U 型理論：讓數學基本思想從碎片到整體

鐘樹

［摘 要］U型理論是比較熱門的管理學理論。在數學教學中借鑒U型理論內涵，創新實踐方式，建構出“數學基本思想U型學習模型”并加以優化，對幫助學生整體建構數學基本思想有一定幫助。

［關鍵詞］U型理論；數學基本思想；小學數學

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）11-0024-05

史寧中教授在其著作《數學基本思想18講》中提出“判斷數學基本思想的原則有兩個，一是數學產生和發展所必須依賴的思想，二是學習過數學的人應當具有的基本思維特征”，并基于此判斷標準，將數學基本思想歸結為抽象、推理和模型。

數學教育，尤其是小學數學教育作為培養學生素養的重要階段，學生內化和運用數學基本思想的能力無論是在過程性評價還是終結性目標中都具有重要意義。本文將借鑒管理學中的U型理論內涵，構建“數學基本思想U型學習模型”。

一、關聯性想象：數學思想與U型理論的本質追問

（一）三大數學基本思想的形成是一個連續的整體，它們共同構建了個體的數學思想體系

作為三種主要的數學基本思想，抽象、推理、建模三者既是數學基本思想中各有特點的三個維度，又是統一融合的有機整體。面對生活中的數量關系、圖形關系等，學生經歷第一次抽象后會得到基本數學概念，這是從感性認識上升到理性認識的思維過程；在此基礎上，學生會對學習內容進行二次抽象，并在此過程中理解初次抽象過程中的概念之間的關系。與此同時，在二次抽象的基礎上，學生會通過邏輯推理解決一些數學命題，并在推理過程中積累數學活動經驗，初步嘗試運用數形結合、猜測、列表、畫圖等方法構建基于具身認知的數學模型。

隨著數學知識的累積及生活中面臨的問題越來越多，出于解決實際問題的需要，學生會產生構建數學模型的需求。需要注意的是，一方面，數學模型有其適用的范圍；另一方面，學生由于自身經驗及認知不同，對同一個問題會構建出不同的模型。因此，數學模型的構建在小學階段具有不嚴密性及具身性，但不妨礙其作為有效的解題路徑和進一步進行數學思考的基礎。

（二）U型理論是現代管理學中的重要理論

U型理論是由麻省理工學院斯隆管理學院資深講師、探索變革深層動力的組織學習大師奧托·夏莫針對領導力與管理學提出的理論。完整的U型圖外形呈現出一個完整的“U”字形（如圖1）。U型理論適用于多個領域，具有強大的解釋功能。

（三）U型理論與數學基本思想的關聯

目前絕大多數學習和變革方法都以庫伯的“學習圈理論”為基礎，該理論指出學習的順序是觀察→反思→計劃→行動。目前課堂學習對于數學基本思想的涵育也是如此，但這種學習方法不僅缺乏激發學生內驅力和創新力的機制，還無法將不同數學基本思想融會貫通。

為了改善這一現象，筆者借鑒了管理學中的U型理論，對三種數學基本思想之間及其與生活的關系進行整體架構，構建“數學基本思想U型學習模型”（如圖2），并以此模型為指導，對教學內容與教學方式進行創新，同時對模型進行優化迭代。

二、創造性實踐：小學階段數學基本思想認知的整體構建

（一）還原與下沉，夯實抽象思想

“加強課程內容與學生經驗、社會生活的聯系”是課程建設的一個基本原則。如果不加強數學與生活的聯系，數學學習就僅僅是紙上談兵，“用”將無從談起。弗賴登塔爾也認為：數學與現實世界的聯系，是排在第一位或最重要的數學素養。“數學基本思想U型學習模型”中對于抽象這一基本數學思想的定位，正是通過數學的眼光將生活中的現象、問題下沉至數學世界，用理性智慧為生活染上數學底色。

數學的視角主要關注抽象的數量關系和空間形式，因此我們可以將其理解為數學抽象，盡管這并不完全等同于數學抽象本身。與之相比，數學的眼光則相當于進入數學抽象世界的門檻，即沒有數學的視角，就無法真正理解數學抽象的本質。在“數學基本思想U型學習模型”中，數學的眼光是從現實世界到數學世界的第一步，通過數學的視角開始認識和理解數學抽象。這種方法不僅符合核心素養的要求，而且遵循學生已有的經驗和自然生長的抽象能力。同時，它對于培養學生推理和建構數學基本思想的能力也具有重要作用。下面舉例說明。

1.形成數學眼光，內化抽象思想

在日常生活中，學生很早就接觸了各種平面圖形，并且不可避免地要比較它們的大小。因此，在系統學習“面積”之前，學生通常會通過重疊的方法來比較圖形的大小，這種方法蘊含著學生對生活經驗的抽象。而通過研究可見、可觸摸的圖形來進行度量，是學生對現實生活進行的第一次抽象。

