“平面向量數量積的最值（范圍）問題”作業設計

基金項目? 2022年湖北師范大學教學改革研究項目“核心素養下高中數學課本習題的有效使用”（2022NO.01）.

【摘? 要】? 以“平面向量數量積的最值（范圍）問題”作業設計為例，進行教材內容與課程標準分析，并結合實際學情，制訂出總體作業目標、作業結構與作業題量說明，通過展現具體作業內容、作業案例分析與評價、作業反思與改進具體闡述作業設計的意圖與策略.多類型、多層次、多視角地設計與評價作業，達到進一步鞏固學生的數學知識、提升學生的探索能力、助力其數學核心素養發展的目的.

【關鍵詞】? 數量積；作業設計；作業目標；核心素養

作業是學生理解知識、訓練技能、發展素養的重要環節，是教師了解學情、改進教學、有效教學的重要手段［1］.數學作業設計是指教師根據教學目標和數學課程標準，考慮學生的不同特點和知識能力水平，針對某一具體教學內容，通過選擇重組、改編完善、自主開發等手段，為不同類型的學生設計出符合他們自身特點和需求的非教學時間需要完成的任務活動.

1? 內容解析

1.1? 教材內容

本節是人教版普通高中教科書·數學（必修）第二冊第6.2.4節“向量的數量積”中知識點之一.教材根據學生的認知發展規律，按照知識的邏輯順序進行編排，讓學生在循序漸進中對向量更加深入地理解和認識，是向量運算對象的進一步擴充，體現了向量運算形式的不斷發展，為后續向量的學習、在現實生活和物理中的應用，在其它數學內部的廣泛應用奠定基礎.同時，以平面圖形為載體的有關數量積的最值（范圍）是高考的熱點之一，常以選擇題、填空題的形式呈現.要深刻理解數量積的意義，從不同角度對數量積進行轉化.解題思路是建立目標函數的解析式，轉化為求函數（二次函數、三角函數等）的最值或應用基本不等式.同時向量兼顧“數”與“形”的雙重身份，應用圖形的幾何性質，采用數形結合也是一種重要思路.

1.2? 課標要求

作業設計要嚴格依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，明確學情實際，重視目標落實，關注知識交匯，設置梯度層次，編選合適題量［2］.具體到本單元的課程標準要求是：通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義；會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用［3］.基于以上分析，確定本單元課時教學目標與教學重難點如下：

1.教學目標：掌握平面向量數量化的思路和方法，提高學生數形結合與轉換化歸的能力；通過題組分層訓練，培養學生總結通性通法解題規律的能力.

2.教學重點：提煉平面向量數量化的兩種基本思路，歸納幾種常見的數量積最值（范圍）問題的求法.

3.教學重點：提升學生運用數形結合與轉換化歸等數學思想解決問題的意識.

2? 學情分析

向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.本單元是在學生已經系統地學習了平面向量的概念、運算、基本定理以及坐標表示的基礎上，對平面向量在幾何方面應用的研究.通過系統地學習，學生可以發現，平面幾何圖形的很多性質都可以用向量表示出來，許多問題都可以用向量運算的方法加以解決，體會到了平面向量作為工具研究平面幾何問題的優越性.

3? 作業設計說明

3.1? 作業目標

（1）在不同情境的作業訓練中，幫助學生加深對平面向量數量積定義的理解，提升學生數學抽象核心素養；

（2）通過不同題型的分組訓練，讓學生掌握多種向量數量積的最值（范圍）求解策略，提升學生數學運算核心素養；

（3）讓學生經歷具體問題的解決，提升分析問題與解決問題的能力，提升學生數學邏輯推理核心素養.

3.2? 作業結構

本次單元作業設計主要設計三類作業：基礎性作業、提高性作業、拓展性作業.同時，依據題目解法類型又將作業分組：投影法、基底法、坐標法、數形結合法、極化恒等式法、探究問題六組，如圖1.

3.3? 作業題量

根據高考數學考試時間及試題分布，筆者認為，高中數學作業設計的題量以12題為宜：大致單選5題、多選2題、填空3題、解答2題.但是，根據本節內容的特點并結合高考對本知識點的考查要求，本次作業僅設計12道小題（選擇題和填空題），以檢測學生對平面數量積的最值（范圍）的掌握情況，以便后期教與學的改進.

4? 具體作業設計

4.1? 基礎性作業

第1組? 投影法

1.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則AP·AB的取值范圍是（? ）.

A.（-2，6）??? B.（-6，2）

C.（-2，4）D.（-4，6）

2.已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為（-2，0），O為原點，則AO·AP的最大值為??? .

設計意圖? 根據平面向量數量積的定義a·b=|a||b|cos θ，其幾何意義為其中一個向量的長度乘以另一個向量在其方向上的投影.投影法是從投影入手體現數量積的幾何意義的方法.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生加深對平面向量數量積定義的理解和直觀能力的培養，有助于提升學生數學抽象與直觀想象等核心素養.

圖2第2組? 基底法

3.如圖2，在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=42，D為AC的中點，在平面ABC中，將線段AC繞點D旋轉得到線段EF.設M為線段AB上的點，則ME·MF的最小值為??? .

