緊扣解析幾何本質 適應新高考新變化

作者簡介：胡凱林，1983年生，江西上饒人，研究生，碩士，高級教師，主要研究方向為中學數學教育教學。

摘 要：解析幾何是高中數學重要的教學內容之一，在高考中占據較大分值，是考生必爭之地。近四年多省聯(lián)考和高考新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷中解析幾何試題有較多創(chuàng)新變化之處，尤其是2024年九省聯(lián)考試題、分值和命題方向都有較大調整。課題組對近四年多省聯(lián)考與高考解析幾何試題進行分析，提出落實立德樹人根本任務、以系統(tǒng)復習為抓手建立知識體系、探尋試題課本根源拓展綜合能力，加強教學研究緊跟聯(lián)考導向等復習建議。

關鍵詞：解析幾何；多省聯(lián)考；試題分析；新高考

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）08-0063-05

為適應新高考的變化，引導教學，教育部考試中心廣泛調研，分別于2021年1月組織了八省聯(lián)考、2023年1月組織了四省聯(lián)考和2024年1月組織了九省聯(lián)考。廣西是2021年進入新課程新高考改革的省份，2024年第一屆新高考即將落地，因此廣西招生考試院把2024年1月的九省聯(lián)考舉辦成高考適應性演練，要求“全真、全員、全要素、全流程”實戰(zhàn)演練，確保新高考改革平穩(wěn)落地，幫助考生提前適應并熟悉新高考的程序和環(huán)節(jié)，幫助各級招生考試機構、考點和學校檢驗新高考各項工作流程。

近四年的多省聯(lián)考由教育部組織命制語文、數學、外語三科試題，其他科目試題則由各省市組織命題。各學科聯(lián)考試題以新課程理念為指導思想，重點考查學科核心素養(yǎng)，檢驗各省市教育教學的效果，目的在于指導教育教學的改革方向，也將為命制高考試題提供數據支撐。特別是2024年1月九省聯(lián)考數學學科的試題結構有較大調整，引發(fā)廣大師生的強烈關注，對2024年高考試題結構是否也會有相應調整的討論不絕于耳。基于此，本研究以近四年三次聯(lián)考及相應年份新課標卷數學學科（含Ⅰ卷和Ⅱ卷）解析幾何試題為分析對象，對聯(lián)考后的高考備考提出建議。

一、試題整體分析

解析幾何是高中數學重要的知識內容之一，筆者通過對近四年三套多省聯(lián)考與相應年份高考新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷試題中以解析幾何為主要考查對象的試題進行梳理和統(tǒng)計（統(tǒng)計結果如下頁表1所示），得出以下基本結論。

（一）落實人才選拔，突出核心素養(yǎng)

縱觀近四年聯(lián)考試題與高考全國卷題解析幾何部分，全面落實了《中國高考評價體系》對“一核四層四翼”基本要求［1］。“一核”即試題的核心功能，是為什么考，即“立德樹人、服務選材、引導教學”，解析幾何難度合理，涵蓋易、中、難不同類型題目，具有選拔區(qū)分人才的價值。“四層”即命題范圍，是考什么，即“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”，解析幾何對數學思維的要求較高，能充分體現(xiàn)學科素養(yǎng)與關鍵能力，尤其體現(xiàn)數學直觀、數學運算、數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養(yǎng)，是數學的重點知識，需要重點考查。“四翼”即命題方式，是怎么考，即“基本性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”，對解析幾何的考查往往會涉及平面幾何、向量、解三角形等內容，綜合性與應用性較強，在試題情境、設問方式上較為新穎和有創(chuàng)新性。

（二）覆蓋完整內容，結構趨于穩(wěn)定

近四年三次多省聯(lián)考與相應年份四套高考全國卷試題中，除2023年四省聯(lián)考略少外，其他年份解析幾何基本穩(wěn)定在4個題目，即3小1大共27分，占全卷分值比例18.00%，分值占比較高，是重點考查內容。即使是在2024年九省聯(lián)考試題結構有較大變化的情況下，分值依舊是27分，占比不變。試題類型覆蓋完整，有選擇題、填空題、解答題等多種題型，一般是選擇題2個，填空題和解答題各1個。兩個選擇題不同年份會靈活處理，或是兩個單選題，或是一個單選題一個多選題，往往一題較易，考查基礎性內容，一題適中，考查關鍵能力和學科核心素養(yǎng)，兼具選拔區(qū)分功能。曲線模型和情境覆蓋完整，每套試題全面考查直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等五種曲線，是重點考查內容。試題難度覆蓋全面，易中難兼具，往往解答題較難，思維量和計算量較大，是全卷的壓軸題。

