數學核心素養視角下的單元—課時教學設計

曹雪芹 陳志恩

摘?要：單元教學設計是圍繞單元主題對知識進行深層挖掘和意義聯結，進而實現對知識的結構化處理。它的開展可以幫助學生系統地理解常用數學知識之間的聯系，形成整體知識框架，是培養學生核心素養的有力工具。由單元到課時的教學設計，是將單元目標分解到每一課時，這種教學設計不僅可以體現數學的層次性，還可以強化學生的邏輯思維能力，從而有利于學生素養目標的達成。本文將以“數列”單元為例，以核心素養為引領，探究單元—課時教學設計。

關鍵詞：核心素養；單元—課時教學；數列

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：必須將核心素養與數學課堂有機融合；此外，教學設計要改變零散的課時設計，從整體上剖析課程內容，確定單元主題，制定教學目標，圍繞核心素養設計教學活動。在此基礎上再設計課時教學，可以從整體上明晰數學知識間的聯系、掌握數學思想方法、把握數學的本質，系統把控數學教學活動，提升學生的數學核心素養。

1?理解數學，圍繞核心素養分析單元教學內容

分析單元教學內容時須以核心素養為引領，以全局為視角理解數學。具體可以先利用知識框圖羅列本單元內容，之后圍繞知識的本質、上下位關系［1］、蘊含的思想及指向的核心素養這條主線展開分析，在此基礎上明確教學重點。

1.1?數列單元知識框圖

“數列”單元主要包括：數列概念、等差數列、等比數列。首先，教學時教師應先設置具體情境，使學生發現共性并抽象出數列的定義與實質（特殊函數），總之要讓學生經過第一節的學習，理解什么是數列及應從哪些方面研究數列［2］；其次，對兩類特殊數列也可以從概念、通項公式等來研究，考慮到二者的相似性，應將重點指向等差數列，等比數列類比來學習；最后，再對兩種數列的性質及應用做深入研究。由以上分析，繪制如下的單元知識框圖：

數列單元教學知識框圖

1.2?數列單元知識的本質

數列的本質是定義在正整數集上的特殊函數，可以借助函數來理解數學，例如聯系函數的性質探究數列的性質、解決新情境中的題目等。其從本質出發學習新知的方法能使學生理解知識背后的邏輯，促進核心素養的發展。

1.3?數列單元知識的上下位關系

在高一時學生已經對函數掌握了一般的研究方法，教學時教師應有意識地引導學生用函數的思想觀點來研究數列。此外本單元的知識又是后續學習“數列極限”的前提，所以數列單元既承接前面又啟發后面的知識，有利于學生以全局為視角明晰知識間的聯系。

1.4?數列單元知識蘊含的思想方法

首先，類比思想貫穿單元始終，例如類比等差數列的定義歸納等比數列的定義；類比函數知識解決新情境中數列相關的題目等。其次，函數與方程的思想也有體現，例如解題時，啟發學生由已知條件及相關公式建立方程組，求解未知數。最后，還涉及特殊到一般的思想，如本單元先探究特殊數列，然后再將特殊數列的思維方式運用到一般數列的研究中。

1.5?數列單元重點培養的核心素養

先從具體情境中歸納共同屬性并抽象出概念，發展數學抽象素養；接著通過仔細觀察實例中數列各項間的關系，抽象出兩種數列模型，培養直觀想象和簡單的建模素養；最后，經歷公式的推理活動，發展邏輯推理和數學運算素養。

1.6?數列單元的教學重點

教學重點主要有三個，一是理解數列的概念和性質，并將其遷移到新情境中；二是滲透類比、方程與函數、特殊到一般等思想；三是培養本單元所涉及的核心素養。

2?了解學生，制定單元—課時教學目標

教學目標須以學生的現有認知為基礎，以核心素養為導向，并借助內容的分析明確單元目標。之后將其分解到具體課時，并使單元與課時目標有機融合，以保證課時目標的積累會促成單元目標的實現。

2.1?學情分析，明確難點

學情分析應注意兩點：一是明晰學生的現有認知（包括知識、能力及思維方面）；二是結合教學目標，預設學生實現由現有認知到目標認知的過程中可能遇到的困難。然后基于學情分析明確教學難點。

