讓神奇的“轉(zhuǎn)化”有效滲透

周小蘇

【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，也是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略。數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出，要使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，可見其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位。轉(zhuǎn)化是一種重要的解決問題的思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。它是把需要解決的問題，通過某種手段，轉(zhuǎn)變成能夠解決或比較容易解決的問題，通過對(duì)新問題的求解，來解決原問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生使用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)思想方法 小學(xué)教學(xué)

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們深有感觸的是學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識(shí)很容易被遺忘，而且，在生活和工作中真正能夠得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)并不是太多。那么，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓學(xué)生終身受益的究竟是什么？日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，是數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)，等等。對(duì)此，我們可以理解成盡管許多數(shù)學(xué)知識(shí)被遺忘了，但學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的核心素養(yǎng)卻會(huì)對(duì)其生活和工作起著深遠(yuǎn)的影響。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，也是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略。在教學(xué)中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以使學(xué)生自覺地將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，從而形成核心素養(yǎng)。

轉(zhuǎn)化是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的解決問題的思想方法，它是把需要解決的問題，通過某種手段，將其變成能夠解決或比較容易解決的問題，通過對(duì)新問題的求解，來解決原問題。曹沖稱象、愛迪生測(cè)算燈泡的容積等都是運(yùn)用轉(zhuǎn)化解決實(shí)際問題的經(jīng)典案例。轉(zhuǎn)化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有大量的應(yīng)用，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域，轉(zhuǎn)化思想幾乎貫穿始終。善于使用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的重要特點(diǎn)。下面筆者就如何讓轉(zhuǎn)化的思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行有效滲透談一談自己的幾點(diǎn)思考。

一、學(xué)貴有困，困而后疏

（一）問題引發(fā)沖突

轉(zhuǎn)化實(shí)際上就是換個(gè)角度想問題。如化繁為簡、化新為舊、化難為易、化數(shù)為形、化異為同……所有適合用轉(zhuǎn)化思想解決的問題都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：用常規(guī)方法不能或不方便解決。不憤不啟，不悱不發(fā)。在教學(xué)中，需要讓學(xué)生先有“山重水復(fù)疑無路”的困頓，才會(huì)有轉(zhuǎn)化之后“柳暗花明又一村”的疏朗，這個(gè)過程也是讓學(xué)生體會(huì)“為什么要轉(zhuǎn)化”的絕佳時(shí)機(jī)。因此，教師要善于利用問題引發(fā)沖突，讓學(xué)生在思而未果、求而不得的狀態(tài)下試圖另辟蹊徑，才是轉(zhuǎn)化的正確打開方式。

例如，求圖1中涂色部分的面積（單位：cm），當(dāng)教師出示圖1后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果用“分別求出兩個(gè)涂色三角形的面積再求和”的常規(guī)方法在這里顯然不太適合。學(xué)生思考后，發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化成“用梯形面積減掉空白三角形面積”來計(jì)算。接著，教師可以繼續(xù)發(fā)問：你還有別的方法嗎？學(xué)生在教師的追問下進(jìn)入“憤”“悱”的狀態(tài)，教師適時(shí)點(diǎn)撥，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題可以通過添加輔助線，將圖1轉(zhuǎn)化成圖2和圖3，將兩個(gè)分開的涂色三角形轉(zhuǎn)化成面積相等的一個(gè)大三角形，問題就被輕松解決了。

由此可見，沒有沖突，就不會(huì)有豁然開朗、茅塞頓開的感覺。困頓和沖突越強(qiáng)烈，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化的需求也就越強(qiáng)烈，對(duì)轉(zhuǎn)化優(yōu)勢(shì)的體會(huì)才會(huì)更充分。

（二）經(jīng)歷增強(qiáng)體驗(yàn)

沖突導(dǎo)致的困頓激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，這時(shí)放手讓學(xué)生通過經(jīng)歷增強(qiáng)體驗(yàn)就顯得尤為重要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，無論是概念的形成、性質(zhì)或定理的得出，還是思想方法的感悟和體會(huì)，都離不開學(xué)生親歷完整的學(xué)習(xí)過程。任何一種灌輸式的教學(xué)都是行不通的。轉(zhuǎn)化作為一種數(shù)學(xué)思想方法，其本身具有的內(nèi)隱性更決定了學(xué)生需要在學(xué)習(xí)中不斷通過觀察、比較、分析、綜合、歸納、概括、實(shí)驗(yàn)等手段親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，在獲得對(duì)問題的認(rèn)識(shí)、理解和解決的同時(shí)，才能獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和感悟。

