基于高中數學核心素養的“誤中悟”教學實踐探究

曾瑩

摘 要：數學核心素養涵蓋了數學知識、思維技能和數學應用等多個方面，其中高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。通過“誤中悟”教學方式，高中生需要在解決問題時進行推理和邏輯思考，從中尋找正確的答案，這有助于培養他們的數學思維。筆者基于數學核心素養大框架，以《導數及其應用》單元中的“導數的幾何意義”相關知識點教學為研究對象，從六個不同的維度入手，深入探究“誤中悟”教學法與數學核心素養培育工作的融合路徑，以期提升高中生數學思維能力，以及解決問題的能力。

關鍵詞：數學核心素養；誤中悟；導數

數學教育領域內，提升高中生的數學核心素養一直是一項重要的目標。數學核心素養不僅僅包括掌握數學概念和技能，還包括數學思考、建模、問題解決、溝通和數學實踐等多個維度的能力。為實現這一目標，教育專家以及相關研究學者一直在尋求創新的教學方法，以激發高中生對數學的興趣，培養他們的數學思維和實際運用能力。其中，“誤中悟”教學法已經引起了廣泛的關注，該教學法的獨特性在于它能夠激發高中生的好奇心，提升他們的數學溝通和合作技能，為高中生的數學學習以及未來的數學應用打下堅實的基礎。

一、數學核心素養下“誤中悟”教學方法的優勢

“誤中悟”教學方法在培養數學核心素養方面具有多重優勢，這些優勢不僅有助于高中生更好地理解數學，還提升了他們的數學素養[1]。首先，“誤中悟”教學法鼓勵學生嘗試多種方法來解決問題，包括那些可能看似錯誤的方法。這種實驗性的學習過程培養了學生的數學思維，使他們更具靈活性和創造性，能夠從不同的角度思考問題并找到多種解決方法。其次，通過“誤中悟”教學法，學生在解決問題時需要不斷調整和改進他們的方法。這促使他們培養了解決問題的能力，包括問題分析、策略選擇和持之以恒的決心。最后，“誤中悟”教學法將數學教育與實際問題相結合，使學生深入了解數學在不同領域的實際應用。這有助于培養高中生的數學實踐技能，為未來的職業生涯做好準備。

二、“誤中悟”教學實踐策略

（一）創設問題情境

實際開展高中數學課堂教學過程中，教師基于以下三個步驟，為學生創設一個能夠發散思維，且較為開放的問題情境，激發學生的數學興趣。

1.選定適當的問題情境

數學教師在教學過程中，首要任務之一是選定適當的問題情境，通過這種方式激發學生的學習興趣并培養他們的數學思維。問題情境的選擇需要經過精心策劃，要既富挑戰性，又不至于太復雜，以確保高中生能夠理解和探索。同時，問題情境應該與課程內容相關，以確保學生在解決問題的過程中，能夠應用他們在課堂上學到的數學知識與技能。問題情境也可以直接聯系到現實生活中的問題領域，如金融、科學或社會領域的問題，使學生看到數學在解決實際問題中的應用，激發他們的好奇心以及探索欲望。選定適當的問題情境需要考慮學生的年齡和數學水平，以確保問題的復雜度與學生的能力相匹配。具體實踐中，教師可以根據學生的興趣和能力水平來微調問題情境，以確保每位學生都能在適合他們水平的挑戰性任務中獲得成就感。

2.創設情境

一旦選定了問題情境，教師需要巧妙地創設這個問題情境，以吸引學生的注意力并激發他們的興趣。這可以通過引人入勝的故事、案例研究或視頻來實現。例如，如果問題情境涉及金融領域，教師可以分享一個關于投資策略成功或失敗的真實故事，引發學生對如何有效管理金融資產的思考。教師還可以使用圖表、實際數據來創設問題，使學生直觀地了解問題的背景和復雜性。這種創設問題情境的方法，有助于學生理解問題的重要性和現實意義，激發他們主動嘗試解決問題的動力。在創設問題情境時，教師還可以提出一些開放性的問題或思考導向，以引導學生思考并激發他們對問題的好奇心。通過這種方式營造一個積極的學習氛圍，鼓勵學生積極參與問題的探索和解決。

3.提供初始資源

為高中生提供一些基本的數學資源，如必要的公式、數據、圖表等，以幫助他們入門。這些資源能引領學生開始思考問題，但不提供完整的解決方案，讓學生通過獨立的思考與探索，掌握數學知識。

例如，在學習《導數及其應用》單元中的“導數的幾何意義”相關知識時，筆者通過提出問題的方式，創設教學情境：

問題1：同學們，請你們回憶一下在初中階段，有沒有接觸過“切線”這一概念？

問題2：當一條直線與圓相切，則它們只有一個交點。那么，現在請同學們再思考一個問題“當一條直線與曲線相切的時候，是不是也只有一個切點呢？”

