數學大概念教學中的幾個問題

【摘 要】 數學學科核心素養是一個整體概念，初中學段有七個數學學科核心素養表現和兩個跨學科的素養表現.數學教學應以課程內容為載體，逐步培養學生具有基本的數學素養.數學大概念教學的根本在于突出數學內容的主線，關注數學領域之間以及領域內部知識之間的關聯.大概念教學是培養學生核心素養的必然選擇.

【關鍵詞】 大概念;數學大概念;大概念教學;核心素養

最近幾年，關于核心素養的研究與培養已經發展成為國際教育界的熱點問題.我國于2016年頒布了中國學生核心素養總體框架，并在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）首次提出數學“核心素養”的培養目標.如何落實呢？

《課標（2022年版）》在“教學建議”中指出“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”［1］.實施數學大概念教學勢在必行.

1 認識大概念

1.1 大概念的意義、表現形式

大概念（Big Idea）理論可以追溯到20世紀60年代布魯納提出的教育學和心理學理論.呂立杰［2］教授把各種課程標準中出現的“大概念”分為四種類型：學科核心概念、跨學科概念、思維與技能概念、學科本質概念.劉徽［3］教授認為大概念有三種表現形式：

（1）概念：一些重要的、核心概念是大概念.表現為兩種：第一種是“高位的概念”，它在概念系統中是比較高位的，可以覆蓋許多概念和現象.第二種是“關鍵的概念”，是指對于理解來說非常重要和關鍵的概念.

（2）觀念：觀念表現為一種看法和觀點，反映了概念與概念的關系.

（3）論題：主要出現在人文藝術領域.

觀念形式的大概念最為常見，概念形式的大概念次之，而論題形式的大概念則一般只出現在人文藝術領域，而且是人文藝術中比較高位的大概念.

正確理解大概念是開展單元教學、培養學生核心素養的基礎，理解“大概念”時應注意下面三點：

（1）“大概念”中的“大”不等同于“龐大”，而是因為這個概念具有“核心”地位，所以說“大概念”是“高位”概念或“上位”概念，它具有很強的前移價值.確定某一個數學概念是否為“大概念”時，不能以它包含知識的“多寡”為“標準”，應根據它在數學學科中的價值來確定.

（2）大概念是個相對概念.薛茂芳［4］教授認為，從內涵方面的某些特點出發，數學概念有相對概念和絕對概念之分.相對概念總是同某種關系連結在一起，而關系的另一“端”又總是涉及另一個或幾個概念.顯然大概念是個相對概念.例如，“矩形”和“菱形”對于“正方形”來說是“大概念”，而對于“平行四邊形”則是“小概念”，“平行四邊形”對于“矩形”是大概念，對于“四邊形”則為“小概念”.

（3）大概念不是具體方法，它在數學方法之上.由此可見，

數學教育中的大概念是指在數學中具有重要地位，對其他內容更具統攝力、關聯性的數學概念.一些重要的數學觀念或數學意識也都可以是大概念.從位置上看，數學大概念處于數學學科的“中心”，能集中體現數學課程的核心思想方法；從表述上看，大概念是對眾多知識概念的篩選與整合.數學中的大概念可以是一個概念、一句話、一個觀點.

1.2 大概念的種類

大概念一般分為兩類：一類是學科大概念，另一類是跨學科大概念.前者指向的是學科的基本結構，是基于事實基礎上抽象出來的深層次的、可遷移的核心概念［2］.后者是比學科大概念更加宏觀的大概念，它一方面可以打破原有的學科邊界，促使學科之間的融合；另一方面，它也可能使新建立的概念體系脫離情境事實、脫離常識性認知.

例如，《課標（2022年版）》在初中階段界定核心素養表現中的“抽象能力”“運算能力”“幾何直觀”“空間觀念”“推理能力”“數據觀念”“模型觀念”都屬于數學學科的大概念，而“應用意識”和“創新意識”則是跨學科的大概念.

1.3 大概念的確定

數學中的概念很多，薛茂芳［4］21提出“現行初、高中數學教材約有八百多個數學概念，初、高中各約占其半”，這就是說，初中學段學生需要掌握的數學概念約有400個.“數學知識幾乎都是概念，數學的核心概念幾乎都是大概念”［5］，另外，有些數學中的“觀念”“論點”等也是大概念.

實施大概念教學，應首先準確的找到教材中哪些“概念”或“觀念”可以作為數學中的大概念.對于提取大概念的路徑，學者們研究的較多，其研究結果也不盡相同.例如，劉徽教授總結出八條提取數學大概念的路徑，它們分別是：課程標準、核心素養、專家思維、概念派生、生活價值、知能目標、學習難點、評價標準［3］142-154.在這八條路徑中，前四條是“從上到下”提取的，后四條是“從下到上”提取的.

有些數學大概念可以從多條路徑去提取，如“抽象分析法”或“數學模型法”是一個數學大概念，這個大概念可以從《課標（2022年版）》界定的數學核心素養表現中看出來.“模型觀念”是一個重要的素養，它是在學生建立各種模型（如方程模型、不等式模型、函數模型等）的過程中，逐漸形成和建立起來的，這種方法對于培養學生的應用意識以及創新意識都是至關重要的.因此，數學模型方法是一個大概念.

