數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

修仰尚

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)學(xué)問題與幾何圖形相結(jié)合是一種提高學(xué)生直觀理解和解題能力的有效方法.文章梳理了數(shù)形結(jié)合在解決幾何問題中的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為圖形模型，使學(xué)生更直觀、更深入地理解數(shù)學(xué)問題;還探討了方程與不等式在圖形化中的應(yīng)用，展示了如何通過圖形直觀地理解和求解代數(shù)問題；最后，文章進(jìn)一步分析了函數(shù)特性的圖形解析及數(shù)形結(jié)合策略在解決實(shí)際應(yīng)用問題中的運(yùn)用，特別是在處理涉及距離與時(shí)間問題時(shí)的策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學(xué)；解題策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0002-03

數(shù)形結(jié)合是一種高效的解題方法，其側(cè)重于利用圖形的直觀性來輔助數(shù)學(xué)概念的理解和問題的解決[1].文章旨在深入探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，揭示如何運(yùn)用這一策略有效增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，并促進(jìn)學(xué)生解題技能的提升[2].數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種提高數(shù)學(xué)可接近性的教學(xué)工具，更是一種培養(yǎng)學(xué)生空間感知和邏輯推理能力的思維模式，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度和廣度有著積極影響.

1 幾何與圖形結(jié)合的應(yīng)用

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=35 cm，邊長(zhǎng)12 cm的正方形CDEF內(nèi)接于△ABC.求△ABC的周長(zhǎng).

具體解題過程如下：

（1）設(shè)置變量：設(shè)BC=a，AC=b，根據(jù)勾股定理可以得到方程a2+b2=352.

（2）利用幾何性質(zhì)：由于正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，根據(jù)幾何性質(zhì)可知，Rt△AFE與Rt△ACB相似.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有FE：CB = AF：AC，從而可得方程12b=a（b-12）.

（3）方程求解：結(jié)合這兩個(gè)方程，可以得到12（a+b）=ab.通過變形可得到（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b）.這里將a+b看作一個(gè)整體，得到一個(gè)一元二次方程.

（4）計(jì)算結(jié)果：解方程，得到a+b=49（另一解a+b=-25，不符合題意，故舍去）.因此，△ABC的周長(zhǎng)為 a+b+35=49+35=84（cm）.

這個(gè)例題涵蓋了勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其解題過程展示了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，即首先通過圖形的特征建立幾何關(guān)系，然后將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程進(jìn)行求解.這種方法不僅提高了解題的效率，而且增強(qiáng)了對(duì)幾何概念和代數(shù)技能的綜合理解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用.

2 方程與不等式的圖形可視化技巧

例2已知關(guān)于x的不等式組-x≥a，

x-1≥-b的解集在數(shù)軸上表示如圖2，則ba的值為（）

A．-16 B．116 C．-8D．18

具體解題過程如下：首先確定不等式-x≥a對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的區(qū)域.這表示x的值必須小于或者等于-a.接下來，分析不等式x-1≥-b，這表明x的值可以等于b+1，但不可以大于這個(gè)值.聯(lián)合這兩個(gè)不等式，解集在數(shù)軸上表示為-a到b+1的閉區(qū)間.題目要求求解-x與x-1的乘積.結(jié)合兩個(gè)不等式，這個(gè)乘積的最大值在x取最小值－a和x取最大值b+1時(shí)出現(xiàn)，即-（-a）×（b+1-1）.根據(jù)題目在數(shù)軸上的標(biāo)記， a和b的數(shù)值可以直接讀出為a=-2和b= 4.將a和b的值代入上述代數(shù)式中，得到2×4=8.最終得出的乘積為 8，故選B .

數(shù)軸的可視化在此過程中起到了關(guān)鍵作用，可以直觀地識(shí)別和解決問題.通過數(shù)形結(jié)合，不僅簡(jiǎn)化了問題的理解，而且提高了求解效率.

3 運(yùn)用圖形解析函數(shù)特性

例3給定兩個(gè)正比例函數(shù)的圖象，點(diǎn)A（2，0）位于x軸上.過點(diǎn)A作x軸的垂線，與這兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C.請(qǐng)計(jì)算△OBC的面積.

具體解題過程如下：根據(jù)已知條件，過點(diǎn)A（2，0）作x軸的垂線，交兩個(gè)正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B和點(diǎn)C.由此可以根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)確定點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo).對(duì)于第一個(gè)函數(shù)y=x，將x=2代入得到B（2，2）.對(duì)于第二個(gè)函數(shù)y=3x，將x=2代入得到C（2，6）.由于點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，所以線段BC的長(zhǎng)等于這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，即BC=6-2=4.根據(jù)三角形的面積公式易知△OBC的面積為S△OBC=12×BC×OA=12×4×2=4.

數(shù)形結(jié)合的方法加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，使學(xué)生能夠通過觀察和分析圖形來解決數(shù)學(xué)問題.這種方法不僅加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)在坐標(biāo)平面上表示方法的理解，而且為學(xué)生解決問題提供了一種強(qiáng)有力的視覺工具.