（三）關注基本概念，注重必備知識

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》），在平面解析幾何教學中，應關注基本概念的形成，知識的來源及產生過程需要“通過實例了解幾何圖形的背景”［2］，深刻理解概念和內涵。熟悉解析幾何基本概念與必備知識的聯(lián)系，能“結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題”，并能建立坐標系，運用解析的方法分析平面曲線問題并解決問題。綜合表1所示，近四年多省聯(lián)考與高考全國卷試題中主要圍繞基本概念與必備知識進行考查，具體體現(xiàn)在以下八個方面：①直線與圓相切、相交、相離等位置關系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程；③橢圓和雙曲線焦點三角形為背景的問題，④橢圓和雙曲線的離心率等幾何性質；⑤拋物線的準線等幾何性質；⑥直線過定點；⑦點在定直線；⑧距離、弦長或面積最值。

（四）貫穿思想方法，強調關鍵能力

在全面考查必備知識和基本概念的同時，還加強了對思想方法的考查。解析幾何涉及的思想方法較多，尤其強調數形結合思想、函數與方程思想。數形結合就是幾何問題代數化，代數問題中找?guī)缀文Ｐ停ㄟ^數與形的結合，簡化解題過程，促進思維發(fā)展。解析幾何本質上是平面幾何問題，通過建立坐標系，平面上的點與方程的解對應，利用解析的方法解決平面幾何的問題。坐標系就是數形結合的紐帶，解析幾何可以說是數形結合的典范。幾何問題代數化后，就轉化成了函數與方程的求解問題，因此解析幾何從始至終貫穿數學思想方法。

關鍵能力是學生在面對新問題新情境時提出問題、分析問題和解決問題的能力，是學科素養(yǎng)的外在體現(xiàn)。根據《課程標準》核心素養(yǎng)的要求，高中數學重點考查的關鍵能力有邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創(chuàng)新能力。分析以上試題，對邏輯思維能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第14題、第21題，2021年新課標Ⅰ卷第11題、第21題，2021年新課標Ⅱ卷第11題、第20題，2023年四省聯(lián)考第14題、第21題，2023年新課標Ⅰ卷第6題、第16題、第22題，2023年新課標Ⅱ卷第10題、第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題；對運算求解能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第21題，2021年新課標Ⅰ卷第11題、第21題，2021年新課標Ⅱ卷第11題、第20題，2023年四省聯(lián)考第21題，2023年新課標Ⅰ卷第16題、第22題，2023年新課標Ⅱ卷第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題；對創(chuàng)新能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第14題、第21題，2021年新課標Ⅰ卷第21題，2021年新課標Ⅱ卷第20題，2023年四省聯(lián)考第21題，2023年新課標Ⅰ卷第16題、第22題，2023年新課標Ⅱ卷第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題。

二、命題導向與試題分析

（一）開放、雙空、不良結構等創(chuàng)新試題

為選拔出真正的創(chuàng)新型人才，高考試題也進行了創(chuàng)新，重點考查學生的能力素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。高考試題的創(chuàng)新首先體現(xiàn)在呈現(xiàn)方式上。從2019年開始，不良結構、雙空、開放性問題、多選題等多種新穎的試題形式讓大家眼前一亮，但也讓不少考生措手不及。命制這類試題是為了反刷題和反套路，引導教師和學生備考時減少無效機械記憶，關注概念的本質和知識形成的過程，提升關鍵能力和數學學科核心素養(yǎng)。

例1 （2021年八省聯(lián)考第14題）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為? ? ，? ? .

例2 （2023年新課標Ⅱ卷第15題）已知直線[l：x-my+1=0]與[⊙C：（x-1） 2+y2=4]交于A，B兩點，寫出滿足“[△ABC]面積為[85]”的m的一個值? ．

評析：例1有多處創(chuàng)新。首先，試題呈現(xiàn)形式新穎，采用了雙空模式。其次，沒有明確給出坐標系，沒有給出圖形，對考生的能力要求很高，考生需要做到心中有圖，心中有數。最后，解法新穎創(chuàng)新，可以采用直線的方向向量求解，也可以采用直線的夾角公式求解，還可以聯(lián)立對角線所在直線方程與正方形外接圓的方程，求出正方形四個頂點的坐標。夾角公式雖然不在《課程標準》中，但關注基本知識和基本概念的學生很容易利用正切兩角和差公式推導得到。