對于這個大概念也可以從“專家思維”中認定或獲取.歐拉對“七橋問題”的解法在很多書上都有介紹，解決的基本步驟是：把人們步行過橋的問題（圖1）抽象成一個“一筆畫”（圖2）問題.

抽象的過程非常獨特，據數學家徐利治考查［6］，歐拉當時是這樣想的：既然島與半島是橋梁的連接地點，兩岸陸地也是橋梁通往的地點，那么不妨把四處地點抽象成四個點，并把七座橋抽象成七條線，顯然這樣沒改變問題的實質.于是人們企圖一次無重復的走過七條橋的問題即等價于一筆畫出上述圖形（圖2）的問題.這種思考方法就是“抽象分析法”.

歐拉進一步考查了一筆畫的特征，一筆畫有個起點和終點（起點和終點重合時便成為自閉圖形）.除了起點與終點外，一筆畫中出現的交點處曲線總是一進一出，故通過交點處的曲線是偶數條.這樣一筆畫至多只有兩個點（即起點與終點）有可能通過奇數條曲線.觀察圖2發現四個點都通過奇數條曲線.因此，可以斷言它不是一筆能畫出的圖形.

從上面的分析過程看，“抽象分析法”是歐拉解決問題的關鍵，所以這個大概念是從“專家思維”過程中獲取的，從這個分析過程可以看出，“幾何直觀”“轉化”也都是數學大概念.

2 數學大概念的層級

2.1 數學課程內容的層級結構

我們認真研究了《課標（2022年版）》，發現“課程內容”是按照“領域→主題→標題→內容”四個層次呈現的.“領域”“主題”“標題”三個層次是由內容接近的“內容群”組成的，“標題”下才是具體內容.初中學段的“課程內容”分8個主題、22個標題，共有157條具體課程內容，呈現結構如圖3所示.《課標（2022年版）》在表述“課程內容”時，與前版相比不僅僅有“內容要求”，而且增加了“學業要求”和“教學提示”.每個領域的課程內容都是從“內容要求”“學業要求”“教學提示”三個方面呈現的.內容要求主要描述學習的范圍和要求；學業要求主要明確學段結束時學習內容與相關核心素養所要達到的程度；教學提示主要是針對學習內容和達成相關核心素養而提出的教學建議［1］17.

例如，“數與代數”領域的“學業要求”是以“標題”為單位提出的，“教學提示”則是以“主題”為單位提出的；“圖形與幾何”領域的“學業要求”是以“主題”為單位提出的，“教學提示”先提出該領域的“宏觀”要求，然后再以“主題”為單位提出具體要求；“統計與概率”領域的“學業要求”和“教學提示”都是以“主題”為單位提出的；“綜合與實踐”領域的“內容要求”“學業要求”“教學提示”都是以“領域”為單位提出來的.

2.2 數學大概念的層級結構

初中數學教材是“章”為單位進行編寫的，一章又分多節呈現，一節教材的內容可以用1課時或多課時完成.例如，蘇科版初中數學教材對于主題“函數”是分三章設計的，分別是“一次函數”“反比例函數”“二次函數”.“二次函數”一章有5節內容，其中第一節“二次函數”只有1課時，第二節“二次函數的圖象與性質”分為4課時.

數學教學是以課時為“單位”進行的，在每一課中都有一個“大概念”，不妨稱之為“課時大概念”，如果某一節只有1課時，那么這個“課時大概念”也就是這一節的大概念，此種情況下的“節大概念”歸并到“課時大概念”中.例如“二次函數”一章第一節只有1課時，這時的節概念也就是課時大概念，本文把這種只有1課時的節大概念和課時大概念通稱為“課時大概念”.“二次函數”一章共五節，這五節的“課時大概念”之上為“章大概念”，一節課設多課時的“節大概念”并到“章大概念”中，稱為“章節大概念”.“一次函數”“反比例函數”“二次函數”三章上面是主題“函數”的大概念，俗稱“單元大概念”.“數與式”“方程與不等式”“函數”這三個“主題”的“單元大概念”上面就是初中數學學科的大概念.“數與代數”領域的這三個主題的“單元大概念”都是數學學科大概念的下位概念，當然，數學學科的大概念也是《課標（2022年版）》界定的另外5個主題以及“綜合與實踐”對應的“單元大概念”的上位概念.這樣一來，數學學科大概念便是由多個概念組成的概念“集合”.

于是，初中數學大概念從上到下可分為“課程大概念—單元大概念—章（節）大概念—課時大概念”四個層級，這個關系如圖4［7］.

在初中數學中，《課標（2022年版）》提出的“學生核心素養”是義務教育階段的數學課程目標，這個目標主要表現在三個方面“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言描述世界”［1］5.這里的“三會”便是數學課程的一個大概念，這個“大概念”是我們編寫教材、開展數學教學的綱領性“大概念”.