到了三年級下學期，學生會接觸面積的概念，并系統學習與面積相關的知識，需要比較類似圖3-1的圖形面積大小。此時，由于經驗不足，學生會產生對度量方法的迭代抽象的需求，將度量線段時的經驗遷移到圖形面積的度量中。因此，使用格子作為度量單位來定量描述圖形面積大?。ㄈ鐖D3-2）就自然而然地呈現出來。

可以看出，培養抽象思維需要同時重視兩個方面。一方面，教師具備數學的眼光，立足生活實際，尊重學生的自然經驗，并重視他們在日常生活中所體現出的實踐智慧和抽象能力。另一方面，在課堂學習中，教師需要適時引導學生，利用學習資源有針對性地培養他們的抽象思維。

2.錨定學習實際，運用抽象思想

在小學數學課堂教學中，常常會出現一些被稱為“種子題”或“探究題”的問題。這類問題不僅具有一定難度，也具有較強的探究價值，通常需要學生綜合運用單元或多個知識與技能來解決。同時，這類問題本身及其結論往往都具有較強的抽象性。學生在解決這類問題的過程中，常常會陷入僅僅就問題本身進行討論的死局，便無法很好地獲得和發展數學基本思想和方法。這導致許多優秀的學習資源流于形式，沒有得到充分利用。

蘇教版教材六年級下冊26頁中有一道題（如圖4），這樣一道現實感很強的探究問題，可以調動學生運用多種數學思維解決問題的興趣。

為了更好地幫助學生提升數學素養，提高課堂學習的效率，筆者根據這道題設計了研究單供學生探究（如圖5）。

學生在討論后普遍會推理得到結論：同樣一張紙，橫著卷比豎著卷體積更大。在此基礎上，教師需要適時引導，幫助學生整合數學基本思想。

在探究過程中，主要就是將文字問題抽象為數學表達。一旦完成抽象，學生會根據任務要求進行實際操作，例如轉動、卷曲，且在測量數據后進行比較，從中獲得原始經驗。在此基礎上，每個學生將自己得出的結論在小組內進行討論。在討論的過程中，每個學生都要合情推理、歸納總結，嘗試得出比之前更完善的結論。

通過討論，學生普遍會推理出較為完善的結論：同樣一張紙，橫向卷比縱向卷得到的圓柱的體積更大。這個結論是基于他們對實際操作和數據比較的綜合理解。在這個關鍵時刻，教師需要適時引導學生。于是，筆者設計了問題“對于所有的長方形紙來說，是否都有這個現象呢？”在這種情況下，學習目標發生了變化，對學生思維的要求更高了。在小組討論中，學生可能會想到使用字母表示數值來證明。這個二次討論的過程對學生而言，既是將數字抽象為字母、將觀察到的現象抽象為原理的過程，也是從特殊結論到一般結論的推理過程。學生在探究一個問題的過程中會接觸多種數學基本思想，這是數學基本思想品質提升的關鍵一步。

（二）經驗與探究，深耕推理思想

推理思想在小學數學學習階段主要表現為推理意識，即對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。通過推理意識的培養，學生能夠進行合情推理和初步的演繹推理。這有助于培養學生的獨立思考能力、勇于探索的科學精神、實事求是的科學態度，并促進他們在數學學習中形成數學思維。

在“數學基本思想U型學習模型”中，推理思想是對數學經驗進行探究的重要工具，起著關鍵的作用。一方面，教師需要對從現實世界和數學世界抽象出的經驗進行演繹和歸納，使其具有一般性和普遍性；另一方面，教師需要關注經過推理而得出的結論的正確性和實踐性，并進一步運用推理所得的理論指導學生建模，以滿足學生運用數學思想解決實際問題的需求。下面舉例說明。

1.單元整體構建，探索演繹推理

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布和實施，以課時為單位的碎片化教學方式正在改變，大單元教學越來越受到重視。大單元教學讓演繹推理思想在小學數學學習中扮演了更重要的角色。通過大單元教學，學生能夠更好地理解數學概念和原理，并能夠運用演繹推理的方法驗證數學命題。這種教學方式有助于培養學生的邏輯思維能力和問題解決能力，提升他們在數學學習中的綜合素養。

以蘇教版教材三年級下冊第一單元“兩位數乘兩位數”為例。在充分挖掘教材內容的基礎上，筆者重組新授部分例題，以本單元中的兩位數乘兩位數豎式為主題，以乘法口訣與加法為基礎，以演繹推理為路徑，在聯結學生學習實際經驗與學習內容的基礎上，創新課堂教學方法，提升學生的推理意識（如圖6）。