例2是答案不唯一的開放題，并且解題方法靈活創(chuàng)新，有多種求解方法。方法一，以三角形ABC的面積是定值，可以以AB為底，分別求出AB的弦長和點C到直線AB的距離，進一步得到和面積有關的方程，求出m的值。方法二，用兩邊夾一角的三角形面積公式，利用面積求出圓心角，再得到點C到直線AB的距離，進一步得到m的值。方法三，通過觀察發(fā)現(xiàn)，直線過定點（-1，0），并且定點在圓上，設為A，以AC為底，結合三角形面積為定值，很容易求出點B的縱坐標，進而得到直線的斜率。

（二）從基本概念基本圖形中提升綜合能力

《課程標準》明確指出，在平面解析幾何學習中，應“借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路”［2］。橢圓與雙曲線的焦點是最基本的元素，在橢圓和雙曲線上取一點與兩焦點形成的三角形可以稱為焦點三角形，焦點三角形是橢圓和雙曲線中最基本最重要的圖形，緊密結合了橢圓和雙曲的定義，揭示了概念的本質，是日常學習中重點研究對象。教師和學生需要對焦點三角形一類問題歸類總結，提升綜合能力。

例3 （2024九省聯(lián)考第8題）設雙曲線[C：][x2a2]-[y2b2=1]（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，[F1B=F1A]，[F2A?F2B=4a2]，則C的離心率為（? ）

A.[2]? ?B.2? ?C.[5]? ?D.[7]

例4 （2021年新課標Ⅰ卷第5題）已知[F1]，[F2]是橢圓[C：][x29]+[y24=1]的兩個焦點，點M在C上，則[MF1 · MF2]的最大值為（? ）

A.13 ? ? B.12? ? C.9? ? D.6

例5 （2021年八省聯(lián)考第4題）橢圓[x2m2+1]+[y2m2=1]（m＞0）的焦點為[F1]，[F2]，若[∠F1AF2=π3]，則m=（? ）

A.1 ? ?B.[2] C.[3]? ?D.2

評析：例3至例5這三個試題類型相似，以橢圓或雙曲線的焦點三角形為背景載體，考查橢圓或雙曲線的基本概念和性質以及邏輯思維能力、運算求解能力和數形結合思想，強調對知識的綜合理解和靈活應用。焦點三角形與曲線的定義、正余弦定理、向量等平面幾何知識緊密聯(lián)系，可以延伸考查角的變化、面積的變化、離心率等問題。

除了焦點三角形是基本圖形，焦點弦、焦點弦三角形、中點弦、頂點三角形等常見圖形也需要歸納整理通性通法，減少盲目刷題。

（三）“多想少算”考查理性思維和核心素養(yǎng)

例6 （2024年九省聯(lián)考第18題）已知拋物線[C ： y2=4x]的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點．

（1）證明：直線MN過定點；

（2）設G為直線AE與直線BD的交點，求[△GMN]面積的最小值．

例7 （2023年新課標Ⅰ卷第22題）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點[0，12]的距離，記動點P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于[33]．

評析：例6和例7都是以拋物線為情境模型，考查拋物線與直線的位置關系、直線過定點、三角形的面積、弦長問題等。試題靈活性、綜合性強，突出創(chuàng)新思維，直接求解計算量大，在有限的時間難以得到正確結果，能夠有效地選拔出創(chuàng)新人才。

例6共17分，分值高，不同于其他年份解析幾何解答題。2024年九省聯(lián)考整套試題結構調整力度大，減少了題量，增加了思考時間，讓學生的能力得到充分展現(xiàn)。第（1）小問思路較常規(guī)，但計算量不小，難度相當于歷年高考試題的第（2）小問。學生設直線AB的方程，利用韋達定理得到中點M的坐標，同理得到N的坐標，再得到MN的直線方程，進一步得到直線過定點（3，0）。學生也可以根據對稱性確定定點在x軸上，從而減少計算量。“多想少算”的理念在第（2）小問中體現(xiàn)得淋漓盡致，如果不加思索直接求解點G的坐標，再得到三角形GMN的面積，計算量非常大。但考生如果能在緊張的考試中緩一緩、想一想，跳出思維框架，利用平面幾何的知識，將三角形GMN的面積轉化為四邊形ADMN的面積，問題迎刃而解。