3 數學教學應以大概念為核心展開

為培養學生的數學核心素養，提高學生在未來社會中的競爭能力，數學教學必須實施大概念教學.

3.1 開展大概念教學是把握教材的需要

教材是課程標準的載體，是對課程標準的再創造，是具體化了的課程標準，是對課程標準的詳細闡述.“三會”是數學課程的一個大概念，在此“統攝”下，教材編寫者們首先根據課標的理念、課程目標以及最新的課程研究成果，把課程內容進行系統梳理、整體規劃、設計制定出“宏觀”編寫方案，然后在方案引導進行詳細編寫，之后反復打磨、提升.

數學教材就是以“大概念”為“核心”組織課程內容.對于具體課程內容，是用一些具體欄目，如“觀察發現”“思考交流”“探索活動”等為“主線”進行設計的.

《課標（2022年版）》中的“圖形與幾何”領域分“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題.

《課標（2022年版）》在敘述“圖形的變化”主題的具體內容時，是分圖形的軸對稱、旋轉、平移、相似和投影五個小標題提出了25條課程內容.這個主題的“單元大概念”確定為“圖形的變化”，其它的如“軸對稱”“平移”“旋轉”等“大概念”都隸屬于“圖形的變化”，而“相似”則是“形狀不變，大小正比例”的變化.

教材緊緊圍繞這個“大概念”，把軸對稱圖形（等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓）納入“圖形的變化”單元，也把中心對稱圖形（線段、平行四邊形、正多邊形、圓）納入其中，把運用圖形的軸對稱、旋轉、平移設計圖案歸于旗下.還把圖形的相似、位似、銳角三角函數以及投影也都歸入本單元.可見“圖形的變化”是“圖形與幾何”領域的一個大概念，其本質在于運動變化過程中既有不變的性質，也有不變的量.

3.2 大概念教學是學生形成專家思維的前提

從思維的角度看，在數學教學中，我們應以課程內容為“載體”，把“專家思維”通過教師的思維“作用”到學生身上，形成學生思維，整個過程如圖5所示.

從這個意義上講，數學教師通過自己對教材的研讀、教案的設計、課堂上落實教案等過程中應“協調”好三個思維活動：教材編寫專家的思維活動、學生的思維活動及教師本人的思維活動.教師應通過創設問題情境，激發學生的思考、達到“激活”學生的思維的目的.學生在問題引導下積極思維、肯動腦筋、大膽猜想、通力合作、相互交流，在活動的過程中掌握數學基礎知識、形成基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經驗.形成專家思維是數學教學的“理想”追求.只有開展數學大概念教學，才能真實反映專家思維的“初衷”，使學生的思維方式慢慢的向專家思維靠近.

3.3 大概念教學是進行核心素養教育的需要

“大概念”是將素養落實到具體教學中的錨點［5］31，是落實核心素養教育的抓手.初中階段的“課程內容”約為360課時左右，這些課時要經過三年的數學學習才能完成.這么多課時，教師如果不能從“整體上”把握這些課程內容，而是“孤零零”上每一節課，那么學生學到的知識必然是“零散”的，這樣的知識結構是沒有創造性的.杜威曾經提到過三種水平的教學，“最不好的一種是把每堂課看作一個獨立的整體”［3］46.

孤零零的知識點是不能反映“專家思維”的，這種“把一節課就當一節課教”的教學是根本不可能讓學生用“專家思維”來觀察、思考、表達數學現實世界的，是不能形成學生“三會”的.這種“孤立”的教學是不能很好地培養學生數學核心素養的，也無法落實《課標（2022年版）》的課程理念和課程目標.

大概念教學是以大概念為核心目標的教學，它指向于培養學生解決真實問題的素養［3］46.大概念教學是符合《課標（2022年版）》理念要求的教學方式，開展大概念教學是培養《課標（2022年版）》界定的各種數學核心素養的需要，是實現“三會”核心目標的根本途徑.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：86.

［2］呂立杰.大概念設計的內涵與實施［J］.教育研究，2020（10）：53-61.

［3］劉徽.大概念教學：素養導向的單元整體設計［M］.北京：教育科學出版社，2022：38-39.

［4］薛茂芳.數學概念及其教學：修訂版［M］.北京：光明日報出版社，2013：35.

［5］夏繁軍.大概念視角下的高中數學單元整體教學設計［M］.北京：北京教育出版社，2023：40.

［6］徐利治.數學方法論選講［M］.武漢：華中工學院出版社，1988：11.

［7］呂增鋒.高中數學大概念的內涵及提取［J］.中小學教師培訓，2021（17）：53-55.

作者簡介 孫友權（1979—），男，江蘇揚州人，中學高級教師；江蘇省特級教師后備人才，江蘇省“333高層次人才”培養對象，江蘇省鄉村培育站領銜人，泰州市十佳教師，泰州市學科帶頭人；曾獲江蘇省青年教師優質課一等獎，主持多項省、市級課題;發表論文20余篇.