“四會課堂”：數學新課標的教學理解

左一鳴 華云鋒

【摘 要】“四會”是指“會猜想、會提問、會建構、會求異”。“四會課堂”是指訓練、提升學生“四會”素養的課堂。在“四會課堂”教學中，學生在教師的引導下用數學眼光對問題進行觀察、猜想，用數學思維發現疑惑、提出問題，用數學語言描述、解決問題，構建數學模型，嘗試不同解法，訓練思維，提升素養。

【關鍵詞】初中數學；四會課堂；新課標；教學理解

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2024）03-0055-06

【作者簡介】1.左一鳴，江蘇省鹽城市長江路實驗學校（江蘇鹽城，224007）教師，高級教師，鹽城市數學學科帶頭人；2.華云鋒，江蘇省鹽城市長江路實驗學校（江蘇鹽城，224007）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

如何培養學生的“四會”素養，讓“四會”成為學生學習知識、習得技能最重要的路徑？如何在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上進行“四會課堂”教學設計？以下以蘇科版八上“函數概念”教學為例，談談“四會課堂”在數學新課標背景下的教學理解和教學實踐。

一、“四會課堂”的教學理解

打造“四會課堂”的意義在于激發學生會學意愿，培養學生學習能力，其核心價值是培養學生善于猜想、敢于質疑、模型建構、思維創新的關鍵能力。

1.“四會課堂”的實現路徑

讓學生經歷數學視角的“會猜想”的過程。很多數學問題源于現實生活，教者精心設計問題能夠激發學生興趣，引發學生好奇。學生通過觀察發現同類情境的共性，形成對這類情境問題的猜測、假設，這便是經歷數學猜想的過程。

讓學生進行聯想追問，經歷“會提問”的過程。學起于思，思起于疑。“會提問”是引導學生經歷生問、質問、釋問的過程，發展學生提出問題的能力。形式可以是自問自答，也可以是你問他答；可以是橫向發散型提問，也可以是縱向追問型提問。問題可以引發學生認知沖突，激發學生學習動機，促進學生積極探究。面對新問題，學會運用已經獲得的經驗嘗試解決問題，通過轉化化未知為已知。

讓學生開展數學描述，經歷“會建構”的過程。會用數學的語言對問題進行描述是一種很重要的能力，它是基于問題解決完整思路的外顯形式。一個數學結論的獲得、一條輔助線的添加都是一個建構的過程。

讓學生經歷思維創新的“會求異”過程。數學課是思維課，通過“拓展延伸”環節訓練學生的高級數學思維，嘗試不同解法，尋求思維創新。

2.“四會課堂”的核心理念

堅持“學生為本”的發展理念。學生是學習的主體，教師是學生學習活動的組織者、引導者和合作者。教師的思維視角與學生的視角有較大差異，教師既不能替代學生思考，又不能頻繁引導，要適度、適時、適當地啟發思維，讓學生成為“四會課堂”的真正主人。

依據核心素養的“四會”理念。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學學習的核心能力是“四能”，數學能力的訓練要經歷“觀察抽象—分析提問—表達建模—嘗試創新”的過程，“四會課堂”就是依據這樣的素養要求進行課堂活動設計的。

指向學生“會學”的方法教學。科學的學習方法效率高，數學學習是有法可循的。一般首先通過對真實情境的數學化，歸納共同屬性，抽象出核心概念，接著對概念表征進行詮釋，然后在運用中理解知識，最后歸納問題研究的一般方法和構建基本模型。

3.“四會課堂”的基本樣態

數學課無固定模式，有的是“預習—講授—精練—總結”模式，有的是“溫故引新—性質探索—問題解決—方法提煉”模式，有的是“情境引思—概念生成—例題學習—實踐評價”模式，還有“新知探究—任務分工—小組合作—代表展示—總結提升”等課改模式。

數學課堂一般有兩個核心環節：知識建構和知識運用。知識源于哪里，歸向何方，這得益于教者的靈巧設計。經過筆者及團隊相當長一段時間的實踐和探索，我們初步摸索出會猜想、會提問、會建構、會求異的“四會課堂”基本樣態。

首先，通過對實際情境或數學問題進行觀察、思考激發學生對現象、問題的好奇心并適時猜想，教師要善于接納學生的各種猜想，保護學生的好奇心，訓練學生的敏感力。接下來在知識運用環節鼓勵學生提出相關問題，強化數學理解。通過提問促進學生從不同視角學會思考，讓問題更豐實。教師要引導學生在數學學習過程中學會總結思考方法，尋找突破路徑，探索研究規律，學會模型建構。課堂教學中教師還要注重培養學生的求異思維，激發他們尋找更佳思路的積極心向。

4.“四會”與核心素養的邏輯關系

數學課程目標是以學生發展為本，以核心素養為導向，指向會猜想、會提問、會建構、會求異，“四會”與核心素養存在如下貫通一致的邏輯關系。（如圖1）

教者引導學生發現問題就是教會學生會用數學的眼光觀察現實世界，即會對真實情境進行數學猜想、抽象；鼓勵學生提出問題、分析問題，就是教會學生會用數學的思維思考現實世界，以數學的視角、方式進行思考、聯想；在用數學方法解決問題時，就是訓練學生會用數學的語言對現實世界進行描述；追求解決問題方法的多樣化，嘗試逆向思考、橫向思考和縱向思考，讓數學思維在靈活變化中求異求新。