例如，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)。（見圖4）

學(xué)生在以上的過程中需要不停地進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納、概括……才能在長方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上“生長”出平行四邊形面積計(jì)算的公式。如果沒有充分的經(jīng)歷，而只是由教師告知一個(gè)簡單的結(jié)論，那學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化的思想方法就沒有任何體驗(yàn)和感悟。

二、學(xué)貴好悟，悟而后明

（一）表達(dá)激活思維

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)后產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過程的升華，是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶。因此，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的質(zhì)量直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成。語言是思維的外殼，課堂上通過讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行個(gè)性化的表達(dá)，就是在激活其主動(dòng)思維、深層思維。例如，在平行四邊形面積公式推導(dǎo)前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生就“平行四邊形的面積應(yīng)該怎樣計(jì)算”展開積極思考和充分表達(dá)；在公式推導(dǎo)過程中可以就“怎樣將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形”“轉(zhuǎn)化前后的平行四邊形和長方形有怎樣的關(guān)系”“你有什么發(fā)現(xiàn)”等問題進(jìn)行表達(dá)；公式推導(dǎo)之后，又可以引導(dǎo)學(xué)生完整地說一說“平行四邊形面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的”。

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表達(dá)的過程中，教師需要激活的是每一個(gè)學(xué)生的思維。因此，教師要想盡一切辦法將表達(dá)的重心下移，通過“同桌互說”“小組交流”“集體交流”等多種方式“逼”著學(xué)生表達(dá)。只有這樣，個(gè)性化的表達(dá)才能展現(xiàn)個(gè)性化的思維，學(xué)生對(duì)思想方法的感悟也在不知不覺中進(jìn)行。

（二）反思加深體悟

反思，是回頭、反過來思考的意思。學(xué)生通過對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，不僅可以加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，使學(xué)習(xí)能力得以提升，還可以使隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的思想方法更加清晰，實(shí)現(xiàn)逐步抽象、概括、凝練的過程。因此，轉(zhuǎn)化的思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行有效滲透，要抓住反思這一有效手段，讓學(xué)生在過程中體會(huì)其意義和價(jià)值，養(yǎng)成自覺、冷靜反思的好習(xí)慣，并能緊扣重要環(huán)節(jié)，思考轉(zhuǎn)化的思想方法如何在問題解決的過程中發(fā)揮關(guān)鍵作用，從而對(duì)轉(zhuǎn)化的本質(zhì)意義有更深入、全面的感悟。一般來說，對(duì)于轉(zhuǎn)化的思想方法，學(xué)生可以在問題解決之后從“為什么需要轉(zhuǎn)化”“具體怎樣轉(zhuǎn)化”“轉(zhuǎn)化后怎么樣”三大問題入手進(jìn)行反思。長此以往，學(xué)生對(duì)需要用轉(zhuǎn)化來解決的問題會(huì)有“類”的大致印象，對(duì)問題解決時(shí)是應(yīng)該化曲為直、化繁為簡、化數(shù)為形等都有自己的直接的、經(jīng)驗(yàn)型的判斷，在加深體悟的基礎(chǔ)上主動(dòng)轉(zhuǎn)化的意識(shí)也得以加強(qiáng)。

三、學(xué)貴梳理，理而后清

（一）回顧感受價(jià)值

當(dāng)高年級(jí)的學(xué)生在對(duì)轉(zhuǎn)化有了深刻的感悟和認(rèn)識(shí)后再回顧整個(gè)學(xué)習(xí)過程，會(huì)發(fā)現(xiàn)在數(shù)的運(yùn)算、幾何圖形的面積、體積計(jì)算等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，轉(zhuǎn)化幾乎無處不在，它幫助解決了許多原本無從下手的問題。例如，在學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”時(shí)我們將其轉(zhuǎn)化成“同分母分?jǐn)?shù)加、減法”；“小數(shù)乘法”轉(zhuǎn)化成了“整數(shù)乘法”；“除數(shù)是小數(shù)的除法”轉(zhuǎn)化成“除數(shù)是整數(shù)的除法”；“多邊形的內(nèi)角和”轉(zhuǎn)化成“計(jì)算多個(gè)三角形的內(nèi)角和的總和”，等等。通過回顧，學(xué)生不僅在主動(dòng)溝通知識(shí)間的聯(lián)系，更是以轉(zhuǎn)化的思想方法為軸，串起了一條知識(shí)鏈，對(duì)轉(zhuǎn)化的感悟自然更為深刻。最為重要的是，轉(zhuǎn)化在小學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用讓學(xué)生充分感受到其價(jià)值所在。