（1）學生的現有認知。此前學生已經學習過函數相關知識，掌握了一定的思想方法，具備了數學運算、推理及簡單的建模能力。

（2）可能遇到的困難。首先，采用類比法學習兩種特殊數列時，學生對概念、通項公式的類比歸納容易產生困難，教師可以設置“問題鏈”幫助學生探究。其次，公式的推導難度較大，教師要鼓勵學生大膽猜想，勇于探索。最后，數列中有些題目涉及知識點較多，考查學生綜合能力，解決起來較為困難，教師要注重啟發和指導。

（3）單元教學難點。通項及前n項和公式的推導及其在新情境題目中的運用。

2.2?數列單元教學目標的制定

目標的制定要運用可測的行為動詞，還應考慮學生有哪些表現就達到了預期效果，以保證教學目標可操作和測量。此外要遵循“兩結合”原則：過程與結果、顯性目標與隱性目標相結合，如“經歷某種活動（過程），能解決某些問題（顯性目標、結果），發展和培養思維方法或關鍵能力（隱性目標、結果）”的表述，本單元目標包括以下內容。

（1）用自己的語言描述數列的定義和本質；通過觀察數列各項之間的規律，能用公式加以表示；反之也能根據公式寫出數列的某一項，會進行兩者間的轉化。

（2）能由具體實例抽象出數學模型，并在新情境題目中加以應用，培養建模素養。

（3）將特殊數列的研究內容和思路運用于研究一般數列，體會特殊到一般的思想。

（4）由具體情境抽象數列，并觀察取值特點寫出表達式，培養直觀想象和數學抽象素養。

（5）能概括出兩種數列的定義、通項公式，學會公式的推導及在新情境題目中加以運用。

（6）在推導數列通項的過程中，強化學生的推理能力。

（7）感受數學來源于生活又回歸于生活，提高學生的探索興致。

（8）經歷公式的推理活動，并將其運用到新情境中。

（9）通過前n項和公式的推導活動，提升運算和推理素養。

2.3?數列單元教學目標的課時分解

單元教學目標只有在分解到具體課時才能得以落實。按照新課標，完成本單元需12課時，但考慮到學生核心素養的培養，本單元對課時做了相應調整。等差數列一節課由原來的2課時增加到3課時；單元小結是對整個單元知識的歸納和總結，難度相對較小，因此課時由原來2課時減少為1課時。另外，將2.2中制定的單元教學目標分解到具體課時，具體見下表。

3?理解教學，預設單元—課時教學過程

由單元到課時，先將單元目標重難點分解到課時，再設計課堂教學過程，以體現知識的層次性，促成單元目標的實現。設計過程中要突出“兩個導向”：以問題鏈為導向；以知識產生和學生思維發展過程為導向。同時凸顯“三個轉向”：由結果轉向過程，強調學生參與；由知識鏈轉向問題鏈，注重自我建構；由封閉轉向開放，培養創新素養［36］。

下面以等比數列第1課時為例預設教學過程：

3.1?單元目標重難點分解到課時

“等比數列”第1課時主要對應單元目標的二、五、六，具體到課時目標為：（1）類比等差數列的定義歸納等比數列的定義，提升歸納類比能力；（2）經歷公式的推理活動，體會“猜想—證明—結論”的探究過程，培養數學運算、推理素養及嚴謹的思維；（3）在新情境的題目中應用知識，培養問題解決能力。

課時重點是等比數列的定義、通項公式；難點為公式的推理及在新情境題目中的應用。

3.2?教學過程設計

3.2.1?拋出問題，設置懸念

問題導入：還記得等差數列的特征嗎？類比等差數列前后兩項之差的規律性，前后兩項的其他運算能否構成其他值得研究的數列呢？

設計意圖：以問題導入的形式激發學生的原有認知，以為新知識的學習和知識體系的構建做鋪墊。

3.2.2?問題引領，類比探究

情境1：觀看視頻——細胞分裂過程。

問題1：一個細胞經過各次分裂產生的后代數目依次是什么？

活動：學生思考：2，4，8，16，…

情境2：古巴比倫時期的泥板上記載了如下數列：

91，92，93，…，910

12，14，18，…，11024

問題2：類比等差數列的特征，以上數列的取值有何規律？采取何種運算才能得到它們的共同特征？

活動：學生思考交流，教師總結歸納，從而引出課時主題，呈現知識背景。

設計意圖：從具體實例讓學生抽象模型，用問題鏈引出主題，培養抽象思維和提問能力。

問題3：結合上述規律及等差數列的定義歸納等比數列的定義。

問題4：根據等差數列的符號語言，如何用數學符號描述等比數列？

活動：嘗試歸納anan-1=q；

問題5：公差可取任意值，那公比的取值范圍呢？帶著問題做思考題：判斷以下是否為等比數列，如果是請寫出公比；不是請解釋原因：

①1，5，25，125，…②2，-4，8，-16，…③1，0，1，0，….