例7第（1）小問得到的方程不是標準拋物線，在解決第（2）小問時，直接求兩相鄰弦長，計算量也較大，若考生能等一等、想一想，將拋物線平移，轉化為基本圖形，則會簡單很多。

“多想少算”是考查拔尖創(chuàng)新能力的重要理念，教師要指導學生學會適當聯(lián)想類比、數形結合，跳出思維定式，從而求解問題。

三、復習備考建議

（一）落實立德樹人根本任務

《中國高考評價體系說明》明確提出立德樹人是高考的根本任務［3］，高考評價要堅持價值引領，強化育人功能和積極導向作用。立德樹人根本任務需要教師在課程和活動中落地，主陣地還是課堂。數學教師要強化德育意識，全面育人，“德智體美勞”五育并舉，不唯智，不唯分。數學教人追求真理，不畏困難，勇于探索，敢于質疑。數學中有大量中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，可以增強學生愛國熱情和民族自信；數學中包含大量美的東西，如圖形對稱美、公式簡潔美、表述簡約美、思維靈巧美；數學知識中有很多哲學道理，如對立統(tǒng)一、有限包含無限等。因此，教師在日常教學中要注意言談舉止，注重言傳身教，堅持人才培養(yǎng)和人才選拔的國家戰(zhàn)略。

（二）以系統(tǒng)復習為抓手建立知識體系

解析幾何的學習過程就是在坐標系下重新學習認識直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，并利用函數與方程研究幾何性質，總體來說就是研究軌跡方程及其性質的過程。在高三備考復習教學中，教師要重視系統(tǒng)復習，要求學生歸納類比，完成知識遷移，完善知識網絡體系。例如，“一個動點到一個定點的距離為定值”，遷移至“一個動點到兩個定點的距離之和為定值”，再延伸至“一個動點到兩個定點的距離之差為定值”的軌跡。垂徑定理是圓的重要性質，教師要引導學生對比聯(lián)想橢圓和雙曲線是否具有類似的性質。通過系統(tǒng)類比，學生既能整體認識各種曲線的關系，建立知識體系，又能獲得通性通法，減少機械刷題，關注本質，淡化技巧。

（三）探尋試題課本根源拓展綜合能力

教師在復習備考中，常常將課本置于一邊而不顧，實際上教材例題、習題、課后閱讀材料也是復習的重要資料。

例8（2023年新課標Ⅱ卷第10題）設O為坐標原點，直線y=[-3（x-1）]過拋物線[C：y2=2px]（p＞0）的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．

A.p=2? ? ? ?B.[MN=83 ]

C.以MN為直徑的圓與l相切

D.[△OMN]為等腰三角形

A選項直接考查課本中關于拋物線的定義，B選項由人教A版選擇性必修二第135頁例4改編，C選項由人教A版選擇性必修二第136頁例5改編。

對課本典型問題進行改編的方法有：研究的對象特殊化或一般化；改編為否命題或逆命題；將研究對象從平面類比到空間；變換思考的角度或方法，改變表述方式等。通過改編能深化學生對數學本質的理解，提升學生的綜合能力，因此教師在命制試題或設置作業(yè)時也可以適當地改編教材中的題目。

（四）加強教學研究緊跟聯(lián)考導向

多省聯(lián)考是高考的導向、摸底和預測，對教師更新教學觀念具有重要的作用。2021年八省聯(lián)考與2021年新課標Ⅰ卷多題結構一致，甚至考查的知識點也相同，單選題都是考查焦點三角形，解答題都以雙曲線為背景考查解析幾何。歷年高考解析幾何解答題多以橢圓或拋物線為背景，即使2021年八省聯(lián)考考查雙曲線，較多教師仍認為應以橢圓和拋物線為高考備考方向。

2024年九省聯(lián)考又一次釋放出改革創(chuàng)新的重大信號，是高考內容改革的風向標，發(fā)揮著育人功能和正向積極的導向作用。試卷踐行《中國高考評價體系》提出的命題理念，嚴格依照《課程標準》提出的處理好考試時間和題量的關系，給學生充足的思考時間，適度增加試題的思維量等命題原則和要求，助推高考內容和高中育人方式改革。試卷充分發(fā)揮了檢測和導向的作用，有效引導高中數學教學，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔。

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

注：本文系南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養(yǎng)”專項課題“基于合作學習理念的文科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑研究”（2021QJ009）的研究成果。

（責編 林 劍）