介：楊志強（1984-），男，漢族，黑龍江齊齊哈爾人，博士，副教授，博士研究生導師。研究方向為復合材料多尺度計算。