教師通過提問的方式，引導學生回顧初中所學的知識點，通過這種方式點明“切線只有一個切點”這種思維定勢。為打破這一思維定勢，教師可以設計一道較為簡單的因式分解題例題：過原點O（0，0）作曲線f（x）=x3-4x2+4x的切線，求切線方程。

（二）鼓勵學生質疑

質疑是激發學生思考的關鍵，實際教學活動中，教師提出的一系列有針對性的問題，能夠幫助學生探索問題的不同方面。這些問題包括：

“你認為如何解決這個問題？”

“有沒有其他方法可以解決它？”

“你能解釋為什么這個答案是正確的嗎？”

“這個問題如何與我們之前學過的數學概念相關聯？”

“這個問題是否有實際應用？”

在提出疑問的同時，教師也要鼓勵學生進行獨立思考，并在思考的過程中提出他們自己的質疑[2]。確保學生知道他們的思考是有益的，無論是正確還是錯誤的思路，都能夠提升自身的數學綜合素養，這有助于培養學生的自信心以及探究精神。

例如，根據給出的因式分解例題，筆者帶領學生進行質疑。

問題3：同學們，請你們說出原點O（0，0）與曲線f（x）=x3-4x2+4x的位置關系，并思考你們是如何判斷原點與曲線位置關系的？

學生帶著問題，重新審視教師給出的例題，發現將橫坐標x=0代入曲線，觀察到原點O（0，0）在曲線上。在定勢思維的影響下，一些高中生會認為切點即原點。

當高中生說出這一觀點之后，筆者再拋出第四個問題。

問題4：這道題中，切線一共有多少條？

隨著該問題的提出，一些學生會立刻意識到自己陷入了思維定勢，重新審視題目，發現自己的錯誤“由于切點剛好處于曲線上，所以就自然而然地認為切線只有一條。”經過反復思考，學生會發現切線不止一條。通過質疑審問，學生的思維得到了發散，頭腦中的定勢思維被打破。

（三）勇于試誤

錯誤是正確的先導，是試金石。在試誤階段，教師激勵學生主動踏入數學問題的探險之旅。該過程是一個富有創造性和啟發性的階段，學生將自己置于問題的核心，以發現解決之道。學生可以運用個別探究或小組合作的方式，嘗試解決數學問題。解題過程中的錯誤不僅不被視為失敗，反而成為一種寶貴的經驗，引領學生走向正確的方向。

在此過程中，學生積極調整解題策略，通過反復試錯來逐漸明了問題的特殊規律。他們將發現數學并非一成不變的公式，而是一個活躍的領域，充滿了發現和創新的機會。這個階段鼓勵學生相互合作，不僅鼓勵了彼此之間的信息交流，還培養了團隊合作和溝通能力。通過共同探討問題，學生相互學習，并逐漸形成更廣泛的思考方式。

例如，在完成質疑環節之后，筆者利用作圖軟件，以動畫演示的方式，讓學生直觀地感受數學中“在”與“過”之間的差別。筆者先提出問題，然后使用GeoGebra軟件進行演示。

問題5：同學們，在該問題中，曲線f（x）=x3-4x2+4x的究竟有幾條切線呢，現在讓我們利用軟件來觀察一下。

啟動軟件之后，筆者輸入曲線f（x）=x3-4x2+4x的，以原點O（0，0）作為切點，作出切線。此時，學生通過觀察，發現此條切線與曲線f（x）=x3-4x2+4x還存在另一個交點。由此可以證明，曲線與直線相切時，交點并不是唯一的，這一結論是對初中階段“切線”概念的補充與延伸，令高中生意識到“曲線”與“圓”的本質區別。

在此基礎上，數學教師還可以讓高中生獨立操作軟件，移動過原點O（0，0）的直線BO，發現當直線BO經過點C后，直線與曲線相切，此時的切點不再是原點O（0，0）。在教師的引導下，高中生們將該點標記為（2，0）。

（四）啟迪參悟

“誤中悟”教學法將錯誤視作學習的重要組成部分，這意味著教師要打破傳統的錯誤批判觀念，不對學生的錯誤進行過度批評或糾正，而是鼓勵他們深刻地反思錯誤的原因，并勇敢地嘗試新的解決方法。通過這個過程，學生能夠逐漸領悟到數學問題中隱藏的規律和內在邏輯。實際教學過程中，教師要鼓勵高中生相互合作，共同探討問題，分享他們的思考過程、面臨的挑戰以及發現的規律[3]。這不僅有助于建立積極的學習社區，還激發了學生之間相互交流和學習的熱情。此外，教師在這一過程中可以擔任引導者的角色，鼓勵學生提出更深入的問題，進一步提高他們的思維深度。