圖3

4.如圖3，在四邊形ABCD中，M為AB的中點，且AB=2，MC=MD=CD=1.若點N在線段CD（端點除外）上運動，則NA·NB的取值范圍是（? ）.

A.-14，0B.0，34

C.14，1D.-34，0

設計意圖? 若無法直接獲取對應向量數量積的要素，如平面向量的模和夾角，此時考慮采用基底法.例如第3題中ME=MD+DE，MF=MD+DF，第4題中NA=NM+MA，NB=NM+MB，都是將“未知向量”分解成“基底”（或已知向量）表示，再利用向量的數量積運算即可求解.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生加深對平面向量數量積的理解以及提升平面向量線性運算能力，有助于提升學生邏輯推理與數學運算等核心素養.

第3組? 坐標法

5.已知△ABC中，A=π3，AC=2，AB=5，點P為邊AB上的動點，則PB·PC的最小值為??? .

6.已知正六邊形ABCDEF的邊長為4，P為正六邊形所在平面內一點，則PA·PC+PE的最小值為??? .

設計意圖? 坐標法就是將幾何圖形放在適當的坐標系中，將平面向量坐標化，利用向量之間的坐標運算來解答.本組中兩個小題都是建立恰當的平面直角坐標系，求得相關點的坐標，根據數量積的坐標表示，求得PB·PC和PA·（PC+PE）的表達式，然后通過配方后即可求解最值.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生加強平面向量數量積的坐標表示的能力，有助于提升學生邏輯推理與數學運算等核心素養.

4.2? 提高性作業

第4組? 數形結合法

7.等邊△ABC的面積為93，且△ABC的內心為M，若平面內的點N滿足MN=1，則NA·NB的最小值為??? .

8.在直角△ABC中，AB⊥AC，AC=3，AB=1，平面ABC內動點P滿足CP=1，則AP·BP的最小值為??? .

設計意圖? 利用數形結合法解決平面向量數量積的最值問題，往往是要利用“數”與“形”的轉化，通過具體幾何圖形的分析，尋找取得代數式最值時的幾何位置，對學生的要求較高，難度較大.例如本組中第7題利用向量數量積的運算律有NA·NB=NM2+NM·（MA+MB）+MA·MB，根據已知求相關向量的模，結合位置關系確定其最小值.根據三角形面積公式求△ABC邊長，再應用等面積法、正弦定理求內切圓、外接圓半徑，并判斷N的軌跡及相對三角形的位置，最后由NA·NB=（NM+MA）·（NM+MB），數形結合求最小值即可；第8題由數量積的定義和平面向量基本定理可得AP·BP=4+CP·（AC+BC），當CP與AC+BC共線反向時，CP·AC+BC取最小值，即可得出答案.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生提升數形結合的思維能力，有助于提升學生直觀想象與邏輯推理等核心素養.

第5組? 極化恒等式法

圖4

9.如圖4所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸（含原點）上滑動，則OC·OB的最大值是??? .

10.已知Rt△ABC的斜邊AB的長度為4，設P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則PA·PB的取值范圍是（? ）.

A.-32，52B.-52，52

C.-3，5D.1-23，1+23

設計意圖? 本組中第9題通過取線段BC中點M，運用極化恒等式將OC·OB轉化為OM的表達式，求OM的最大值即可；第10題通過取線段AB中點M，運用極化恒等式PA·PB=PM2-AM2=PM2-4，將求PA·PB的取值范圍轉化為求PM的取值范圍，體現了“化動為定”的轉化數學思想.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生提升轉化與化歸的思維能力，有助于提升學生邏輯推理和數學運算等核心素養.

4.3? 拓展性作業（探究）

11.平面內一組基底｛OA，OB｝及任一向量OC，OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），若點C在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k（定值），其中k為相似比，反之也成立.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為“等和線”，基底OA，OB終點的連線AB稱為“基線”.

圖5

請運用“等和線”這一概念，探究完成下面問題：

（1）當“等和線”恰為直線AB時，k=??? ；

（2）當“等和線”在O點和直線AB之間時，k∈??? ；

（3）當直線AB在O點與“等和線”之間時，k∈??? ；

（4）當“等和線”過O點時，k=??? ；

（5）若兩“等和線”關于O點對稱，則兩k值關系是??? ；（選擇：相等、互為相反數）

（6）定值k的變化與O點到“等和線”的距離成??? .（選擇：正比、反比）

（7）請運用上述“等和線”的性質解決問題：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（? ）.

A.3??? B.22??? C.5??? D.2

12.在△ABC中，點M是BC的中點，則AB·AC=AM2-14BC2=AM2-14BC2.請運用平面向量此性質解決下列問題：

圖6

（1）如圖6，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD的兩個三等分點，BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是??? .

（2）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（? ）.

A.-2? B.-32? C.-43? D.-1

設計意圖? 極化恒等式在必修第二冊教材中第26頁例2的解題過程AB·AC=a·b=14（a+b）2-（a-b）2中已出現，且在解決向量問題時思路清晰快捷，是必要的拓展.通過設計兩道小題的作業訓練，主要是幫助學生提升自主探究的學習能力，有助于提升學生邏輯推理和數學運算等核心素養.