二、“四會課堂”的教學實踐

1.學會猜想：呈現真實情境，指向數學抽象

數學概念教學的關鍵是將真實情境數學化，即從同類的實際問題中發現“相同屬性”，由此激發學生研究這類問題的好奇心，體會研究這類問題的必要性，促進思考的發生，在觀察、猜想、表征、歸納中，形成數學概念。

（1）情境導入

數學概念通常是將一組或者多組實際情境的共同屬性進行歸納、加工，形成一個特定的知識點基本原型。

情境一：加油問題

教師播放汽車加油時加油表跳動的微視頻，在學生認真觀看的過程中，教師暫停播放兩次。（如圖2、3）

接下來，教師問學生，根據動態畫面和靜止畫面，分別發現了什么，讓學生對情境進行數學猜想。在自主思考和合作交流后，由第一組的3名學生分別回答。

生1：畫面中有3個量，分別是單價、油量和金額，金額=單價×油量。

生2：在加油過程中，油的單價是不變的，油量和金額都在變化；由預習可知，油價是常量，油量和金額是變量。

生3：兩個變量之間存在一定的關系，油量增加，金額也增加；當摁了暫停時，油量停止變化，表中的金額也停止變化。

師：這3位同學說得非常好！畫面靜止時，我們發現3個量都“定格”不變了，當油表中數據再次跳動時，其中的兩個量再次變化，而其中的一個量始終不變。通過3位同學的描述，你們應該理解“常量”“變量”的含義了吧！

情境二：行程問題

教師運用網絡畫板制作了一個汽車在勻速行駛過程中的路程與時間同步變化統計表，以動態的形式顯示：

汽車勻速行駛的速度為90km/h（即1.5km/min），當汽車行駛1分鐘時，畫面中會自動跳出一組數據1，1.5；當汽車行駛2分鐘時，畫面中會自動跳出新的一組數據2，3。

師：同學們，你們能從以上數據中發現什么嗎？

（由第二組的3名學生分別回答）

生4：在汽車勻速行駛過程中，時間與路程都在不斷發生變化。

生5：路程隨著時間的增加而增大。

生6：時間為某個確定的值時，路程也有一個確定的值。

師：你們善于觀察畫面中的數據變化及數據之間的關系，這就是數學視角，即數學眼光。變化的兩個量之間存在什么樣的關系呢？

生4：路程與時間之間的關系是s=90t。

師：人們對運動變化的現象進行研究，嘗試尋找其變化規律，就是自然科學的重要價值。我們要學會用規律揭示事物的變化情況，不斷培養問題意識。

情境三：氣溫問題

教師統計了鹽城春季某兩日的氣溫情況，每3個小時做一次溫度統計，記錄如下頁表1所示。

師：你們能從這個氣溫記錄表中對兩個變量的變化情況作進一步描述嗎？

生7：記錄表中出現兩個變量，分別是時間和溫度，時間變化，溫度也發生變化，每一個記錄時間，都對應一個相應的溫度。

師：同學們，我們上一章學習了平面直角坐標系，根據上述表格我做了一個圖象。（如圖4）你能根據上一章的學習內容，對圖象進行描述嗎？

生8：在這個平面直角坐標系中，橫軸表示時間，縱軸表示氣溫，如上午11時氣溫是18°C，即對應圖象中的點（11，18）。這是通過先畫出9個點，再依次將這9個點連接起來形成的氣溫與時間這兩個變量的直觀圖象。

師：牛頓說過，“沒有大膽的猜想，便不可能有偉大的發現。”我們要學會從“現象”中猜想結論，對同類情境“相同屬性”進行歸納，揭示問題本質，得出相關結論或現象中的規律。

（2）函數概念引入

數學概念的抽象過程，需要給予學生足夠的時間，老師不能包辦，應該組織學生先以獨立與合作相結合的方式進行，再形成學習小組內相對統一的匯報信息。

第三組代表發言：我們認為，以上幾個情境問題都包含兩個變量，如加油量和加油金額、時間和行程、時間和溫度，兩個變量在變化時滿足一定的規律：“一變帶一變”“一定帶一定”。

師：你們總結得很好！

第四組代表發言：我們做了一個圖表，分享給大家。（如圖5）

師：你們超級厲害，清晰地畫出了變量之間的關系圖。你們能發現圖中4組數據的對應關系有什么不一樣嗎？

生9：我們在七年級時學過“一一對應”的含義，如數軸上的點與實數一一對應。以上四個表格中前面兩個表格中的數據屬于“一一對應”（雙向一對一），而后面兩個表格中的數據不屬于“一一對應”，如氣溫為18°C時，可以對應兩個甚至多個時間點。