在此基礎上，教師引導學生進行“啟迪參悟”，這是“誤中悟”教學法的核心環節，當學生通過反復嘗試并積累了足夠的錯誤經驗后，他們逐漸能夠明確識別出問題中的規律，參透關鍵要點。這標志著學生對數學問題形成了更為深刻的理解。在這一階段，教師的作用不是提供答案，而是引導學生思考和總結，幫助他們發現問題的本質和規律。通過提出更深入的問題，激發學生進一步思考，或者鼓勵其與其他同學分享他們的參悟經驗來實現。

通過允許錯誤，鼓勵合作與分享，以及引導“啟迪參悟”，幫助學生建立深刻的數學理解，培養他們的批判性思維和解決問題的能力。這不僅提高了數學的吸引力，也培養了學生的獨立思考和團隊合作技能，為他們未來學業和職業的成功奠定了堅實的基礎。

例如，學生通過實際操作，發現能夠滿足題目的切線有兩條。此時，筆者繼續提出問題。

問題6：如果切點無法確定，我們將如何構建切線方程？

該問題的提出，標志著正式進入頓悟環節，筆者通過板書的形式，對原函數逐步求導，并最終得到切線方程。

（五）溫悟遷移

在“誤中悟”教學法的溫悟遷移階段，教師扮演著引導者的角色，提供一系列的數學問題，激發學生自發地探索解決方法。在這個過程中，犯錯是難免的，但教師的職責在于鼓勵他們從錯誤中反思，深入理解問題的實質，逐步掌握數學原理。

一旦學生在溫悟階段掌握了基本數學原理，接下來就要開始進行變式訓練，通過這種方式拓展數學知識的應用環境，并加深學生對于該知識點的理解。在這一階段，教師會提供更為復雜的問題和變式，鼓勵學生運用已學的原理，尋找新的解決途徑[4]。雖然在這個過程中，學生可能會遭遇更多的錯誤，但這是正常的成長過程。通過不斷地犯錯，他們能夠調整和完善自己的思考方式，同時也更深刻地理解數學原理在各個應用領域的實際價值。

而在鞏固提升階段，學生已經積累了豐富的數學經驗和深刻的理解。這個階段，教師的任務是引導學生進一步挖掘數學的深層次理解。通過鼓勵學生提出更加深入的問題、進行課堂討論、展示數學原理在多個應用領域的實際運用，甚至與同學分享自己的頓悟經驗，鞏固他們對數學知識的掌握，并激發他們在數學領域不斷進取的動力。通過一系列的階段性教學，學生將會在“誤中悟”的教學法下，培養出更為扎實的數學基礎和更高層次的數學思維能力。

例如，學生通過上面的學習，已經求出的切線方程。此時，筆者選擇更進一步，對原題進行變化，針對該知識點進行鞏固提升。

問題7：同學們，現在我們改變這個例題，求曲線方程f（x）=x3-4x2+4x在原點O（0，0）處的切線方程。

該變式對于原題的改變較小，難度較低，可以讓絕大部分高中生獨立完成，通過該變式，讓高中生在解題過程中體會“過某點”與“在某點處”之間的區別。

（六）反思悟道

教師與學生一起回顧他們在探索過程中遇到的問題、錯誤和突破，鼓勵他們分享自己的觀點和解決策略。這將有助于學生相互學習，并從彼此的經驗中獲得啟發，同時也加深了對問題的理解。拓展探究的目的是進一步拓寬學生的數學視野，培養他們的自主學習和探究能力[5]。在這個階段，教師可以通過提供挑戰性項目，鼓勵學生獨立探索或者進行合作探究，跨學科地展示數學在實際生活中的應用。

結束語

“誤中悟”教學法，作為一項指向核心素養的教學實踐研究，為數學教育帶來了深遠的影響。“誤中悟”教學法的成功實踐，證明了數學教育可以更具深度和廣度。它鼓勵學生超越傳統的記憶和應試教育，真正理解數學的核心概念，培養了高中生解決問題的能力，并為未來的學術和職業發展奠定了堅實的數學基礎。這一研究對塑造具備數學核心素養的學生、培養未來數學領域的領袖具有重要意義。期待著更多的教師和學生在這一教學法的指導下，共同探索數學的奧秘，推動數學教育的進一步創新。

參考文獻

[1]程仕然.基于學科素養的高中數學概念教學實踐研究[J].數學通報，2023，62（8）：11-15.

[2]陳重陽.高中數學教學境界躍升的“三步曲”[J].數學通報，2023，62（7）：48-50，54.

[3]牛含冰.數字化時代高中數學課程改革與創新研究[J].工業建筑，2023，53（7）：271.

[4]朱偉衛，徐迪斐，徐衛文等.高中DIMA數學實驗教學的理論與實踐探索[J].上海教育科研，2023（7）：75-81.

[5]李晶娟.高中數學教學情境設計的途徑[J].中國教育學刊，2023（5）：104.