5? 學生作業案例分析與評價

5.1? 作業答題卡設計與說明

為了方便統計與分析學生對“平面向量數量積的最值（范圍）問題”掌握情況，同時更好地評價本次作業設計的效果，特定設計如下“學生作業答題卡”的形式，收集與批閱學生作業.

情況說明? 作業時間60分鐘，作業總分70分，其中第1—10題每題5分，第11題和第12題每題10分，也可以不計分作業訓練.

5.2? 學生作業評價標準

對學生的知識和能力進行評價，有利于學生的查漏補缺和老師開展有針對性的教學.在對作業進行評價時，教師應當具體問題具體分析，在指出問題所在的同時多表揚學生的優點.

（1）學生是否能在預定的作業時長內完成本次作業：

50—60分鐘：優秀；60—70分鐘：良好；70—80分鐘：一般.

（2）學生作業作答正確率是否合乎預期設計目標：

20%—40%：較差；40%—60%：一般；60%—80%：良好；80%—100%：優秀.

（3）學生學習能力的培養是否達到預期目標：（選擇項后劃“√”，只能單選）

基礎性作業（較差□、一般□、良好□、優秀□），

提高性作業（較差□、一般□、良好□、優秀□），

拓展性作業（較差□、一般□、良好□、優秀□）.

（4）學生在知識與技能方面主要存在的薄弱環節：（選擇項后劃“√”，可以多選）

投影法□、基底法□、坐標法□、數形結合法□、極化恒等式法□、探究問題□.

5.3? 學生作業具體分析

下面以我校高三（6）班（物理方向）和高三（15）班（歷史方向）兩個班級學生為例，分析作業答題情況，學生人數共計96人.下面分別從各個小題答題正確人數、不同題型答題正確率、不同類型作業答題正確率等三個方面統計分析學生答題情況.

圖7? 各小題答題正確人數統計

由圖7統計分析可見，第1，4，11題設計比較簡單；第2，3，5，6題難度適中；第7，8，9，10，12題較難.（此處統計僅供參考，因為統計可能存在偏差：選擇題相對于填空題存在“猜中”成分多一點.同樣圖8、圖9中統計也存在此種情況，下面不再贅述.）

由圖8統計分析可見，學生對投影法、基底法和坐標法掌握較好；數形結合法、極化恒等式法和問題探究等方法掌握較差.

由圖9統計分析可見，學生對基礎性作業掌握較好，提高性作業和拓展性作業掌握一般.

6? 作業設計反思與改進

作業設計與評價是為了檢驗教與學的成效.通過作業設計，診斷教與學過程中的優勢與不足，通過作業評價，改進教與學的行為，促使學生數學學科核心素養的達成.

成功之處? （1）作業設計基本能達成本單元課時教學目標，較好地突出教學重點和突破難點；（2）作業設計思路清晰，層次分明，以“題型”為主線，同時兼顧“解法”為暗線；（3）作業設計較好地把握了平面向量數量積的最值（范圍）問題中常考的題型及其解法，能起到復習鞏固作用；（4）作業設計較好地顯現出學生知識掌握程度，對投影法、基底法和坐標法掌握較好，數形結合法、極化恒等式法掌握有待提升.

改進之處? （1）作業題目整體難度偏大，難易梯度不明顯，對學生素養要求較高，可結合學生實際降低作業題目難度；（2）作業設計有兩處題型中涉及到極化恒等式法的訓練題，可考慮優化合并；（3）“拓展性作業”中“探究問題1”設計問題過于細致，題目問題過多，可作“精減”，“探究問題2”中的探究揭示的“深度”不夠，可作進一步探究過程的展現；（4）題目類型以“選擇題”和“填空題”兩種形式出現，相對于“解答題”不易較好地暴露出學生的問題；另外，選擇題相當于填空題存在“猜中”成分多一點，統計分析可能存在偏差，可適當設計“解答題”；（5）由于有些作業題目存在一題多法，學生運用解法不一定是教師預設的方法，因此統計中顯現出的學生對解法掌握情況存在偏差，只能僅供參考.

總之，教學與作業設計的完美契合，值得我們不斷去探索和實踐.作為一線的高中數學教師，應深入作業設計研究，把作業設計能力作為教師的基本功，在學習、實踐、反思中設計出高質量的作業，讓作業真正發揮其育人的功能［4］.

參考文獻

［1］? 張永超.基于核心素養落實的作業設計及其價值辨析［J］.中學數學教學，2022（01）：4-8.

［2］? 沐方華，馬曉駿.聚焦核心素養? 尋繹作業樣態：以高中數學作業設計與評價為例［J］.福建中學數學，2023（05）：26-28.

［3］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］? 周寧，林新建.基于核心素養的高中數學課時作業設計實踐：以“復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義”為例［J］.數學教學研究，2023，42（04）：20-23+67.

作者簡介? 楊瑞強（1979—），男，湖北黃岡人，中學高級教師，黃石市優秀班主任，黃石市優秀數學教師；主要從事中學數學教學與研究；發表文章100余篇.