師：這位同學能夠聯想到七年級學過的“數軸上的點與實數一一對應”，相當了不起，那是點與數的一種對應關系。我們今天學習的也是一種對應關系，如果兩個變量之間存在“一對一”和“多對一”的對應關系，就是我們今天一起學習的課題——函數。至此，我們可以了解函數的屬性——兩變量、兩對應。

2.學會提問：尋找不同視角，提出關聯問題

數學表征指用某種形式表達數學概念或關系的過程，也指可見的形態，如圖表、數軸、圖象、數學表達式、公式、方程、具體對象等。［1］概念教學一般包含概念的數學抽象、概念的要義理解、概念的實際運用以及概念的系統建構等，在教學過程中教師可以鼓勵學生在此基礎上對概念的源與流提出疑問或關聯問題。

首先，教師帶領學生一起描述函數的概念：（為便于描述，我們設兩個變量為x，y）一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，x是自變量。

接下來，教師請學生根據函數屬性，由每個小組提出一個關聯問題，并嘗試回答。

第五組提出的問題是：函數有具體的表達形式嗎？

生10：函數的表達形式可以是數學關系式，如上述路程與時間之間的關系s=90t，對于t的每一個值，s都有唯一的值與它對應，這里s是t的函數，t是自變量。再如圓的面積公式S=π·r2中，對于r的每一個值，S都有唯一的值與它對應，這里S是r的函數，r是自變量。

生11：函數的表達形式也可以是表格形式。

生12：函數的表達形式還可以是圖象形式，如圖4。對于“時間”的每一個值，“氣溫”都有唯一的值與它對應，這里“氣溫”是“時間”的函數，“時間”是自變量。

師：這3位同學已經把我們這節課出現的幾種函數表達形式都歸納到位了。這3種形式各有優點，我們將在今后的學習中逐步感受。（如圖6）

3.學會建構：構建數學模型，實現問題解決

函數是刻畫變量關系非常重要的數學模型，是解決問題的重要工具。將一個實際問題轉化為函數問題，尋求問題解決的優化方案是學生應該具備的關鍵能力，教師在教學時應該著重培養。

函數模型有著廣泛的運用，在實際問題中存在多個有相關關系的變量時，就可以構建函數。例如，商場銷售一種型號的T恤衫，每天可以銷售20件，每件盈利40元，現在通過降價促銷，若在一定范圍內，每降價10元，平均多銷售20件，問如何降價使得一天的盈利最大化。這里設降價x元（自變量），用含x的代數式表示另一個變量——衣服的銷售量（20+2x）件，于是就可以構造總利潤的二次函數表達式，通過配方便可得到最值。同樣，在圖形動點問題中構建函數模型也可以輕松解決問題，如兩個動點在矩形的兩條邊上按照各自的速度運動，可以求有關圖形面積的最值問題。這類問題也是通過設一個自變量，再表示三角形面積的函數關系式，進而求解。

4.學會求異：嘗試解法變化，追求思維創新

活潑、靈動的課堂需要多元化的表達方式。［2］判斷兩個變量是否存在函數關系，可以從不同角度進行，只要抓住函數的本質屬性：兩個變量存在“一對一”或“多對一”關系即可。例如，實數x是非負數a的平方根，即x=±[a]或x2=a。

師：x與a這兩個變量之間是否存在函數關系？試從不同角度說明。

生13：x=±[a]，x2=a這兩個關系式本質上是一致的，由前者容易看出，當a取一個正數時，x有兩個值±[a]，所以實數x不是a的函數。由后者容易看出，當x取一個實數時，a有唯一的值與之對應，所以數a是實數x的函數。

生14：我把它們的關系通過表格形式呈現。（如表2）可以看出，當a取一個正數時，x有兩個值與之對應，因此x不是a的函數。

生15：老師，我嘗試畫出對應的圖象來判斷。（如圖7）過橫軸正半軸上任一點作橫軸的垂線，與圖象有兩個交點，即當a值確定時，x存在兩個值，所以x不是a的函數；過縱軸上任一點作縱軸的垂線，與圖象僅有一個交點，即x值確定時，a有唯一的值與x對應，所以a是x的函數。

概念教學有基本三步式，一是從表面到本質，理解與把握概念的核心；二是從抽象到具體，把握概念化的過程；三是從個體到系統，尋找概念間的聯系，將概念立體化。［3］

數學學習的育人價值就在培養思維和啟迪智慧，培養學生探索未知世界的好奇心和問題解決能力，培養學生的理性精神、科學精神。在課堂教學中教師要理解新課標，積極踐行新理念，培育學生“四會”素養，發展學生關鍵能力，讓數學彰顯“為黨育人，為國育才”的學科價值。

【參考文獻】

［1］江漂，張維忠.英國Edexcel數學教科書編寫特色分析——從核心素養的角度［J］.教育研究與評論，2022（12）：48-53.

［2］華云鋒.初中數學實驗教學中的素養培養——以實驗課“構建中點四邊形”為例［J］.江蘇教育，2022（51）：40-43.

［3］章建躍.數學教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2019：385-386.