在這個案例中，學生緊緊圍繞兩位數乘兩位數豎式，以豎式結構為推理起點，通過一系列驅動問題逐步推理出豎式構建的規則和底層邏輯。通過演繹推理，學生理解了計算兩位數乘兩位數豎式的算理和算法。在此基礎上，通過多元表征，具象化豎式內部的結構，完成了從一般到特殊的演繹過程。這個過程不僅幫助學生掌握了具體的計算方法，還培養了他們對數學概念和算法進行抽象的能力。這種通過演繹推理所構建的活動經驗，對于學生后續學習三位數乘兩位數、小數乘法等更為抽象的內容，都是非常寶貴的財富（如圖7）。

2.打通理解脈絡，完善歸納推理

在小學數學學習中，分數乘法的意義較為抽象，學生往往難以理解。然而，理解分數乘法的意義對于提高分數乘法的計算能力至關重要?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》也強調學生理解運算的道理和得出準確的運算結果的重要性。然而，筆者通過大量的課堂觀察發現，學生對分數乘法意義的理解往往表現為淺層次、單一性和呆板性，影響了他們的運算能力的提升。筆者認為采用歸納推理可以較好地改善這種狀況。

例如，教學“[310×3=□]”這一道例題時，可以鼓勵學生結合已有的乘法經驗對結果進行猜測和解釋，并在此基礎上歸納分數乘整數的算理。

在這里，可以將[310×3]看成[310+310+310]，也可以把[310]進行轉化，得到0.3，如此，[0.3×3=0.9]，甚至還可以將[310×3]化為[3×3×0.1]。通過不同的猜想和驗證，最終歸納正確算法[310×3=3×310=910]，并在此基礎上建立模型[ba×c=b×ca]。

（三）反思與上浮，激揚模型意識

模型意識是指學生對數學模型普適性的初步感悟，認識到數學模型可以用來解決一類問題，并意識到現實生活中許多問題都與數學有關，可以用數學概念和方法進行解釋。培養學生的模型意識對于其數學應用能力的發展至關重要。在培養學生的模型意識時，有幾點需要注意：第一，需要創設真實的問題情境，讓學生親身參與解決問題的過程；第二，利用典型實例，讓學生感受到數學模型可以解決一類問題；第三，要盡可能組織跨學科主題活動，并在活動中突顯數學的應用價值。

建模思想作為人們與現實世界溝通的橋梁，在“數學基本思想U型學習模型”中是反思與上浮的重要路徑。具體到小學數學學習，下面以數據的統計與整理為例，解釋模型思想價值的體現。

1.創新跨學科實踐，用模型描述生活

在小學數學學習中，有許多內容與實際生活密切相關，特別是在統計領域，經常需要對生活中的數據進行統計和整理。因此，表格模型成為小學階段模型思想的體現。

以養蠶寶寶為例，教師可以結合課程內容，引導學生走出課堂，圍繞蠶寶寶開展相關活動，如飼養、觀察、測量等。學生可以在實踐中感受傳統文化，體驗從蠶卵到絲綢的完整過程。這種跨學科學習可以融合語文、數學、英語、科學、信息技術等學科要素，實現任務式學習。例如，學生可以追溯文字、測量蠶的身長和體重、統計數據、應用數學概念等，并通過技術支持和交流來展示學習成果。

跨學科學習是提高學生運用數學基本思想解決實際問題能力的重要手段。在跨學科學習中，首先，要找到活動與數學的契合點，如將蠶的研究與數據的收集和整理單元結合起來；其次，要細化研究內容，思考如何進行研究，例如如何測量蠶的身長和體重，并選擇合適的方式和工具進行測量；最后，要完成較為系統的學科研究報告，以展示學科研究的成果和結論。

學生經過獨立思考和分組討論之后，確定用表格呈現研究結果。于是，一張張充滿個性的表格產生了（如圖8）。到六年級的時候，可以將此表格拿出來，結合正比例關系這一知識，優化表格數據。

2.回溯基本知識理解，用模型助推認知

“加法模型”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中新增的內容，旨在培養學生的模型意識。學生在學習的過程中，可以通過多元表征表達對加法數量關系的理解：首先通過具體情境和已有經驗，完成對數量關系式的抽象；接著基于數量關系式共性的提取，完成對加法模型本質的兒童化表征；最后在融通中完成數學模型的構建（如圖9）。

可以看到，三大數學基本思想緊密圍繞數學核心素養，并形成一個整體，從生活中抽象出數學概念，在推理中理解數學本質，最后利用數學建模解決現實生活中的問題。在U型理論的指導下，數學基本思想鮮活且完整。

綜上，學生在學習數學的過程中，首先，要意識到數學基本思想的重要性；其次，要在獨立思考和合作交流的過程中逐漸形成優秀的思維品質。另外，教師要不斷更新教學方式，這樣方能提升學生的數學思維，提升學生運用數學思維解決實際問題的能力。

【本文系2021年度第14期南京市中小學教學研究課題“指向‘用數學思維解決實際問題能力的小學項目化學習設計的研究”（課題編號：2021NJJK14-L13）的階段性成果?！?/p>

（責編 金 鈴）