（二）整理明晰特征

學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的提升，離不開整理和復(fù)習(xí)這一重要的方式。通過整理和復(fù)習(xí)，學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)逐漸完善，也能使隱含在不同數(shù)學(xué)內(nèi)容中的同一數(shù)學(xué)思想方法更加明晰，從而在得到結(jié)論的同時(shí)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)用性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，在一個(gè)單元或一個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后，對(duì)知識(shí)進(jìn)行適度的整理與復(fù)習(xí)是十分必要的。在與轉(zhuǎn)化思想方法相關(guān)知識(shí)的整理過程中，一是要努力引導(dǎo)學(xué)生通過回憶交流在頭腦中再現(xiàn)知識(shí)的形成過程。二是在整理與復(fù)習(xí)時(shí)要注意強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行梳理，并且突出數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中的共性。

例如，總復(fù)習(xí)“平面圖形的面積計(jì)算”可以進(jìn)行整理（如圖5）：

引導(dǎo)學(xué)生梳理這樣的思維導(dǎo)圖其實(shí)就是一個(gè)再現(xiàn)知識(shí)形成的過程，學(xué)生要一邊梳理一邊將推導(dǎo)過程進(jìn)行完整的表述，在梳理完畢后加深體會(huì)整個(gè)平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程都是在用轉(zhuǎn)化的思想分析和解決問題。同樣，立體圖形的體積計(jì)算公式推導(dǎo)也是類似的。

四、學(xué)貴善用，用而后啟

（一）應(yīng)用養(yǎng)成自覺

數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得的知識(shí)、能力都要在實(shí)際應(yīng)用中才能得到鞏固和提升，數(shù)學(xué)思想方法也需要在實(shí)際應(yīng)用中得到提煉。

在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生自覺地應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將陌生的、未知的、復(fù)雜的問題向熟悉的、已知的、簡單的問題轉(zhuǎn)化，突出轉(zhuǎn)化的思想方法對(duì)解決問題的指導(dǎo)作用。同時(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷完整解題過程的基礎(chǔ)上，充分感悟轉(zhuǎn)化思想對(duì)解決問題的指導(dǎo)作用，也體驗(yàn)到解決問題的具體方法向轉(zhuǎn)化思想的轉(zhuǎn)變過程，強(qiáng)化學(xué)生的感悟。

例如，修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長的2/7，第二天與第一天所修路程的比是2∶1，還剩500米沒修，問這條路全長多少米？

此題中既有分率又有比，應(yīng)用轉(zhuǎn)化既可以把比轉(zhuǎn)化成分率，按分?jǐn)?shù)實(shí)際問題來解答：第二天就是第一天的，也就是全長的×=，這樣兩天已修全場(chǎng)的，500米對(duì)應(yīng)全長的，全長為500÷=3500（米）；也可以把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成比，借助“份數(shù)”將問題轉(zhuǎn)化成整數(shù)問題來解答。第一天修了兩份，第二天與第一天的比是2∶1，說明第二天修了4份，那500米對(duì)應(yīng)全長7份中的1份，全長為500×7=3500（米）。

在實(shí)際問題的解決過程中，學(xué)生能夠明顯感知到轉(zhuǎn)化的魅力，化繁為簡、化難為易的過程讓學(xué)生體驗(yàn)到了思維的樂趣。久而久之，自覺應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法解決實(shí)際問題的意識(shí)也就得以養(yǎng)成。

（二）內(nèi)化促進(jìn)提升

數(shù)學(xué)思想方法的感悟內(nèi)化是一個(gè)漫長的過程，不可能一蹴而就，教師和學(xué)生都要有足夠的耐心，才能在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想方法的逐漸內(nèi)化，學(xué)生的核心素養(yǎng)也才能有效提升。一是教師要對(duì)轉(zhuǎn)化思想方法的有效滲透做長期的設(shè)計(jì)和規(guī)劃，遵循學(xué)生思維發(fā)展的潛在規(guī)律，科學(xué)地、循序漸進(jìn)地進(jìn)行滲透，促進(jìn)有效內(nèi)化；二是教師要成為有心人，善于捕捉隱藏在教學(xué)內(nèi)容中適合用轉(zhuǎn)化解決的問題，有計(jì)劃、有方法地引導(dǎo)學(xué)生充分實(shí)踐和感知；三是教師要充分利用好反思和整理復(fù)習(xí)的有效手段促進(jìn)內(nèi)化。

綜上所述，問題沖突、完整經(jīng)歷、多元表達(dá)、深刻反思、及時(shí)回顧、系統(tǒng)整理、實(shí)踐應(yīng)用、主動(dòng)內(nèi)化是實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想滲透的有效環(huán)節(jié)和手段，它們就像鏈條一樣串起學(xué)生學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展提供保障。

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