4 實(shí)際應(yīng)用問題中的數(shù)形結(jié)合策略

例4考慮一個(gè)反映銷售數(shù)量（用x表示，單位為件）與銷售費(fèi)用（用y表示，單位為元）之間關(guān)系的銷售情景，如圖4所示，它描述了某家企業(yè)按月向其銷售團(tuán)隊(duì)支付銷售費(fèi)用的兩個(gè)不同計(jì)劃.

（1）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出兩個(gè)支付計(jì)劃下的銷售費(fèi)用y1和y2與銷售數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）從圖4中解讀這兩個(gè)支付計(jì)劃，概述每一種方案的推銷費(fèi)支付機(jī)制.

（3）假設(shè)你是該銷售團(tuán)隊(duì)的一員，基于這些信息，考慮你應(yīng)如何選擇最適合你的薪酬計(jì)劃.

具體解題過程如下：

（1）觀察圖表，直觀看出y1與y2都隨著x的增加而增加，但增長(zhǎng)的速率和起始點(diǎn)不同.直線y1從原點(diǎn)開始，表明無基本工資，完全依賴銷售量；而直線y2從 y軸的300開始，表示有固定工資，再加上銷量提成.

（2）分析這兩條直線，可以得出它們的函數(shù)解析式y(tǒng)1=20x表示無底薪，是純提成方案.y2=10x+300表示有底薪加上提成.

（3）針對(duì)不同的銷售能力，推銷員可以選擇最優(yōu)方案：銷量高于30件時(shí)，選擇方案y1較為有利；銷量不足30件時(shí)，選擇y2方案更為保險(xiǎn).

通過數(shù)形結(jié)合的策略，學(xué)生可以從圖形中直觀地理解和建立推銷費(fèi)與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而做出基于數(shù)學(xué)分析的決策.此方法不僅使問題的解決更加直觀有效，而且?guī)椭鷮W(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)工具在現(xiàn)實(shí)世界經(jīng)濟(jì)決策中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

5 數(shù)形結(jié)合解決“距離與相遇”問題

例5一輛動(dòng)車和一輛普通火車分別從西安和西寧同時(shí)出發(fā)，朝對(duì)方所在的城市前進(jìn).這里將普通火車運(yùn)行的時(shí)長(zhǎng)記為x h，兩列火車之間的距離記為y km.圖5描繪了y隨x變化的關(guān)系.

依據(jù)圖5，解答下列問題：

（1）計(jì)算西安與西寧之間的實(shí)際距離及兩列火車啟程后多長(zhǎng)時(shí)間相遇；確定普通火車到達(dá)目的地所需的整體時(shí)間，并推算其速度（以km/h為單位）.

（2）基于圖表信息，推導(dǎo)出動(dòng)車組的平均速率.

（3）在普通火車行駛t h之后，動(dòng)車組正好抵達(dá)西寧.估算在這個(gè)時(shí)刻，普通火車還需行進(jìn)多少千米才能抵達(dá)西安？

具體解答過程如下：（1）根據(jù)圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=1 000.由此可以得知西安與西寧之間的距離是1 000 km.同時(shí)，當(dāng)x=3時(shí)，y =0，這表示兩列火車在3 h后相遇.普通火車到達(dá)終點(diǎn)所需的整體時(shí)間為x =12 h，所以它的速度v=路程? 時(shí)間 =1 00012=2503（km/h）.

（2）假設(shè)動(dòng)車的速度為v動(dòng) km/h.因?yàn)閮闪谢疖囋? h后相遇，所以3v動(dòng)+3×2503=1 000，即3v動(dòng)+250=1 000，解得v動(dòng) =250 km/h.

（3）首先，需要確定普通列車在t h后已經(jīng)行駛的距離.普通列車的速度v是2503 km/h，所以在t h內(nèi)，普通列車行駛的距離d普通=v×t=2503t.如果動(dòng)車組在t h后抵達(dá)西寧，而普通列車還需行駛2 0003 km到達(dá)西安，則普通列車在t h后的位置加上2 0003 km應(yīng)該等于西安與西寧之間的總距離.設(shè)總距離為y總，就有d普通 +2 0003=y總.因?yàn)閺奈靼驳轿鲗幍目偩嚯xy總是1 000 km，可以代入d普通 的表達(dá)式，得到2503t+2 0003=1 000，解得t=4.所以，普通列車在 4 h后的位置距離西安還有2 0003 km.

數(shù)形結(jié)合策略在解決“距離與相遇”問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生通過圖形化的數(shù)據(jù)理解和解決實(shí)際問題，這種方法提高了解題的準(zhǔn)確性和效率.

6 結(jié)束語

文章探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用路徑，從幾何圖形的理解到方程與不等式的圖形化，再到函數(shù)特性的直觀分析，最后討論了數(shù)形結(jié)合在實(shí)際應(yīng)用問題中的應(yīng)用價(jià)值.這一教學(xué)方法不僅提高了學(xué)生的解題效率，而且深化了他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.展望未來，數(shù)形結(jié)合的策略應(yīng)當(dāng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到更廣泛的應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳小峰.初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用探討[J].教學(xué)方法創(chuàng)新與實(shí)踐，2023，6（11）：56-58.

[2] 張保萍.關(guān)于數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效融合的研究[J].學(xué)周刊，2021（29）：47-48.

［責(zé)任編輯：李璟］