活動：合作探究得q≠0.

設計意圖：通過問題鏈及類比思想引導學生歸納定義，注重學生參與，體現了由結果轉向過程的設計；思考題讓學生自己發現定義中的要點，以加深理解。

問題6：由定義猜想等比數列的通項應該是怎樣的公式？

活動：由a2a1=q，a3a2=q，a4a3=q，…猜想

an=a1·qn-1（nN）（1）

問題7：仿照等差數列通項公式的推理方法證明猜想的正確性？

活動：師生交流給予嚴謹的證明并總結方法——累乘法。

設計意圖：采用類比法，提高歸納類比能力；經歷“猜想—證明—結論”的探究過程，體會數學是一門有理有據的學科，提升數學運算、推理素養。此外由公式（1）共有四個未知數，提醒學生“知三求一”，滲透方程與函數思想。

3.2.3?小試牛刀，學以致用

例題：等比數列an中a4=48，a4=12，求a5.

變式：等比數列an的公比為q，第m項為am，請自己設問并解決。

活動：例題引導學生分析解答；變式訓練先組內探討，之后全班交流，總結評價。

設計意圖：讓學生在新情境的題目中運用知識，加深理解，并滲透方程與函數思想。變式訓練采取自己設問并解決的方式，鍛煉學生的創新思維。

3.2.4?課堂總結，形成框架

問題8：收獲了哪些知識？

概念、通項公式及其推導和應用。

問題9：運用了哪些思想方法？

類比、方程與函數、特殊到一般的思想；探究問題時采用“猜想—證明—得出結論”的方法。

設計意圖：從知識、思想和方法三方面小結，爭取授之以漁，發展核心素養。

3.2.5?布置作業，自我檢測

必做：習題1、習題2、習題3；選做：習題4、習題5。

課外：搜集生活中等比數列的實例。

設計意圖：分層作業使不同的學生在數學上有不同的發展；擴展題的設置由封閉轉向開放，培養學生信息搜集能力，提高綜合素養。

3.3?教學反思

本課時聚焦學生的主動參與、自我建構，組織教學時既立足于教材，又超越教材，通過“問題鏈”指導學生大膽猜想，激發創新潛能。

本案例與傳統的教學設計的差異主要有：（1）與傳統的課時設計不同，本案例以學生為主體，鼓勵學生大膽猜想，教師設置合理的“問題鏈”，引導學生類比等差數列來探究等比數列相關內容。體現了單元—課時設計更加注重學生的參與和自我建構；更加注重知識的系統性和聯結性。（2）關于公式的推導，傳統教學多采用類比法予以證明，但本文以全局為視角，讓學生經歷“猜想—證明—結論”的探究過程，提升問題探究能力。（3）本案例強調用函數的觀點來解決相應問題，注重挖掘知識本質，提升核心素養。

參考文獻：

［1］呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟［J］.當代教育與文化，2016，8（04）：4146.

［2］董強.高中數學“數列”單元教學設計研究［D］.西北師范大學，2016.

［3］劉春艷.聚焦核心素養的單元教學設計——以高中“平面向量的運算”單元為例［J］.數學通報，2020，59（07）：4953.

［4］普通高中教科書教師教學用書.數學：選擇性必修.第二冊：Ａ版［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］方長林.聚焦數學核心素養?設計單元—課時教學——以高中“一元二次函數、方程和不等式”單元為例［J］.數學通報，2021，60（06）：3035.

［6］徐強.基于“單元”視角，設計問題驅動——以“圓周角（第2課時）”教學設計為例［J］.數學教學通訊，2022（26）：1720.

基金項目：寧夏師范學院2023年度大學生科技創新基金項目

作者簡介：曹雪芹（1998—?），女，漢族，山西大同人，碩士研究生，研究方向：學科教學（數學）；陳志恩（1977—?），男，漢族，寧夏固原人，碩士研究生，教授，碩士生導師，研究方向：數學教育，主持參與各級各類項目多項。